| English | 意味 |
|---|---|
| algebraic fractions/ˌældʒɪˈbreɪɪk ˈfrækʃnz/ | 代数式分数 |
| factorise/ˈfæktəraɪz/ | 因数分解 |
| cancel/ˈkænsl/ | 約分 |
| common denominator/ˈkɒmən dɪˈnɒmɪneɪtə/ | 通分 |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | 逆数 |
When fractions have letters
- A baker halves a recipe, then thirds it again — that's $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ of the original.
- Algebraic fractions 代数分式 work exactly the same way, but the numbers are replaced by expressions. The rules don't change.
代数的分数のルート
約分する前に因数分解して代数的分数を簡略化せよ。
Simplifying algebraic fractions
- Factorise 因式分解 the numerator and denominator, then cancel 约分 any common factors.
- $\dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6} = \dfrac{x(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \dfrac{x}{x-3}$.
Factorise first, then cancel. You cannot cancel individual terms: $\dfrac{x+2}{x+3} \neq \dfrac{2}{3}$. The $+2$ and $+3$ are not factors — they are terms inside a sum.
Expanding a bracket with an area model
(x² − 2x)/(x² − 5x + 6) を簡略化せよ。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
因数分解：x(x−2) / [(x−2)(x−3)]、(x−2)を約分 → x/(x−3)。
(x + 2)/(x + 3) は 2/3 に簡略化される。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
共通因子のみ約分でき、和の項は約分できない。x+2 と x+3 に共通因子はない。
Adding and subtracting
- Find a common denominator 公分母, just as with ordinary fractions.
- $\dfrac{x}{3} + \dfrac{x-4}{2} = \dfrac{2x}{6} + \dfrac{3(x-4)}{6} = \dfrac{2x + 3x - 12}{6} = \dfrac{5x - 12}{6}$.
Expand carefully. $3(x-4) = 3x - 12$ (not $3x - 4$). Every term inside the bracket must be multiplied.
x/3 + (x−4)/2 を通分して6を分母として計算しなさい。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
2x/6 + 3(x−4)/6 = (2x + 3x − 12)/6 = (5x − 12)/6.
代数的分数を足すには、まず共通の ______ を見つける必要がある。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
数値分数と同じように、足し引きをする前に通分が必要である。
Multiplying and dividing
- Multiply: tops × tops, bottoms × bottoms — same as ordinary fractions.
- Divide: multiply by the reciprocal 倒数 of the second fraction.
- $\dfrac{x+1}{x-2} \div \dfrac{x+3}{x} = \dfrac{x+1}{x-2} \times \dfrac{x}{x+3} = \dfrac{x(x+1)}{(x-2)(x+3)}$.
代数的分数を割るには、第二の分数の逆数を掛けて multiplication する。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
分数での割り算は逆数との掛け算であり、数値と同様である。
Worked example
- Simplify $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$.
- Factorise: numerator $= (x+3)(x-3)$, denominator $= (x+2)(x+3)$.
- Cancel $(x+3)$: result $= \dfrac{x-3}{x+2}$.
Factorising is the key to both solving quadratics and simplifying algebraic fractions.
(x² − 9)/(x² + 5x + 6) を簡略化せよ。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
(x+3)(x−3) / [(x+2)(x+3)]、(x+3)を約分 → (x−3)/(x+2)。
Keep the excluded values
- Cancelling a factor does not restore a forbidden input. $x(x-2)/((x-2)(x-3))=x/(x-3)$, but the original still excludes $x=2$ and $x=3$.
- For $(x+1)/(x-2)\div((x+3)/x)$, exclude $x=2,0$ because of denominators, and $x=-3$ because the divisor is zero. Write these restrictions before cancelling.
(x² − 9)/(x² + 5x + 6) において、除却した後に残る −2 以外の除外された入力値は何ですか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
元の分母は (x+2)(x+3) であるため、x = −3 は除外される。
You've got it
- simplify: factorise top and bottom, cancel common brackets
- add/subtract: find a common denominator, combine numerators
- multiply/divide: as with ordinary fractions (divide = × the reciprocal)
- never cancel terms inside a sum — only cancel factors