이차방정식

던진 공의 경로

• 공을 던지면 포물선을 그리는데 — 모든 이차 방정식이 묘사하는 동일한 곡선입니다.
• 갈릴레오가 1638년에 이를 증명했습니다. 오늘날 이차식은 물리학, 경제학, 공학, 최적화에 나타납니다.
• 이를 숙지하면 어떤 포물선의 꼭짓점, 근, 형태를 찾을 수 있습니다.

제곱 완성법

• 이차식은 $ax^2 + bx + c$ (where $a \neq 0$).
• 제곱 완성법은 이를 $a(x+p)^2 + q$로 다시 씁니다.
• 이는 $(-p,\ q)$에 있는 꼭짓점(변환점)을 드러냅니다.
• 예: $x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$ → 꼭짓점 $(3, -4)$.

제곱 완성법은 꼭짓점을 직접 드러냅니다: $y = (x-3)^2 - 4$는 $(3, -4)$에서 최소값을 가집니다.

판별식

• 판별식은 $\Delta = b^2 - 4ac$입니다. 실근의 개수를 세는 데 사용됩니다:
  • $b^2 - 4ac > 0$ → 두 개의 서로 다른 실근,
  • $b^2 - 4ac = 0$ → 하나의 중근,
  • $b^2 - 4ac < 0$ → 실근 없음.
• 이차공식: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

판별식의 부호는 포물선이 x축과 몇 번 만나는지를 결정합니다: 두 근, 하나, 또는 없음

현교량: 주 케이블이 포물선 형태로 매달려 있음

이차방정식 풀이법

• 인수분해: 잘 될 때 가장 빠릅니다. $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2$ 또는 $x = 3$.
• 제곱완성식: 항상 유효하며 꼭짓점을 드러냅니다.
• 이차공식: 항상 유효하며, 인수분해가 어려울 때 사용합니다.

연립방정식 및 모델링

• 이차함수는 발사체 경로, 이익 곡선, 다리 아치, 위성 안테나 등을 모델링합니다.
• 꼭짓점은 최대값($a < 0$일 때) 또는 최소값($a > 0$일 때)을 제공합니다.
• 예시: 이익 함수 $P = -2x^2 + 40x - 150$. 최댓값은 $x = \dfrac{-40}{2(-2)} = 10$에서 나타납니다.
• 이차방정식과 이차부등식, 그리고 한 쌍의 연립방정식(선형함수 하나, 이차함수 하나)을 풀어야 합니다.

이해했습니다