회로 분석 II (AC)

이는 대학 전기 공학 과정의 네 번째 수업입니다: 교류 회로 (복소수, 미분 방정식, 라플라스)는 이제 그 비용을 갚고 있습니다. 전기 에너지가 생성되고 이동합니다. 파동 1는 직류를 해결했습니다; EE02의 도구들 (복소수, 미분 방정식, 라플라스) 이제 그 비용을 스스로 충당합니다.

• Unit 4.1는 사인파의 연산: phasor와 impedance를 다룹니다.
• Unit 4.2–4.4은 이를 적용합니다: AC 전력, 삼상 회로, 2차 반응 및 공진.
• Unit 4.5–4.7은 시야를 넓힙니다: 필터와 Bode 도표, s-domain 회로 해석, 그리고 양단자 회로.

각 단위는 이야기로 시작하여 공식적인 개념 전에 그림을 보여주고, 정확히 정의된 용어, 수치가 증가하는 두 가지 예제를 다룹니다. 고전적인 실수를 지적하며, 세 줄 요약으로 끝냅니다. 이 과정의 검증 습관: 요약. 검증 습관: 모든 위상각 답변이 일초 내에 확인됩니다. 표현 방식 — 극좌표 대 사다리꼴 좌표, 혹은 시간 영역에 대한 복소 산술. 복소 산술은 단순한 장부 기록일 뿐이며, 검증이 이를 정직하게 유지합니다.

The mains voltage crosses zero a hundred times a second, yet a resistor there 일정한 전력을 소모합니다 — 진폭과 위상이 반복되는 pattern. A sinusoid $v(t) = V_{m}\cos(\omega t + \varphi)$ becomes a phasor $V = V_{m}\angle\varphi$ — 진폭과 위상을 포함하며, 주파수는 이해됩니다. 미분은 $j\omega$를 곱합니다; 따라서 단일 주파수에서 모든 요소에 임피던스가 부여됩니다:

모든 직류 방법 — 분배기, 노드/메시, 테위닌 등 — 복소수를 사용하여 그대로 적용됩니다. complex numbers. The inductor's impedance grows with frequency (+90°); the capacitor's shrinks (−90°); the resistor is flat (0°).

해설 예 1 (두 표현이 일치함). $R = 30\ \Omega$ 직렬 연결 with $L$ such that $\omega L = 40\ \Omega$, driven by $V = 100\angle 0^{\circ}$ 해당 주파수에서의 V. $Z = 30 + j40 = 50\angle 53.13^{\circ}\ \Omega$; $I = V/Z = (100/50)\angle(0 - 53.13^{\circ}) = 2\angle -53.13^{\circ}$ A. 확인 직각형에서: $I = 100(30 - j40)/2500 = 1.2 - j1.6$ A; $|I| = \sqrt{1.44 + 2.56} = 2$ ✓ and $\text{atan2}(-1.6, 1.2) = -53.13^{\circ}$ ✓. 시간 영역의 의미: $i(t) = 2\cos(\omega t - 53.13^{\circ})$ A — 이는 전류가 뒤처지는 이유는 인덕터가 변화를 저항하기 때문입니다.

해설 예 2 (병렬 결합, 확장된 버전). 동일한 $R = 30\ \Omega$ 이제 $\omega L = 40\ \Omega$ 인덕터와 병렬로: $Z = \frac{30 \times j40}{30 + j40} = \frac{30 \times j40 \times (30 - j40)}{2500} = \frac{48\,000 + j36\,000}{2500} = 19.2 + j14.4 = 24\angle 36.87^{\circ}\ \Omega$ (검증됨: $|Z| = \sqrt{19.2^{2} + 14.4^{2}} = 24$ ✓, 그리고 $\cos 36.87^\circ = 0.8$ ✓). 병렬 임피던스는 각 분지 크기의 더 작음에 유의하십시오 (24 < 30 < 40) 및 그 위상각(36.87°)은 인덕터의 90°보다 아래에 위치하며, 저항 쪽으로 당겨집니다—모든 병렬 쌍은 이 방향으로 크기와 위상각을 교환합니다. 이 방향에서.

