Spread and grouped data（ばらつきと集計データ）

データがグループ化された場合

• 200人の学生の身長を調査したとする。全200の値をリストする代わりに、データをグループ化して: $140$–$150$ cm ($15$人)、$150$–$160$ cm ($45$人)、というようにする。
• グループ化されたデータでは個別の値が失われるため、平均は推計するしかない。

グループ化された平均の推計

• 各クラスの中点を用いて代表値とする：

• 最頻クラス は度数が最も高いグループである。

棒グラフは各グループの度数を示している

四分位数とIQR

• データに順序をつける。四分位数で4等分する：
• 下位四分位数 (LQ) は $\dfrac{1}{4}$ 番目の位置にある。
• 上位四分位数 (UQ) は $\dfrac{3}{4}$ 番目の位置にある。

worked example（計算例）

• UQ $= 15$, LQ $= 7$: $\text{IQR} = 15 - 7 = 8$。
• これはデータの中央 $50\%$ が $8$ 単位の範囲にわたることを意味する。

ばらつきの公平な比較

• 中央半分の変動を比較したい場合はIQRを用いる。IQRが小さいほど、その中央グループの一貫性が高いことを示す。
• 中央値も比較する。IQRが等しいからといって、代表的な値が等しいとは限らない。

区間データの推計値の計算

• 階級 $0\le x<10,10\le x<20,20\le x<40$ は頻度 4,6,5 を持つ。中間値は 5,15,30 で、加重合計は $T=4(5)+6(15)+5(30)=260$ である。
• 推計された平均値は小数点第1位まで $\bar x\approx260/15=17.3$ 。最頻値階級は $10\le x<20$ で、最も高い頻度は 6 。個々の値が不明なので、平均値は推計値である。

個別データの四分位

• 並べ替えられた値 $2,4,5,7,8,10,12,14$ に対し、中央値は $(7+8)/2=7.5$ 。下半分と上半分の中央値は、それぞれ $Q_1=(4+5)/2=4.5$ と $Q_3=(10+12)/2=11$ を与える。
• $\text{IQR}=Q_3-Q_1=11-4.5=6.5$ 。リストから値を求める際の慣習を明記すること。グラフ問題においては、四分位点および四分之三点の累積頻度位置を用いる。

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