正規分布

世界を支配する曲線

• 身長、IQ点数、測定誤差、試験成績—all同じ対称的な釣鐘型の曲線に従う。
• 正規分布は統計学で最も重要な分布です。これをマスターすれば、ほぼあらゆる連続変数をモデル化できます。

正規分布

• 正規分布は対称的な釣鐘型を持つ連続変数をモデル化します: $X \sim N(\mu, \sigma^2)$。
• 平均 $\mu$ が中心を決定し、標準偏差 $\sigma$ がばらつき（spread）を決定します。

Example

** 68-95-99.7則。** 値の約68%が平均から1標準偏差以内、95%が2標準偏差以内、99.7%が3標準偏差以内に位置します。

正規曲線は平均について対称であり、面積の約68%が1標準偏差内に位置します。

標準化

• 表を使うために、標準化して $Z \sim N(0, 1)$ にします:

• その後 $P(X < x) = P\!\left(Z < \dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$ を$\Phi$ 表から読み取ります。

ガルトンボード: 玉が釘の列を通り落ちて釣鐘型の正規分布に積み上がる

worked example（計算例）

• $X \sim N(50, 16)$ (したがって $\mu = 50$, $\sigma = 4$)。$P(X < 58)$ を求めよ。
• $Z = \dfrac{58 - 50}{4} = 2$.
• $P(Z < 2) = \Phi(2) = 0.9772$.

ガルトンボードが釣鐘型の正規分布を生み出す

二項分布の近似

• $n$ が大きい場合、正規分布は二項分布を近似します: $B(n, p) \approx N(np, np(1-p))$。
• 離散変数を連続変数で置き換えるため、連続性補正（0.5の調整）を適用します。

大きなnの場合、二項分布の棒グラフは滑らかな正規曲線 N(np, np(1−p)) に非常に近い*

二項分布 B(10, 0.3)；その平均は np = 3

• 正規分布は連続型確変数をモデル化し、標準化 $Z=(X-\mu)/\sigma$ を用い、また二項分布への近似として使われます。

理解できましたか