자주 하는 실수. 병렬 임피던스의 크기 더하기(복소수만 해당) 합산은 합법이다). 라디안 모드에 Degree-Mode 계산기 설정을 섞어 공식. 페이저가 진폭(또는 RMS — 문제마다 한 가지를 선택하여) V와 I에 대해 일관된 관례를 적용함을 잊지 마십시오.

요약: 하나의 주파수 → 페이저; $Z_R$ 수평, $Z_L$ 위 90°, $Z_C$ 아래 90°; 모든 DC 방법도 그대로 적용됩니다. 다른 표현으로 각 답을 검증하십시오.

1 kW 히터와 1 kVA 커패시터는 모두 전원에서 "1 k-무엇"을 흡수하지만, 히터의 분할분만 에너지 비용으로 청구됩니다. 페이저 $V$과 전류 $I$을 사용하면, 복소 전력 $S = V\cdot I^{*}$:

여기서 $\theta$은 V와 I 사이의 각도입니다. 전력 인자 $\cos\theta$은 겉보기 전력 $|S| = VI$ 중 실제 일을 하는 비율입니다.

풀이 예제 1 (RL 부하, 두 가지 방법으로 검증). 위 부하: $P = 100 \times 2 \times \cos 53.13^{\circ} = 120$ W, $Q = 100 \times 2 \times \sin 53.13^{\circ} = 160$ var, $|S| = 200$ VA, pf = 0.6 지체. 검증: $P = |I|^{2}R = 4 \times 30 = 120$ ✓ 및 $Q = |I|^{2}X = 4 \times 40 = 160$ ✓ — 손실 공식 확인. 전력 인자 보정은 병렬로 반응전력을 현지에 공급하는 정류용 용량: 100 V에서 160 var를 보정함 (50 Hz)에서 $C = Q/(\omega V^{2}) = 160/(2\pi \cdot 50 \cdot 10^{4}) = 50.9\ \mu F$가 필요합니다.

해설 예 2 (삼상 모터, 확장됨). 균형 잡힌 별점선 415 V(선간), 50 Hz 전원 공급에 연결된 모터의 상 임피던스는 $10 + j10\ \Omega$임 입니다. 상전압 $= 415/\sqrt{3} = 239.6$ V; 상전류 $= 239.6/\sqrt{10^{2} + 10^{2}} = 239.6/14.14 = 16.94$ A(선과 같음) 45 W — 그리고 $P = 3 \times 239.6 \times 16.94 \times \cos 45^{\circ} = 8611$ W — 그리고 선 공식 $\sqrt{3} \times 415 \times 16.94 \times 0.7071 = 8611$ W ✓ 해당 두 경로가 일치함. 상별 경로도 누락된 값을 제공함: $Q = 3 \times 239.6 \times 16.94 \times \sin 45^{\circ} = 8611$ var, pf 0.707 지연성이며, 동일한 임피던스를 가진 델타 연결 모터의 경우 상 전류는 $415/14.14 = 29.3$ A이고 선전류는 $\sqrt{3} \times 29.3 = 50.8$ A — the star/delta factor is exactly the $\sqrt{3}$ bookkeeping.

전력 인수를 잘못된 전압에서 보정함 — 콘덴서는 자체 접속점에서의 전압을 받음. 요약: $\sqrt{3}$은 P(계산)와 Q(대여)로 분할되며, 손실 공식 잘못된 전압에서 역률 보정 — 콘덴서는 자체 접속점에서의 전압을 감지함 자신의 접속점에서의 전압을 받음.

요약: $S = VI^{*}$은 P(과금 대상)와 Q(차입분)로 나; 손실 공식 $|I|^{2}R$, $|I|^{2}X$은 검증 기준임; 정류용 보정은 Q를 공급함 현장; 현장에서의 삼상 일상 분석과 $V_{line} = \sqrt{3}V_{phase}$ (별점)가 핵심 연산 수단입니다.

