C.4 · 정지파와 공명

전체 가이드 C.4 scopes (정지파와 공명), 첫 평가 2025. Physics 가이드 페이지 48–49 직접 참고. 선행 지식: C.1(진동 용어) 및 C.3(중첩).

이것들은 실제 측정값이나 완료된 평가 learner 조사가 아닌 원본 교육 예시입니다.

반대 방향으로 이동하는 두 동일한 파동 — 일반적으로 입사파와 반사파 — 가 중첩되어 정지파를 형성합니다: 패턴은 고정된 채로 매질 내부가 진동합니다. 두 파동이 항상 상쇄되는 지점은 영점(변위 0)이고, 항상 보강되는 지점은 절점(최대 진폭)입니다. 인접한 영점 사이의 두 점은 동위로 진동하며, 한 영점의 양측에 있는 점은 반위입니다. 진행파와 달리 위상은 따라가지 않습니다.

끝부분이 어떤 파장이 맞는지 결정합니다. 고정된 현의 끝(또는 관의 폐구)은 변위 영점이어야 하며, 자유로운 현의 끝(또는 관의 개구)은 영점이어야 합니다. 관은 오직 변위 용어로 설명되며(압력 영점은 불필요하며, 끝 보정은 없음).

가장 낮은 주파수 모드는 기본조(제1고조)이며, 이 과정에서는 '기초진동' 및 '상부음'이라는 용어를 사용하지 않습니다. $n$차 고조의 파장과 주파수를 길이와 파속도로부터 구하는 것은 필수 역량입니다.

작업 확인 (현). 길이 0.60 m인 현에 속도 240 m/s의 파동이 전파됩니다. 첫 번째 조화수: $\lambda_1 = 2L = 1.2\ \mathrm{m}$, $f_1 = v/2L = 240/1.2 = 200\ \mathrm{Hz}$; 두 번째 조화수는 두 배인 400 Hz, 세 번째 조화수는 600 Hz로 증가합니다.

풀이 확인 (닫힘-열림 파이프). 한쪽은 닫혀 있고 다른 쪽은 열린 파이프, 길이 0.40 m, 공기 중 음속 340 m/s: $f_1 = v/4L = 340/1.6 = 213\ \mathrm{Hz}$; 다음 조화음은 제3조화음인 $f_3 = 3f_1 = 638\ \mathrm{Hz}$ — 짝수 조화음은 형성될 수 없음.

풀이 확인 (열림-열림 파이프). 양쪽 모두를 연 파이프: $f_1 = v/2L = 340/0.80 = 425\ \mathrm{Hz}$, 닫힘-열림 파이프의 제1조화음보다 한 옥타브 높은 주파수이며, 모든 조화음이 허용됨.

모든 탄성계는 고유 진동수를 가짐 — 외부 개입 없이 고립되었을 때 진동하는 빈도. 주기적인 외력을 가하면 반응은 구동 주파수에 의존함: 구동 주파수가 고유 진동수에 가까워지면 진폭이 급격히 증가하는데 이를 공명이라 함. 에너지가 시스템이 흡수할 수 있는 속도와 정확히 일치하여 공급되므로, 공명 시의 진폭은 에너지 소실 속도에 의해만 제한됨.

감쇠 — 진동 에너지를 제거하는 현상 — 반응을 재형성함: 최대 진폭을 낮추고 공명 피크를 고유 진동수보다 약간 아래로 이동시키며 피크를 넓게 만듦.

• 약한 감쇠 — 높고 날카로운 피크; 큰 공명 진폭(고유 진동수에서 가볍게 밀린 그네).
• 임계 감쇠 — 평형점을 지나지 않고 가장 짧은 시간 내에 진동이 사라짐; 공명 피크는 효과적으로 사라짐(자동차 서스펜션).
• 강한 감쇠 — 느리고 뻑뻑한 복귀; 어떤 구동 주파수에서도 시스템이 거의 반응하지 않음(무거운 문 클로저).

공명은 의도되고 설계됨(악기, 라디오 튜닝, MRI) 또는 원치 않거나 파괴적임(타코마 나로즈 대교, 기계 자체의 진동으로 인한 파손, 다리를 건너는 군인들이 발걸음을 맞추지 않음) — 이 가이드에서는 두 경우 모두를 요구함.

1. 정재파가 어떻게 형성되는지 설명하고, 왜 결절점(node)은 고정된 채로 그 사이의 매질은 움직이는지 설명하시오.
2. 정재파 상의 두 점이 결절점 양쪽에 위치하며 각각 결절점에서 0.15 m 떨어져 있음. 두 점의 위상 차이를 기술하시오.
3. 양쪽 끝이 고정된 줄의 길이가 0.75 m이고 파동의 전파 속도가 150 m/s일 때, 제1조화음과 제2조화음의 주파수를 계산하시오.
4. 닫힘-열림 파이프가 오직 홀수 조화음만 생성하는 이유를 설명하시오.
5. 길이가 0.50 m인 파이프가 양쪽 끝이 열려 있으며 공기 중 음속이 340 m/s일 때, 제1조화음의 주파수와 제2조화음의 파장을 계산하시오.
6. 약하게 감쇠된 시스템의 공명 곡선이 감쇠가 증가함에 따라 어떻게 변하는지 도식하거나 서술하시오.
7. 공명의 유용한 효과 하나와 파괴적 효과 하나를 제시하고, 각 효과가 발생하는 물리적 이유를 설명하시오.

정답: 1 서로 반대 방향으로 진행하는 동일한 두 파동이 중첩되어 결절점에서는 변위가 항상 상쇄되어 움직이지 않으며, 결절점 사이에서는 중첩된 파동이 진동함; 2 반위상 — 180° (π rad) 차이; 3 $f_1 = v/2L = 150/1.5 = 100\ \mathrm{Hz}$, $f_2 = 200\ \mathrm{Hz}$; 4 닫힌 쪽은 반드시 결절점이야 하고 열린 쪽은 반드시 안티노드여야 하므로 오직 홀수 분의 한 파장만 들어갈 수 있어 짝수 조화음은 두 조건을 동시에 만족시킬 수 없음; 5 $f_1 = v/2L = 340/1.0 = 340\ \mathrm{Hz}$; $\lambda_2 = L = 0.50\ \mathrm{m}$; 6 피크는 낮아지고 넓어지며 고유 진동수보다 약간 아래로 이동함; 7 유용함 — 라디오 회로가 공명에 맞춰져 있어 여러 방송 중 하나만을 선택하는데, 이는 고유 진동수 근처에서만 반응하기 때문임; 파괴적임 — 고유 진동수에서 에너지를 공급하면 에너지가 소실되는 속도보다 빠르게 공급되어 진폭이 커져 구조물이 파손됨.