| English | 意味 |
|---|---|
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | 極座標 |
| radians/ˈreɪdɪənz/ | ラジアン |
| polar grid/ˈpəʊlə ɡrɪd/ | 極座標グリッド |
「どこ」を言う别の方法
- 通常、点の位置を「右へ $x$、上へ $y$」と指定します——直交座标系です。
- しかし、レーダー画面やコンパスは违った考え方をします：「どれだけ离れていて、どの方向か？」
- それが極座标です：距离と角度。
- 回転や放射に関わる anything にとって、極座标は遥かに自然です。
点としての (r, θ)
- 極座标 は、$(r, \theta)$ で点を命名します。
- $r$ は原点（极点）からの距离です；$\theta$ は正のx轴からの角度です。
- 角度は ラジアン （または度）で、反时针计に测ります。
- つまり、$(2, \tfrac{\pi}{4})$ は「$2$ の单位だけ离れて、$45°$ の方向へ進む」ことを意味します。
極座標 $(r, \theta)$ において、2つの数は…
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極座標系では、原点からの距離 $r$ と角度 $\theta$ を用いるが、これは直交座標系の $(x, y)$ とは異なる。
极座标グリッド
- 極座標系は、同心円（$r$一定）と放射状の直線（$\theta$一定）からなるグリッドです。
- 点の読み取りは簡単です：まずその点が属する円を見つけ、次に放射状の直線を見つけます。
- 原点は $r = 0$ で、すべての円の唯一の中心です。
- このグリッドは、直交座標系の一般的な正方形方眼紙に代わります。
半径と角度によって点を特定する
角度と半径を設定して点を配置する。極座標 (r, theta) は方向と距離で位置を表す。
$(r, \theta)$ を直交座標 $(x, y)$ に変換するには、以下を使う…
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単位円の関係式が $r$ によってスケールアップされる：$x = r\cos\theta$ および $y = r\sin\theta$。
ある点には $r = 2$ と $\theta = 0$ があります。その点の $x$-座標はいくつですか？
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$x = r\cos\theta = 2\cos 0 = 2 \cdot 1 = 2$ ；および $y = 2\sin 0 = 0$ 。
極座標について正しい文をすべて選択せよ。
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極形式は一意ではない — 多くの $(r, \theta)$ が同じ点を表す。残りの3つは正しい。
座標系間の変換
- 極座標から直交座標へ：$x = r\cos\theta$ と $y = r\sin\theta$。
- 直交座標から極座標へ：$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ と $\theta = \arctan\!\tfrac{y}{x}$ （象限に注意）。
- これらは単位円の定義を $r$ でスケールしたものです。
- 問題を簡単にできる方の座標系に切り替えてください。
同じ点には複数の極座標の組み合わせがあることができる（例：角度に $2\pi$ を加える）。
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$\theta$ に一周分を加えると同じ点に戻り、極座標は一意ではない。
一意な住所ではない
- $(x, y)$ と異なり、極座標の点は 多数 の名前を持ちます。
- $2\pi$ を $\theta$ に加えると、ちょうど同じ点に到達する。
- 負の $r$ は反対方向を指し、さらに別の名前を与えます。
- したがって、$(2, 0)$、$(2, 2\pi)$、$(-2, \pi)$ はすべて同一の点です。
極座標は一意ではありません：一つの点に無限の $(r, \theta)$ の名前があります。変換や解答時には象限に注意し、$\arctan$ だけでは平面の誤った半分に入ってしまう可能性があることを覚えておいてください。
極座標の点 $(4, \tfrac{\pi}{2})$ を直交座標に変換してください。
- $x = r\cos\theta = 4\cos\tfrac{\pi}{2} = 4 \cdot 0 = 0$.
- $y = r\sin\theta = 4\sin\tfrac{\pi}{2} = 4 \cdot 1 = 4$.
- したがって、この点は y軸の上向きである $(0, 4)$ です。
極座標では、点を $(r, \theta)$ : 原点からの距離 $r$ 、角度 $\theta$ として指定し、極座標網上にプロットする。 $x = r\cos\theta$ と $y = r\sin\theta$ を用いて変換する。極座標の表記は一意ではない——一周分を加えても同じ点になる。