인덕터와 직렬로 연결된 충전된 콘덴서의 스위치를 닫으면 전류는 전류는 순식간에 변하거나 도달할 수 없으므로, 응답은 최소 하나의 미분 항을 더 포함하여 곡선을 그립니다. RC보다 적어도 한 단계 더 많은 유도를 통해 이루어짐. 직렬 RLC 회로는 미분 방정식 $L\,d^{2}i/dt^{2} + R\,di/dt + i/C = 0$을 가지며, 고유 주파수** $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$ 및 감쇠 $\alpha = R/(2L)$. Three regimes:

• Overdamped ($\alpha > \omega_{0}$): two real decays, no oscillation.
• 임계 감쇠 ($\alpha = \omega_{0}$): 가장 빠른 진동 없는 복귀 상태임.
• 저감쇠 ($\alpha < \omega_{0}$): 감쇠 진동이 $\omega_{d} = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \alpha^{2}}$.

해설 예제 1 (동작 영역 산술). $R = 4\ \Omega$, $L = 0.2$ H, $C = 0.05$ F: $\omega_{0} = 1/\sqrt{0.2 \times 0.05} = 10$ rad/s; $\alpha = 4/(2 \times 0.2) = 10$ — 임계 감쇠 ($\alpha = \omega_{0}$). Change $R$ to 2 Ω: $\alpha = 5 < 10$, underdamped with $\omega_{d} = \sqrt{100 - 25} = 8.66$ rad/s. 영역 판별은 한 가지 비교이며, Q 인자 $Q = \omega_{0}/(2\alpha)$은 임계 감쇠 시 0.5이고, 1일 때 $R = 2\ \Omega$ — 경미한 감쇠(고 Q)는 더 오래 진동함.

해설 예제 2 (과감쇠 지수, 기계 검증, 심화). $R = 8\ \Omega$이 주어질 때 (동일한 $L$, $C$): $\alpha = 20 > 10$ — 과감쇠이며, two decay exponents are $s = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^{2} - \omega_{0}^{2}} = -20 \pm \sqrt{300}$, i.e. $-2.68$ and $-37.32$ s⁻¹ (기계 검증됨). 이 capacitor voltage released from 1 V is $v_{C}(t) = A e^{-2.68t} + B e^{-37.32t}$ with $A + B = 1$ and $dv_{C}/dt(0) = 0$ (즉각적인 전류 없음), 이는 $A = 37.32/(37.32 - 2.68) = 1.077$, $B = -0.077$: 빠른 초기 강하가 느린 감쇠로 이어짐. 해석: 빠른 근은 오직 최초 모멘트; 느린 근($-2.68$, 원점에 더 가까운 것)이 다음을 가집니다: 꼬리(tail)를 지배함 — 라플라스 변환에서 접한 EE02의 우세 극점 규칙과 정확히 일치함.

자주 하는 실수. $R$과 $2\sqrt{L/C}$을 비교하는 대신 $\alpha$과 $\omega_{0}$ — 동일한 테스트를 그대로 작성하십시오. $\omega_{0}$을 사용할 때 $\omega_{d}$에 속합니다(당신이 보이는 진동은 감쇠 주파수입니다). 두 번째 초기 조건을 간과함: 두 에너지 저장 요소는 두 상수를 제공함.

요약: $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$, $\alpha = R/2L$, 하나의 조건에 따른 세 가지 영역 비교; $\omega_{d}$는 가시적인 진동이며, 느린 근이 꼬리 부분을 담당합니다; 두 저장소 → 두 상수 → 두 경계점 확인.

라디오의 튜닝 회로는 혼잡한 대역 중 한 스테이션을 택하기 위해 특정 주파수를 frequency special: at resonance the imaginary parts cancel, $\omega_{0}L = 1/(\omega_{0}C)$, 즉 $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$입니다. 여기서 $Z = R$ (순수 저항성, 최소), 전류가 최대가 되며, 대역폭 $BW = R/L = \omega_{0}/Q$입니다. 임피던스의 절반이 상쇄됩니다 각각 단독으로는 크기가 클 수 있음 — $V_{L}$과 $V_{C}$은 각각 전원 전압보다 Q배만큼 초과할 수 있다.

