Q.L-algebra · Algebra: domains, systems, inequalities and functions

검토된 shorter-test task types 내의 원래 교실実践。这是自适应测试的模拟，也不是预测标准化或写作分数。

• 분모와 근호 제한 조건을 유지하면서 방정식을 풀으십시오
• 경계점을 잃지 않고 부등식과 동시 조건을 분석하십시오
• 함수를 평가하고 언어적 관계를 대수식으로 변환하기

domain restriction 정의역 제한: 원본 식이 정의되는 입력값을 식별하는 조건입니다.

simultaneous solution 연립해: 한 시스템의 모든 관계식을 동시에 만족하는 값입니다.

Write restrictions before manipulating an equation. A denominator must be nonzero; a real even root needs a nonnegative argument. Cancelling factors preserves the expression only on its original domain. Squaring can introduce candidates because a square loses sign information; verify every candidate in the unsquared relation.

연립방정식의 해를 구하려면 같은 순서쌍이 모든 관계식을 만족해야 합니다. 대입법 또는 소거법을 사용하여 선형 해가 하나, 없음, 무수히 많은 경우 중 하나를 파악할 수 있습니다. 부등식의 경우, 음수인 양변에 곱하거나 나누면 부등호 방향이 반대로 바뀝니다. 인수분해된 이차부등식의 경우, 근을 정렬하고 구간별 부호를 테스트하며, 등호가 허용될 때만 경계점을 포함합니다.

함수는 각 허용된 입력값에 하나의 출력값을 대응시킵니다. 합성함수를 평가할 때는 내부 함수부터 계산하되, 정의역 제한을 유지해야 합니다. 기울기는 입력 단위당 출력 변화량이며, 절편은 해당 입력값이 의미 있는 경우에만 x=0일 때의 출력값으로 읽습니다. 언어적 모델은 변수를 명시하고 물리량이 호환되는 단위로 이루어져야 합니다.

양변 비교 문제에서는 모든 허용 가능한 값을 고려해야 합니다. x²=4인 변수는 제약이 없으면 −2이나 2일 수 있습니다. 보편적 관계에 대한 반례 하나만으로 거절할 수 있으나, 여러 가지 유리한 치환으로는 모든 실수에서 성함을 증명할 수 없습니다. 대수적 구조를 이용하면 exhaustive한 수치 샘플링 없이도 관계를 확립할 수 있습니다.

√(x+2)=x인 경우, x≥0이다. 제곱하면 x²−x−2=0가 되어 대안 해 2와 −1이 나온다. 오직 2만이 원본 조건을 만족한다. (x−1)(x−4)≤0인 경우, 위로 볼록한 이차함수는 근을 포함하는 1≤x≤4 구간에서 음수 이상이다. 연립방정식 x+y=10, x−y=2에서 더하면 2x=12이 되어 x=6, y=4이다. f(t)=2t+1이고 g(x)=x²인 경우, f(g(3))=2·9+1=19로 계산되는데, 이는 먼저 g를 적용한 것이다.

변형된 방정식은 후보를 제공할 뿐, 자동으로 원래 해를 주지는 않습니다. 음의 부등식 곱하기 인자와 엄격한 끝점에는 명시적인 검증이 필요합니다.

$(x^2-4)/(x-2)=5$를 원래 실수 정의역에서 풀이하십시오. $(x+1)(x-3)\le0$을 풀고 $f(g(2))$를 구하여 $f(t)=t^2$과 $g(x)=x-3$에 대입하십시오.

모델과 추론

유한 방정식은 x=2을 제외합니다. 허용된 x에 대해서는 x+2=5로 축소되어 x=3을 주며, 이는 올바르게 대입됩니다. 이차식은 근 사이에서 음수 이상(근 포함): $-1\le x\le3$. 합성 함수는 g를 먼저 적용합니다: $g(2)=-1$과 $f(g(2))=1$. 인수를 약분해도 제외된 입력값은 복원되지 않습니다.

실수 a에 대해 연립방정식 $x+y=4$, $2x+ay=8$이 해가 하나, 없음, 혹은 무수히 많은지 분류하십시오. 두 번째 방정식 $2x+ay=9$과 비교하십시오. 일관된 모든 경우에 대해 해를 제시하십시오.

시도 후 확인

첫 번째 방정식의 두 배를 뺍니다. 첫 번째 연립방정식 $(a-2)y=0$에서: a≠2일 때 y=0, x=4로 유한하게 결정됩니다. a=2일 때 두 방정식이 동일한 관계식이 되어 모든 쌍 $(4-t,t)$이 해가 됩니다. 이 연립방정식에는 불일치 경우가 없습니다. 우변이 9일 때, $(a-2)y=1$. a가 2와 같지 않을 때, $y=1/(a-2)$과 $x=4-1/(a-2)$로 유일하다. a=2일 때, 이는 0=1를 요구하고 해가 없다. 영계수 행은 우변이 0이 아닐 때 불일치만을 의미한다.