複素数

存在しない数

• $\sqrt{-1}$ とは何か？長年、数学者たちはそれは存在しないと説いた。しかし、それが存在すると仮定して$i$ と名づけることで、それまで解のなかった方程式に解を見つけることができた。
• 複素数は数直線を平面に拡張したものであり、電気工学、量子力学、信号処理に不可欠である。

複素数

• 複素数とは $z = x + iy$ であり、ここで $i^2 = -1$ — $x$ は実部、$y$ は虚部である。
• 共役複素数 $z^* = x - iy$ 。実係数多項式は、非実根が共役なペアとして現れる。
• 絶対値 $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ ；偏角は正の実軸からの角度である。

ローマネスコのような自己相似パターンは、複素平面上での反復から生じる

アラント図と極形式

• $z$ をアラント図上の点としてプロットする（実軸は水平、虚軸は垂直）。

アラント図において、絶対値 |z| は原点からの距離であり、偏角は角度 θ である。

• 極形式：$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ —— 掛け算をすると絶対値が掛け合わされ、偏角が足し合わされる。

共役複素数を用いた除法

• 除算を行う際は、分子と分母の両方に分母の共役複素数を掛けて計算する。
• 例：$\dfrac{3+i}{1-i} = \dfrac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{3+3i+i+i^2}{1+1} = \dfrac{2+4i}{2} = 1 + 2i$。

複素根を持つ方程式の解法

• 判別式が負である二次方程式は複素根を持ちます：$x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2i$。
• 実係数多項式は常に非実根が共役なペアとして現れる：$a + bi$ が根であれば、$a - bi$ もまた根となる。

図を省略可能：複素数の演算とアラント図は、代数・幾何学的な概念であり、表記と解き例によって効果的に伝えられる。

• 座標形式や極形式のほか、複素数の平方根を求め、軌跡（例：$|z-a|=r$ ）を描くこともできる。

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