| English | 意味 |
|---|---|
| decay/dɪˈkeɪ/ | 減衰 |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | 微分方程式 |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 変化率 |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | 初期条件 |
| separable/ˈsepərəbl/ | 変数分離可能 |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | 積分定数 |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | 特解 |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | 一般解 |
未来を予測する方程式
- 人口はどれほど速く増えるか？放射性物質はどれほど速く崩壊するか？コーヒーカップはどのように冷めるか？
- これらの質問すべてが微分方程式に帰着する——ある quantity とその変化率を結びつける方程式である。それらを解くことで未来を予測できる。
微分方程式とは何か？
- 微分方程式は、ある quantity とその変化率を結びつける。
- 例：$\dfrac{dy}{dx} = ky$ は成長率が現在の値に比例することを示しており、これは指数関数的増加である。
現実世界での例。 ニュートンの冷却法則：$\dfrac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{room}})$。冷却率は、物体が周囲よりもどれだけ高温かという量に比例する。
定数により曲線の族が得られ、初期条件によって1つの曲線が選ばれる
傾き場
dy/dx = a y
微分方程式はあらゆる地点での傾きを与え、解は y₀ からその傾きに従う曲線です。
微分方程式はある量とその変化率を結びつけます。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
これが定義的特徴です：式は y と dy/dx（またはそれ以上の高階導関数）を含みます。
分離可能な方程式
- 分離可能な1次方程式の場合：$y$ の項を片方、$x$ の項をもう片方に移し、両辺を積分する。
- 例：$\dfrac{dy}{dx} = xy \Rightarrow \dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx \Rightarrow \ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$。
積分定数を忘れないでください。 両辺を積分する際、片方に $+C$ を加える。この定数が特定の解を決定する。
変数分離可能な一次微分方程式を解くには、以下を行う：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
変数を分離し、各辺を積分する。
一般解と特異解
- 一般解には定数を含む（曲線の族全体）。
- 初期条件（既知の値）によって定数が固定され、特異解が得られる。
初期条件は:
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
既知の値によって任意定数が固定され、一般解から特解へと変わります。
微分方程式の一般解には任意定数を含みます。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
積分には定数が加わるため、一般解は曲線の家族全体となります。
worked example（計算例）
- $\dfrac{dy}{dx} = xy$ を $y = 1$ （$x = 0$ のとき）で解く。
- 分離：$\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$ 。積分：$\ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$ 。
- $y(0) = 1$ を適用：$\ln 1 = 0 + C \Rightarrow C = 0$ 。
- よって $\ln y = \dfrac{x^2}{2} \Rightarrow y = e^{x^2/2}$。
図を省略可能：微分方程式は代数的に解かれる——解のプロセス（変数の分離、積分）が主要な内容であり、図ではない。
- 一次微分方程式を解き、現実世界における変化率をモデル化せよ。
y(0) = 1 を満たす dy/dx = xy の解を求めよ。x = 2 において y = e^(x²/2) となる。y (2 dp) を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
y = e^(x²/2)。x = 2 のとき: y = e² ≈ 7.39 です。
ln y = x²/2 + C かつ y(0) = 1 のとき、C の値は？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
ln 1 = 0 + C なので、C = 0 です。
理解できましたか
- 変数を分離して両辺を積分することで、分離可能な方程式を解く。
- 一般解には定数があり、初期条件によって特異解が得られる。
- 微分方程式は、quantity とその変化率を結びつける。