| English | 意味 |
|---|---|
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | 絶対値 |
| remainder theorem/rɪˈmeɪndə ˈθɪərəm/ | 剰余の定理 |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | 多項式 |
| degree/dɪˈɡriː/ | 次数 |
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | 因式の定理 |
橋を守る絶対値
- 吊り橋のケーブルを設計するエンジニアは、理想からの最大偏差（上か下かに関わらず）を知る必要があります。
- 絶対値 （モジュラス）は、方向を無視してゼロからの距離を測ります。誤差範囲、許容差、不等式など、あらゆる場面で登場します。
絶対値関数
- 絶対値 $|x|$ は、符号を取り除いた数の大きさです（$|x| \geq 0$ ）。グラフは「V」型です。
- 便利なルール：
- $|a| = |b| \Leftrightarrow a^2 = b^2$,
- $|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b$.
絶対値関数 $y = |x - 2|$ はV字型を作ります：軸より下の部分はすべて上方に反射されます。
** worked example.** $|2x - 3| = 7$ を解きます。 either $2x - 3 = 7 \Rightarrow x = 5$ または $2x - 3 = -7 \Rightarrow x = -2$ です。解は： $x = 5$ または $x = -2$ 。
絶対値関数
y = a|x − b| + c
絶対値関数は V字型を作る。頂点を b と c で移動させ、腕の勾配を a で変化させる。
|x − 2| < 3 を解け。解は −1 < x < ? である。上限はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
|x − 2| < 3 は 2 − 3 < x < 2 + 3 を意味するため、すなわち −1 < x < 5。
|2x − 3| = 7 を解け。大きい方の解はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
2x − 3 = 7 → x = 5；または 2x − 3 = −7 → x = −2。大きい方は 5。
因数定理と剰余定理
- 多項式 は $x$ の累乗和であり、その 次数 は最高次の累乗です。
- 剰余定理 ： $p(x) \div (x - a)$ が $p(a)$ のときの剰余です。
- 因数定理 ： $(x - a)$ が因数であるのは、$p(a) = 0$ のとき限られます。
** 2つの定理を混同しないでください。** 剰余定理は任意の除数 $(x - a)$ に対する剰余を与えます。因数定理はその特殊ケースであり、剰余が ゼロ のとき、$(x - a)$ は因数となります。
絶対値を取ることで、直線の負の部分の上側へ折り返してV字を作ります
剰余定理により、p(x) = x² + 3x + 2 を (x − 1) で割ったときの剰余はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
剰余 = p(1) = 1 + 3 + 2 = 6。
(x − a) が p(x) の因数となるのはちょうど以下のとき：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
因数定理：(x − a) は p(a) = 0 である必要十分条件として因数となる。
worked example — 因数定理
- $(x - 2)$ が $p(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 8$ の因数であることを示してください。
- $p(2) = 8 - 20 + 4 + 8 = 0$ 。 $p(2) = 0$ なので、 $(x - 2)$ は因数です。
- 割り算： $x^3 - 5x^2 + 2x + 8 = (x - 2)(x^2 - 3x - 4) = (x - 2)(x - 4)(x + 1)$ 。
f(a) と f(b) の符号が異なり、a と b の間に根があります
p(3) = 0 の場合、(x − 3) は p(x) の因数である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
因数定理により、p(a) = 0 なら (x − a) は因数である。
p(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 かつ p(1) = 0 が与えられたとき、因数分解せよ：p(x) = (x − 1)(x² + bx + c)。c はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
x³ − 6x² + 11x − 6 を (x − 1) で割ると x² − 5x + 6 となるので、c = 6。
多項式方程式の解法
- 因数定理を使って1つの根を見つけ、次に割り算をして次数を下げます。
- 三次式は最大3個の実根を持ち、四次式は最大4個を持ちます。
- グラフを描いて確認します： $x$ 軸との交点の数が実根の数と一致することを確認します。
- 分数の微分には 商の微分法 を使います。
理解できましたか
- $|x|$ は符号を取り除き、 $|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b$
- $p(x) \div (x-a)$ が $p(a)$ のときの 剰余
- 因数定理 ： $(x-a)$ が因数 $\Leftrightarrow p(a) = 0$
- 1つの根を見つけ、割り算を行い、残りの二次方程式を解きます