해설 예제 1 (전압 증폭, 검증됨). $R = 5\ \Omega$, $L = 0.1$ H, $C = 10\ \mu F$: $\omega_{0} = 1/\sqrt{0.1 \times 10^{-5}} = 1000$ rad/s; $Q = \omega_{0}L/R = 1000 × 0.1/5 = 20$. 전원 전압이 10 V, the current at resonance is $10/5 = 2$ A, and $V_{L} = \omega_{0}LI = 200$ V — twenty times the source. Check: $V_{C} = I/(\omega_{0}C) = 2/0.01 = 200$ V ✓; 둘 다 200 V이며, 위상 차 180°, 합은 0.

해설 예제 2 (반력 대역, 확장됨). 동일한 회로의 대역폭: $BW = \omega_{0}/Q = 1000/20 = 50$ rad/s이며, 반출력 주파수는 $\omega_{1} = 975.3$, $\omega_{2} = 1025.3$ rad/s로 계산됩니다 — 그 차이는 50.0 ✓ (기계 검증 완료)입니다. 거의 균등하게 양측에 위치하며 1000의 한쪽; 정확히는 $\omega_{1}\omega_{2} = \omega_{0}^{2}$ (대칭인 경우, 대수 축)입니다. 최댓값의 $|Z| = \sqrt{2}R = 7.07\ \Omega$이며, 각 반응 소자는 최댓값 $1/\sqrt{2}$이며, 각 반응 소자는 $Q/\sqrt{2} \approx 14$의 원천 전압 — 여전히 증폭이지만, past its peak. This is the selectivity a tuner sells: at 900 rad/s (a 전류는 감소하여 $10/\sqrt{R^{2} + (\omega L - 1/\omega C)^{2}} = 10/|5 + j(90 - 111.1)| = 10/21.7 = 0.46$ A — under a quarter of the resonant 2 A.

자주 하는 실수. 다른 요소를 확인하지 않고 $Q$-증폭을 보고함 (두 요소 모두 일치해야 함). $\omega_{0}$이 들어갈 자리에 $f_{0}$ 사용 (인수 $2\pi$). 임피던스가 어떤 값이든 공진이 전력을 극대화한다고 믿음 — 그것은 |Z|를 최소화하므로, 단단한 전원에 한해 전류를 극대화할 뿐임.

요약: $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$, |Z| = R, 반출력 지점 사이의 대역폭 BW = ω₀/Q, 각 리액티브 전압은 Q·전원; 두 요소의 증폭을 모두 확인. 모든 요소에 대해.

베이스 부스트는 필터로, 한 밴드만 높이고 나머지는 그대로 둠. 필터 는 특정 밴드를 통과시키고 나머지를 감쇠하며, 전달 함수 $H(j\omega)$에는 크기와 위상이 있음. 보데 도표는 log 주파수에 대해 dB로 $20\log_{10}|H|$을 log 주파수에 대해: 각 극점은 코너 주파수 이상에서 −20 dB/decade를 기여함. frequency** $\omega_{c} = 1/(RC)$; each zero +20 dB/decade.

풀이 예제 1 (저역통과, 끝값 확인). RC 저역통과 회로에서 $R = 1.6$ kΩ, $C = 0.1\ \mu F$: $\omega_{c} = 1/(1600 \times 10^{-7}) = 6250$ rad/s (995 Hz). At $\omega_{c}$ the gain is $1/\sqrt{2} = -3$ dB이며, (정확값 −45). 끝값 확인: 저주파수 $10\omega_{c}$에서 (20 dB), 이 (정확 값 −20.04). 끝점을 확인하면: 저주파수 영역에서 $H = 1$ (0 dB), $100\omega_{c}$ ≈ −40 dB — 코너 주파수를 지나 한 데케이드마다 20 dB씩 감소하며, 해설 예제 $20\log_{10}10 = 20$(고역미러, 기계 검증 완료, 확장됨).

