大学電気工学 · トピック 4
これは大学電気工学の4つ目のコースです：交流回路 解析 — 正弦波によって駆動される回路であり、これがほぼすべての 電気エネルギーの生成および移動方法です。波形1が直流を解決しました。EE02のツール （複素数、微分方程式、ラプラス変換）はすでにその価値を証明しています。
各単位は物語で始まり、形式的な概念の前に図を示し、定義 用語を正確に定義し、数字が増加する2つの例題を解き進めます。 機械による検証で、古典的なミスを列挙し、3行の summary. The checking habit: every phasor answer verifies in a second 極座標対直交座標、または時間領域対複素数のような表現において。 複素算術は単なる帳簿付けに過ぎず、検証がそれを正しく保ちます。 誠実さを担保します。
| English | 日本語 |
|---|---|
| ac circuit analysis | 交流回路解析 |
| phasor/ˈfeɪzɔː/ | フェイザー |
The mains voltage crosses zero a hundred times a second, yet a resistor there 一定の電力を消費します。なぜなら、振幅と位相が繰り返しの パターンに収束するためです。正弦波$v(t) = V_{m}\cos(\omega t + \varphi)$はフェーザになります。 $V = V_{m}\angle\varphi$ — 振幅と位相、および周波数 が既知である。微分は $j\omega$ を乗算するため、単一周波数において 各要素には インピーダンス が与えられ、
すべての直流手法（分圧器、ノード/メッシュ法、テネン南定理）は、 複素数を用いてそのまま適用される。コイルのインピーダンスは周波数の増加に伴い (+90°) 増大し、 コンデンサのそれは減少 (−90°) し、抵抗は一定 (0°) である。
** worked example 1 （両方の表現が一致）。 $R = 30\ \Omega$ が直列に $L$ と接続され、 $\omega L = 40\ \Omega$ が $V = 100\angle 0^{\circ}$ V の電圧源によって駆動されている。 $Z = 30 + j40 = 50\angle 53.13^{\circ}\ \Omega$; $I = V/Z = (100/50)\angle(0 - 53.13^{\circ}) = 2\angle -53.13^{\circ}$ A。確認 in rectangular: $I = 100(30 - j40)/2500 = 1.2 - j1.6$ A; $|I| = \sqrt{1.44 + 2.56} = 2$ ✓ and $\text{atan2}(-1.6, 1.2) = -53.13^{\circ}$ ✓。 時間領域での意味： $i(t) = 2\cos(\omega t - 53.13^{\circ})$ A — この 電流は遅れる。なぜなら、インダクタは変化に抵抗するためである。
** worked example 2 （並列結合、拡張版）。同じ $R = 30\ \Omega$ が $\omega L = 40\ \Omega$ インダクタと 並列 に接続された場合： $Z = \frac{30 \times j40}{30 + j40} = \frac{30 \times j40 \times (30 - j40)}{2500} = \frac{48\,000 + j36\,000}{2500} = 19.2 + j14.4 = 24\angle 36.87^{\circ}\ \Omega$（検証済み： $|Z| = \sqrt{19.2^{2} + 14.4^{2}} = 24$ ✓、かつ $\cos 36.87^\circ = 0.8$ ✓）。 並列インピーダンスはいずれかの枝の大きさよりも小さいことに注意 (24 < 30 < 40) and its angle (36.87°) lies below the inductor's 90°, 抵抗器の方向へ引き寄せられる — 並列結合はすべて大きさと角度を交換する この方向である。
よくある間違い。 並列インピーダンスの大きさを単純に加算する（複素数の加算のみが正しい）。度単位の電卓設定をラジアン 式に混在させる。フェーザーには振幅（またはRMS — 問題ごとに一つの慣例を一貫して採用）が含まれており、VとIで これを忘れていること。 問題ごとの慣例（VとIに対して一貫して適用）。
Summary: one frequency → phasors; $Z_R$ flat, $Z_L$ up 90°, $Z_C$ down 90°; すべてのDC手法が適用され、各解答を別の表現で検証すること。
$\mathbf{I}=\mathbf{V}/Z$
The 30 Ω resistor and +j40 Ω inductor give 50∠53.13° Ω in series, so a 100 V peak supply produces a 2 A peak current that lags by 53.13°. Compare the parallel example and a capacitive reactance, then connect each phasor to its instantaneous waveform.
