| English | 意味 |
|---|---|
| continuous random variable/kənˈtɪnjuːəs ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | 連続型確率変数 |
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | 確率密度関数 |
| area/ˈeərɪə/ | 面積 |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | 累積分布関数 |
確率を示す曲線
- 連続確率変数は範囲内の任意の値をとることができる。バスの正確な到着時刻や、人の正確な身長などである。
- 離散変数とは異なり、各値ごとの確率を列挙することはできない。代わりに確率密度関数 (pdf) が形状を表し、確率は曲線下の面積として与えられる。
確率密度関数
- 連続確率変数は範囲内の任意の値をとることができ、確率密度関数 ⟨$f(x)$⟩ で記述される。
解例. ⟨$f(x) = \dfrac{x}{8}$⟩ for ⟨$0 \leq x \leq 4$⟩, 他はゼロ。確認: $\int_0^4 \dfrac{x}{8}\,dx = \left[\dfrac{x^2}{16}\right]_0^4 = \dfrac{16}{16} = 1$。✓
$f(x)$ は確率ではない。 点における ⟨$f(x)$⟩ の値は1を超えることができる。確率を得るのは、2点間の曲線下の面積のみである。
連続変数について、確率は密度 f(x) 下の面積である
面積 ＝ 確率
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
連続型確率変数において、確率とは密度曲線の下にある 面積 のことである（2つの値の間）。
確率密度関数 f(x) の全 x に対する積分 ∫f(x)dx の値はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
確率密度関数の下の総面積は常に 1 である。
ある点における f(x) の値は、X がその値をとる確率である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
f(x) は確率ではなく密度である。f(x) の下の面積のみが確率を与える。f(x) の値は 1 を超えることもある。
f(x) = x/8 (0 ≤ x ≤ 4) のとき、∫₀⁴ (x/8) dx = [x²/16]₀⁴ を確認せよ。その結果はいくらか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
[x²/16]₀⁴ = 16/16 − 0 = 1。総面積は 1 であり、有効な確率密度関数であることが確認できる。
確率の求め方
- 確率は ⟨$f$⟩ 下の面積である: $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$。
確率は f(x) 下の面積であり、全 x に対する総面積は1でなければならない。
連続型確率変数において、P(a < X < b) は f(x) の下にある a と b の間の面積である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
連続型確率変数の確率は、密度関数の下の面積である。
平均と分散の求め方
- 平均は ⟨$E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx$⟩。
- 分散は ⟨$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$⟩ で、ここで ⟨$E(X^2) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x^2\,f(x)\,dx$⟩。
f(x) = ½x (0 ≤ x ≤ 2) のとき、E(X) = ∫₀² x(½x) dx = [x³/6]₀² となる。E(X) はいくらか。（約、小数点以下2桁）
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
E(X) = ∫₀² ½x² dx = [x³/6]₀² = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33。
累積分布関数
- cdf ⟨$F(x) = P(X \leq x) = \displaystyle\int_{-\infty}^x f(t)\,dt$⟩。
- ⟨$F(x)$⟩ は ⟨$f$⟩ 下の面积为、$x$ までである。常に0から1へ増加する。
- 密度関数を用いて中央値やその他のパーセンタイルを求める。
累積分布関数 F(x) が与えるのは：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
F(x) = P(X ≤ x) ＝ f の下にある x までの面積である。
理解できましたか
- pdf は ⟨$f(x) \geq 0$⟩ を持ち、総面積は ⟨$\int f = 1$⟩
- 確率は限界間の ⟨$f$⟩ 下の面積である
- 平均 ⟨$E(X) = \int x\,f(x)\,dx$⟩