| English | 意味 |
|---|---|
| standard integral/ˈstændəd ˈɪntɪɡrəl/ | 標準積分 |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | 分子 |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | 分母 |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | 部分分数 |
| integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | 部分積分 |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 置換積分 |
| change of variable/tʃeɪndʒ ɒv ˈveərɪəbl/ | 変数変換 |
角度を与える積分
- $\dfrac{1}{x^2+1}$ を積分すると$\tan^{-1}x$が得られます——これは角度を返す関数です。
- この代数学と幾何学の間の関連性は、解析学における最も美しい結果の一つです。
新標準積分
- 新標準積分：$\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$。
- パターン $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$ → $k\ln|f(x)| + C$、例として $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \ln(x^2+1) + C$。
worked example. $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + 4}\,dx = \dfrac{1}{2}\tan^{-1}\dfrac{x}{2} + C$（ここでは $a = 2$）。
パターンを見抜く。 $\displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C$。分子は分母の導関数（その定数倍）である必要があります。そうでない場合、別の方法が必要です。
点の軌跡 |z - a| = r は、中心が a で半径が r の円です
曲線下の面積
area = ∫ f(x) dx
すべての積分方法はこの面積を測るものであり、区間を動かして合計します。
∫ 2x/(x²+1) dx の値は？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
分子は分母の導関数（k f′/f の形）なので、積分結果は ln(x²+1) + C です。
∫ 1/(x²+a²) dx = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C です。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
これは逆正接関数の導関数に関連する標準的な純数3の積分です。
∫ 1/(x²+9) dx = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C です。a の値は？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
a² = 9 なので、a = 3 です。
∫ 1/(x²+1) dx = ln(x²+1) + C です。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
分子は分母の導関数ではありません。正しい積分は tan⁻¹x + C です。
部分分数分解による積分
- 部分分数分解: 有理関数を分割し、各部分を対数として積分します。
- 例：$\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2-1}\,dx = \int\left(\dfrac{1}{2(x-1)} - \dfrac{1}{2(x+1)}\right)dx = \dfrac{1}{2}\ln|x-1| - \dfrac{1}{2}\ln|x+1| + C$。
積分法（部分積分）
- 部分積分（積の場合）: $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$.
- $u$ を微分すると簡素になる項に設定します。
部分積分の公式 ∫ u dv =:
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
部分積分: ∫ u dv = uv − ∫ v du です。
変数置換による積分
- 変数置換: 変数を変化させることで、複雑な積分を簡単なものに変えます。
- $u = g(x)$ とおき、$du = g'(x)\,dx$ とし、積分を $u$ で表し直します。
allow_no_figure: 積分法（部分積分、変数置換、部分分数分解）— 視覚的要素は図ではなく代数変形そのものです。
- 積分は微分の逆操作です。
置換 u = x²+1 を用いて、∫₀² 2x/(x²+1) dx を評価しなさい（2桁）。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
∫₀² 2x/(x²+1) dx = [ln(x²+1)]₀² = ln 5 − ln 1 = ln 5 ≈ 1.61 です。
理解できましたか
- $\displaystyle\int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac1a\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$; $\displaystyle\int\frac{k f'(x)}{f(x)}dx = k\ln|f(x)| + C$
- 部分積分: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ （積の場合）
- 変数置換: 変数を変えて簡素化します