1 kWヒーターと1 kVAコンデンサがともに配線から「1 k-何らか」を引き出すが、 しかしエネルギー請求されるのはヒーターの分担分のみである。フェーザー$V$と電流$I$を用い、 $S = V\cdot I^{*}$はVとIの間の位相差である。(力率)
$\theta$がVとIの間の角度とする。電力因数 $\cos\theta$は見かけ電力$|S| = VI$のうち実仕事を行う割合である。
演習例1（RL負荷、2通りで検証） 上記の負荷： $P = 100 \times 2 \times \cos 53.13^{\circ} = 120$ W、$Q = 100 \times 2 \times \sin 53.13^{\circ} = 160$ var, $|S| = 200$ VA、力率 pf = 0.6 遅れ。確認： $P = |I|^{2}R = 4 \times 30 = 120$ ✓ および $Q = |I|^{2}X = 4 \times 40 = 160$ ✓ — 損失公式による検証。力率補正では並列に 無効電力を現地で供給する静容性：100 Vで160 varの補正 (50 Hz) needs $C = Q/(\omega V^{2}) = 160/(2\pi \cdot 50 \cdot 10^{4}) = 50.9 μF$。
** worked example 2 (三相モーター、拡大版 )**。バランスされたスター接続 モーターが415 V(線間)、50 Hzの電源に接続され、相インピーダンスが相あたり$10 + j10\ \Omega$である場合。 相電圧$= 415/\sqrt{3} = 239.6$ V；相電流 $= 239.6/\sqrt{10^{2} + 10^{2}} = 239.6/14.14 = 16.94$ A（ライン電流と等しい） 45 W — そして $P = 3 \times 239.6 \times 16.94 \times \cos 45^{\circ} = 8611$ W — および ライン公式 $\sqrt{3} \times 415 \times 16.94 \times 0.7071 = 8611$ W ✓ は 2つの経路が一致する。相単独計算でも欠損部分を導出：$Q = 3 \times 239.6 \times 16.94 \times \sin 45^{\circ} = 8611$ var、力率 pf 0.707 lagging, and (for a delta-connected motor of the same impedance) the phase current would be $415/14.14 = 29.3$ A with line current $\sqrt{3} \times 29.3 = 50.8$ A — the star/delta factor is exactly the $\sqrt{3}$ bookkeeping.
正しい電圧での力率補正 — コンデンサには自身の接続点における電圧がかかる。 $\sqrt{3}$（初め）。モーターの力率を無視することは、両方の式に適用される。 誤った電圧での力率補正 — コンデンサは自身の接続点における電圧を受ける その接続点において。
要約: $S = VI^{*}$ は P（請求）と Q（借入）に分割され、損失公式 $|I|^{2}R$, $|I|^{2}X$ はチェック用です。容量補正回路は Q を供給します 局所的に；$V_{line} = \sqrt{3}V_{phase}$ を用いた3相の相別解析 （星接法）が主力となります。
$S_s=P+j(Q_L-\omega C V^2)$
At 100 V RMS, the 30 + j40 Ω load draws 2 A and uses 120 W plus 160 var. Compare no capacitor, exact correction and over-correction: supply current reaches a minimum at unity power factor, while load current and real power stay unchanged.
| English | 日本語 |
|---|---|
| impedance/ɪmˈpiːdəns/ | インピーダンス |
| complex power | 複素電力 |
| power factor | 力率 |
| power-factor correction | パワファクタ補正 |
| natural frequency/ˈnætʃərəl ˈfriːkwənsi/ | natural frequency |
| damping/ˈdæmpɪŋ/ | 減衰 |
| overdamped | 過減衰 |
| critically damped | 臨界減衰 |
充電されたコンデンサ、コイル、および スイッチを直列に接続すると、電流は急激に変化できず、即座に到達することもできないため、応答曲線は RC回路では必要としなかった少なくとも1階以上の微分を含みます。直列RLC回路には 微分方程式 $L\,d^{2}i/dt^{2} + R\,di/dt + i/C = 0$、自然 周波数 $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$ と **減衰 $\alpha = R/(2L)$ が存在します。3つの状態:
** worked example 1（レジーム演算）。** $R = 4\ \Omega$, $L = 0.2$ H, $C = 0.05$ — 臨界減衰 ($\omega_{0} = 1/\sqrt{0.2 \times 0.05} = 10$)。 $\alpha = 4/(2 \times 0.2) = 10$ — 臨界減衰 ($\alpha = \omega_{0}$)。 Change $R$ to 2 Ω: $\alpha = 5 < 10$, underdamped with $\omega_{d} = \sqrt{100 - 25} = 8.66$ rad/s。レジーム判定は比較1回；この ** Q値** $Q = \omega_{0}/(2\alpha)$ は臨界減衰時 0.5 で 1 は $R = 2\ \Omega$ — 軽減衰（高Q）は長く鳴る。
** worked example 2（過大減衰の指数、機械検証済み、拡大版）。 $R = 8\ \Omega$ （同じ $L$, $C$ ）: $\alpha = 20 > 10$ — 過大減衰で、 two decay exponents are $s = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^{2} - \omega_{0}^{2}} = -20 \pm \sqrt{300}$, i.e. $-2.68$ and $-37.32$ s⁻¹ (機械による検証済み)。この コンデンサ電圧が 1 V から解放されるのは $v_{C}(t) = A e^{-2.68t} + B e^{-37.32t}$ with $A + B = 1$ and $dv_{C}/dt(0) = 0$ （瞬間的な 電流なし）であり、これにより $A = 37.32/(37.32 - 2.68) = 1.077$, $B = -0.077$ が得られる：速い 初期の低下から遅い減衰への移行。読み取り：速い根は単に 最初の瞬間のみを決定する；遅い根（$-2.68$、原点に近い方）が テールを担う — ラプラス変数における優位極則 EE02 で遭遇した通り。
一般的な間違い。 $R$ と $2\sqrt{L/C}$ を比較するのではなく $\alpha$ と $\omega_{0}$ を比較すること — 同じテストだが、記述通り書くこと。$\omega_{0}$ に $\omega_{d}$ が入るべき位置（目に見える振動は減衰周波数である）。 2つ目の初期条件を忘れる：2つのエネルギー蓄積素子には2つの定数が必要。
まとめ: $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$, $\alpha = R/2L$, 比較1回による3つのレジーム； $\omega_{d}$ が可視的なリングです；遅い根がテールを担います； 2つのストレージ → 2つの定数 → 2つの端点チェック。
$LC\ddot v_C+RC\dot v_C+v_C=0$
Release the 0.2 H and 0.05 F circuit from 1 V with zero current. Compare R = 2, 4 and 8 Ω on the same physical time axis, inspect the roots and energy, then change either initial condition to see why a second-order circuit needs both.