해설 예제 2 (고역과 미러 회로, 기계 검증 완료, 단계별 확장됨). 출력을 저항기에 연결하면 동일한 고역과를 얻는다. $\omega_{c} = 6250$ rad/s: $H(j\omega) = (j\omega/\omega_{c})/(1 + j\omega/\omega_{c})$. At $0.1\omega_{c}$: $-20.04$ dB at $+84.3^{\circ}$; 이 때, $\omega_{c}$: $-3.01$ dB @ $+45^{\circ}$; $10\omega_{c}$: $-0.04$ dB @ $+5.7^{\circ}$ (모두 기계 검증됨) — 저역과의 정확한 미러로, 위상이 진전하고 차단 대역이 아래에 위치한다. 설계 참고 사항: phase leading and the stop-band below instead of above. The design reading: 더 가파른 40 dB/데케이드 감쇠는 두 개의 직렬 연결 단계를 필요로 하며, (중간 부하를 고려할 때) 직렬 연결은 증폭을 곱하므로 dB 값이 loading between them accounted for) the cascade multiplies gains, so the dB add — the same chaining logic as the ABCD matrices of unit 4.7.

Common mistakes. Reading −3 dB as "half power lost in the filter" at the corner (it is half power delivered to the load versus mid-band). Mixing $\omega$ and $f$ on the same axis. Forgetting phase: a filter that is flat in magnitude can still wreck a pulse by its phase slope.

Summary: poles −20 dB/decade above their corner, zeros +20; −3 dB and ±45° at the corner; the asymptotes are the design tool, the exact curve the check.

EE02의 라플라스 기법은 회로 해석법으로 활용됩니다: 각 소자는 초기 조건을 전원으로 하는 s-영역 모델로 표현되며—

• 저항기: $Z = R$.
• Inductor: $Z = sL$ plus a series voltage $Li(0^{-})$ (or parallel 현재 소스 $i(0^{-})/s$).
• 정류기: $Z = 1/(sC)$ 병렬 전류 소스 $Cv(0^{-})$ (또는 직렬 전압 $v(0^{-})/s$).

이때 모든 DC 분석 기법이 $s$에 적용됩니다. 응답의 극점은 일시적 현상을, 입력의 극점은 정상 상태를 나타냅니다.

해설 예제 1 (파동-1 RC, 대수법으로). 파동-1 RC 스텝에서 초기 전압: $R = 10$ kΩ, $C = 100\ \mu F$ ($\tau = 1$ s), 소스 9 V, $v_{C}(0) = 1$ V. s-도메인 KVL: $9/s = IR + v_{C}(0)/s + I/(sC)$ → $I = 8/(R(s + 1/(RC))) = 8/(10^{4}(s+1))$; $V_{C} = v_{C}(0)/s + I/(sC) = 1/s + 8/(s(s+1)) = 9/s - 8/(s+1)$이므로, $v_{C}(t) = 9 - 8e^{-t}$ V — 정확히 파동-1 답안, 이제 유도됨: 검증: $v_{C}(0) = 9 - 8 = 1$ ✓, $v_{C}(\infty) = 9$ ✓.

** solved example 2 (무소스 RLC, 극점 매칭, 확장됨).** series RLC of unit 4.3 with $R = 2\ \Omega$, $L = 0.2$ H, $C = 0.05$ F, $i(0) = 1$이며 극점은 $v_{C}(0) = 0$ — 정확히 $Li(0)$, $(0.2s + 2 + 20/s)I = 0.2$이 시간 도메인 연산이 산출한 결과임 ✓. $I(s) = s/(s^{2} + 10s + 100)$이며 극점은 $-5 \pm j8.66$ — 정확히 해당 흔한 실수. 초기 조건 소스를 누락하면 회로가 정지 상태에서 시작한다는 잘못된 결론이 나옴. $\alpha = 5$을 무조건 소거함 (분자와 분모의 $\omega_{d} = 8.66$ 인수가 임펄스를 숨길 수 있음). 최종값 두 경로는 두 가지 표기법으로 동일한 물리 법칙; s-영역 경로 공식을 암기하지 않고 지수 항을 제공하며, 부분분수 분해(예를 들어 EE02)가 파형을 완성함.

