| English | 意味 |
|---|---|
| parallel/ˈpærəlel/ | 平行 |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | 垂直 |
| negative reciprocal/ˈneɡətɪv rɪˈsɪprəkl/ | 負の逆数 |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | 垂直二等分線 |
鉄道線路と都市の格子状道路
- 鉄道のレールは平行であり、同じ勾配を持ち、遠方まで延びて never 出会う。
- ニューヨークやバルセロナのような計画的な都市の道路は直角に交わり、グリッドを形成する。
- 平行と垂直の両方の概念は、すべて勾配に帰着される。
平行線
- 平行な直線は、どれだけ延長しても決して出会うことはない。
- 非垂直な異なる直線は、同じ傾きを持つ場合に平行となる。垂直な直線も平行だが、定義された傾きを持たない。
- $y = 4x - 1$ と $y = 4x + 7$ は平行である（どちらも$m = 4$ を持つ）。
平行線を見つけてください。 直線 $y = 4x - 1$ に平行で点 $(1, -3)$ を通る直線は、同じ傾き $4$ であるため、切片は $-3 = 4(1) + c \Rightarrow c = -7$ です。この直線の方程式は $y = 4x - 7$ です。
平行線は傾きを共有し、垂直な直線の傾きの積は $-1$ になります
平行と垂直
y = ax + b
平行な直線は傾きが同じであり、垂直な直線の傾きの積は −1 です。
y = 4x − 1 に平行で、点 (1, −3) を通る直線があります。y = 4x + c において c はいくつですか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
平行なので同じ傾き 4 です。−3 = 4(1) + c より、c = −7。
y = −2x + 5 に平行な直線はどれですか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
平行な直線は傾きが同じです。y = −2x − 3 の傾きは −2 で、y = −2x + 5 と同じです。
垂直な直線（拡張）
- 2つの直線が垂直であるとは、直角（$90°$）で交わることを意味します。
- これらの傾きの積は $-1$ になります:
- 言葉で表すと：分数の分子と分母を入れ替え、符号を変える（負の逆数）。
- 傾き $\dfrac{3}{2}$ → 垂直な直線の傾き $-\dfrac{2}{3}$。
平行（シアン色）: 傾きが同じ。垂直（ローズ＋バイオレット）: 傾きの積が $-1$。
傾きが 3/2 の直線があります。これに垂直な直線の傾きはいくつですか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
逆数を取って符号を変えます：垂直な直線の傾き = −1 ÷ (3/2) = −2/3。
2本の垂直な直線の傾きの積は −1 です。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
m₁ × m₂ = −1 が垂直な直線の傾きの定義的な性質です。
2本の直線が垂直である場合、m₁ × m₂ = ______ です。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
垂直な直線の傾きの積は常に −1 です。
worked example — 垂直な直線
- 直線 $y = 2x + 3$ に垂直で点 $(4, 1)$ を通る直線を見つけます。
- 元の傾き $m_1 = 2$ なので、垂直な直線の傾きは $m_2 = -\dfrac{1}{2}$。
- 代入：$1 = -\dfrac{1}{2}(4) + c \Rightarrow 1 = -2 + c \Rightarrow c = 3$。
- 垂直な直線は $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$ です。
両方のステップを忘れないでください。 垂直な直線の傾きは 入れ替えて AND 符号を変える です。傾き $3$ → 垂直 $-\dfrac{1}{3}$ （$\dfrac{1}{3}$ ではなく、単なる逆数 only です）。
傾きが 5 の直線があります。これに垂直な直線の傾きはいくつですか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
垂直な直線の傾き = −1/5 = −0.2。
垂直二等分線（拡張）
- 線分の垂直二等分線とは、その中点を通り、線分に直角で交わる直線です。
- 手順（3ステップ）:
- 1. 線分の中点を見つける。
- 2. 垂直な傾きを見つける（$-\dfrac{1}{m}$）。
- 3. 垂直な傾きと中点を使って方程式を立てる。
各傾きのペア (m₁, m₂) と、直線間の関係を対応させなさい。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
2/3 × (−3/2) = −1 → 垂直。4 = 4 → 平行。1 × (−1) = −1 → 垂直。5 × (−5) = −25 ≠ −1 かつ 5 ≠ −5 → どちらでもありません。
点 (0, 0) と (6, 2) の垂直二等分線を見つける手順を正しい順序に並べ替えなさい。
難易度 3/5 · 200 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
まず中点を見つけ、次に線分の傾きを見つけ、その後逆数取って符号を変えて垂直な直線の傾きを見つけ、最後に y = mx + c に代入する。
都市計画家と傾きのルール
- マンハッタンのグリッドは1811年に計画され、アベニューは南北方向、ストリートは東西方向に走っており—すべて垂直でした。
- 対照的に、古いヨーロッパの都市では、あらゆる角度でストリートが交わります—傾きのルールはありません。
- 技術者は道路交差点、鉄道踏切、建物の基礎の設計に垂直な傾きを使用します。
理解できましたか
- 平行 → 傾きが同じ（$m_1 = m_2$）
- 垂直 → 傾きの積が $-1$ （$m_2 = -\dfrac{1}{m_1}$、「入れ替えて符号を変える」）
- 垂直二等分線 = 中点を通る垂直な傾き
- 直線 $y = 4x - 1$ に平行で点 $(1, -3)$ を通る直線 → 直線 $y = 4x - 7$