| English | 의미 |
|---|---|
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | 절댓값 |
| remainder theorem/rɪˈmeɪndə ˈθɪərəm/ | 나머지 정리 |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | 다항식 |
| degree/dɪˈɡriː/ | 차수 |
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | 인수 정리 |
The absolute value that saves bridges
- Engineers designing suspension cables need to know the maximum deviation from the ideal — whether above or below.
- The modulus 绝对值 (absolute value) measures distance from zero, ignoring direction. It appears everywhere: error bounds, tolerances, and inequalities.
The modulus function
- The modulus $|x|$ is the size of a number, sign removed ($|x| \geq 0$). Its graph is a "V".
- Useful rules:
- $|a| = |b| \Leftrightarrow a^2 = b^2$,
- $|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b$.
The modulus function $y = |x - 2|$ creates a V-shape: everything below the axis is reflected above it.
Worked example. Solve $|2x - 3| = 7$. Either $2x - 3 = 7 \Rightarrow x = 5$, or $2x - 3 = -7 \Rightarrow x = -2$. Solutions: $x = 5$ or $x = -2$.
절댓값 함수
y = a|x − b| + c
절댓값은 V자 모양을 만든다. 꼭짓점을 b와 c로 이동시키고, 팔의 경사도를 a로 변경한다.
|x − 2| < 3을 풀라. 해는 −1 < x < ?이다. 상한은 몇인가?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
|x − 2| < 3은 2 − 3 < x < 2 + 3, 즉 −1 < x < 5를 의미한다.
|2x − 3| = 7을 풀라. 큰 해는 몇인가?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
2x − 3 = 7 → x = 5; 또는 2x − 3 = −7 → x = −2. 큰 값은 5이다.
Factor & remainder theorems 余数定理
- A polynomial 多项式 is a sum of powers of $x$; its degree 次数 is the highest power.
- Remainder theorem: the remainder when $p(x) \div (x - a)$ is $p(a)$.
- Factor theorem 因式定理: $(x - a)$ is a factor exactly when $p(a) = 0$.
Don't confuse the two theorems. The remainder theorem gives the remainder for any divisor $(x - a)$. The factor theorem is a special case: when the remainder is zero, $(x - a)$ is a factor.
Taking the modulus folds the negative part of the line up into a V
나머지 정리에 의해 p(x) = x² + 3x + 2를 (x − 1)으로 나눈 나머지는 몇인가?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
나머지 = p(1) = 1 + 3 + 2 = 6.
(x − a)가 p(x)의 인수인 조건은?
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
인수 정리: p(a) = 0일 때, (x − a)는 p(x)의 인수이다.
Worked example — factor theorem
- Show that $(x - 2)$ is a factor of $p(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 8$.
- $p(2) = 8 - 20 + 4 + 8 = 0$. Since $p(2) = 0$, $(x - 2)$ is a factor.
- Divide: $x^3 - 5x^2 + 2x + 8 = (x - 2)(x^2 - 3x - 4) = (x - 2)(x - 4)(x + 1)$.
Opposite signs of f(a) and f(b) trap a root between a and b
p(3) = 0이면, (x − 3)는 p(x)의 인수이다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
인수 정리에 따라 p(a) = 0이면 (x − a)는 인수이다.
p(x) = x³ − 6x² + 11x − 6이고 p(1) = 0일 때, p(x) = (x − 1)(x² + bx + c)로 인수분해하시오. c의 값은 몇인가?
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x³ − 6x² + 11x − 6를 (x − 1)으로 나누면 x² − 5x + 6이 되므로, c = 6이다.
Solving polynomial equations
- Use the factor theorem to find one root, then divide to reduce the degree.
- A cubic has at most 3 real roots; a quartic at most 4.
- Sketch the graph to check: the number of $x$-axis crossings matches the number of real roots.
- Differentiate a fraction with the quotient rule.
You've got it
- $|x|$ removes the sign; $|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b$
- remainder when $p(x) \div (x-a)$ is $p(a)$
- factor theorem: $(x-a)$ is a factor $\Leftrightarrow p(a) = 0$
- find one root, divide, then solve the remaining quadratic