** 흔한 실수.** 초기 조건 소스를 누락하면 — 답안은 회로가 정지 상태에서 시작한다고 주장한다. $s$를 무조건 소거하면(분자와 분모에 $s$ 인자가 있어) 임펄스가 숨겨질 수 있다. 분자와 분모에 임펄스가 숨어 있을 수 있음). 최종 값 정리 정리의 조건(극이 좌반평면에 엄격히 존재함).

요약: 임피던스는 $R$, $sL$, $1/sC$ 및 초기 조건 소스로 변환됨; $s$의 DC 방법; 극은 *$\alpha$*와 *$\omega_{d}$*임; 끝점 검증 아직 자유로움.

증폭기 모듈, 정합 회로, 케이블 한 줄 — 각각은 하나의 박스임 두 개의 와이어 쌍으로 구성되며, 설계자는 해당 박스의 단자에서 하는 일만 필요함. 이중 단자는 입력 및 출력 단자 쌍을 가지며, 외부 세계는 단자의 동작만 관측함. 매개변수 집합은 단자 변수 간의 관계를 정의함:

전환은 대수적 연산이며(예: z-매개변수로부터: $A = z_{11}/z_{21}$, $B = (z_{11}z_{22} - z_{12}z_{21})/z_{21}$). 연속 연결은 곱함 ABCD 행렬 — 전송선과 필터 체인에서 이 세트를 사용하는 이유.

해설 예제 1 (L형 연결, 판별식 검증). 직렬 impedance $Z$ has $ABCD = (1, Z; 0, 1)$; the shunt admittance $Y$ has $(1, 0; Y, 1)$을 가짐. 병렬-$Y$ 다음 직렬-$Z$ 연결 시: $(1,0;Y,1)(1,Z;0,1) = (1, Z; Y, 1+YZ)$. $Z = j10$, $Y = -j0.1$으로 검증 (한 주파수의 L형 단면): $1 + YZ = 1 + (-j0.1)(j10) = 2$, $B = j10$ — 그리고 판별식 $AD - BC = 2 - j10 \cdot (-j0.1) = 1$이 1과 같음, 이는 상호 네트워크의 모든 ABCD 행렬은 반드시.

작업 예제 2 (z-매개변수로 변환, 기계 검증, 고도화됨). 이 동일 L-section의 z-매개변수는 변환 $z_{11} = A/C$로부터, $z_{12} = \Delta/C$, $z_{21} = 1/C$, $z_{22} = D/C$ with $C = Y = -j0.1$: $z_{11} = z_{12} = z_{21} = 1/(-j0.1) = j10\ \Omega$, $z_{22} = 2/(-j0.1) = j20\ \Omega$ (machine-verified). The symmetry $z_{12} = z_{21}$ is the 상호성 조건 — 숫자에서 보일 뿐 가정되지 않음, 그리고 $z_{22} \neq z_{11}$은 L의 비대칭성(shunt at the input side)을 기록함. 읽으세요 back: with port 2 open ($I_{2} = 0$), $V_{1} = j10 I_{1}$ — the series arm 연결 순서를 잘못 곱함 (행렬 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않음). $1/Y = 1/(-j0.1) = j10\ \Omega$.

Common mistakes. Sign of $I_{2}$: ABCD uses $-I_{2}$ (current out of port 2); z-parameters use it into the port — pick the convention and stay. 연속 연결의 순서를 잘못 선택하는 것(행렬 곱셈은 교환 법칙을 따르지 않습니다). 내부에 제어된 신호원이 있는 회로에 대해 $z_{12} = z_{21}$를 예상하는 것—— 상호성(reciprocity)은 의존성 신호원이 없는 선형성만 요구합니다.

Summary: ports hide the interior; ABCD cascades by multiplication (reciprocal networks: $AD - BC = 1$); z-parameters suit series connections and expose reciprocity as $z_{12} = z_{21}$; convert only by algebra, verify by one determinant.