根号式（surds）

グレコローマ時代を揺るがした数

• 単位正方形の対角線は$\sqrt{2} \approx 1.41421356\dots$ — この数字は決して繰り返さず、決して終わらない値です。
• 分数で正確に表せない。そのため、無理根と呼ぶ。このように exact form（正確な値）のまま残された無理の平方根のことである。

無理根とは何か？

• 無理根とは、有理数に簡略化できない平方根のことである。
• $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt[3]{10}$ は無理根であり、無理数である。
• $\sqrt{4} = 2$ と $\sqrt[3]{27} = 3$ は無理根ではない — 整数に簡略化できるからである。

無理根は対角線から生まれる：$1 \times 1$ の正方形の対角線は $\sqrt{2}$ ； $2 \times 2$ の正方形の対角線は $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ 。

無理根のルール

• $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ — 1つのルートの下にまとめられる。
• $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ — 1つのルートの下で割り算できる。
• 最大完全平方因数を取り出すことで簡略化する：

分母の有理化

• 分母に無理根を含む分数は、最简形ではない。
• 分子と分母の両方に無理根を掛けて、分母から外す：

なぜ無理根を正確な値として残すのか

• $\sqrt{2} \approx 1.414$ は近似値；$\sqrt{2}$ は正確な値である。
• 工学や物理学では、早期の四捨五入が誤差の蓄積を招く。無理根をそのまま保持することで、長い計算でも精度を保てる。

相似なルート項と2項分母

• まず各ルート項を簡約する：$\sqrt{200}-\sqrt{32}=10\sqrt2-4\sqrt2=6\sqrt2$。一致するルート項のみ合并せる。
• $1/(\sqrt3-1)$の分母を有理化するために、$\sqrt3+1$の共役式を掛けます。分母は$(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)=3-1=2$となるため、結果は$(\sqrt3+1)/2$となり、掛けた分数は1に等しくなります。

理解できましたか