| English | 日本語 |
|---|---|
| underdamped | 不足減衰 |
| q factor | Q値 |
ラジオの選局回路は、ある周波数を特別にすることで混雑した帯域から1つの局を選択する： 共振において虚部が相殺され、 $\omega_{0}L = 1/(\omega_{0}C)$、すなわち $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$ 。これにより $Z = R$ （純抵抗性、最小）、電流は最大となり、 帯域幅 $BW = R/L = \omega_{0}/Q$ 。インピーダンスの半分が相殺される それぞれ単独では大きくなることがあるが — $V_{L}$ と $V_{C}$ は源電圧に対して Q 倍の値を 超えることがある。
** worked example 1 （電圧増幅、確認済み）。$R = 5\ \Omega$, $L = 0.1$ H, $C = 10\ \mu F$: $\omega_{0} = 1/\sqrt{0.1 \times 10^{-5}} = 1000$ rad/s; $Q = \omega_{0}L/R = 1000 \times 0.1/5 = 20$ 。源電圧が 10 V, the current at resonance is $10/5 = 2$ A, and $V_{L} = \omega_{0}LI = 200$ V — twenty times the source. Check: $V_{C} = I/(\omega_{0}C) = 2/0.01 = 200$ V ✓; どちらも 200 V で、位相は 180° ずれているため、和はゼロになる。
** worked example 2 （半電力帯域、拡大版）。同一回路の 帯域幅は $BW = \omega_{0}/Q = 1000/20 = 50$ rad/s であり、半電力周波数は $\omega_{1} = 975.3$, $\omega_{2} = 1025.3$ rad/s に計算される — their difference is 50.0 ✓ (machine-verified). They sit almost evenly either side of 1000; exactly, $\omega_{1}\omega_{2} = \omega_{0}^{2}$ (symmetric on a 対称である）。 帯域端 $|Z| = \sqrt{2}R = 7.07\ \Omega$ において、電流は 最大値の $1/\sqrt{2}$ となり、各反応素子には源電圧の $Q/\sqrt{2} \approx 14$ 倍の電源電圧 — まだ増幅であり、単に past its peak. This is the selectivity a tuner sells: at 900 rad/s (a neighbouring station two bandwidths away) the current is down to $10/\sqrt{R^{2} + (\omega L - 1/\omega C)^{2}} = 10/|5 + j(90 - 111.1)| = 10/21.7 = 0.46$ A — under a quarter of the resonant 2 A.
よくある間違い。 増幅係数$Q$のみを報告し、他の要素を確認しない（両方の要素が一致している必要がある）。 element (both must match). Using $f_{0}$ where $\omega_{0}$ belongs (factor $2\pi$). Believing resonance maximises power at any source impedance — it minimises |Z|, which maximises current only for a stiff source.
要約：$\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$、|Z| = R はその点で、BW = ω₀/Q は 半減衰点間；各reactive voltageはQ·源です。増幅を 両方の素子で確認します。
$Z=R+j(\omega L-1/(\omega C))$
A 10 V peak source drives the 5 Ω, 0.1 H and 10 µF circuit. At 1000 rad/s the current is 2 A and both reactive voltages are 200 V. Compare the half-power frequencies and the neighbouring 900 rad/s signal, then change resistance to connect Q with bandwidth.
| English | 日本語 |
|---|---|
| resonance/ˈrezənəns/ | 共振 |
| bandwidth/ˈbændwɪdθ/ | 帯域幅 |
| filter/ˈfɪltə/ | フィルタ |
| bode plot | ボード線図 |
| corner frequency | 角周波数 |
| decibel | デシベル |
| two-port | 二端子網 |
| cascade | カスケード接続 |
バスboostはフィルタです：1つのバンドが上昇し、残りは untouched です。フィルタ あるバンドを通過させ、他を減衰させます；その伝達関数 $H(j\omega)$ は 振幅と位相を持ちます。ボード線図は $20\log_{10}|H|$ をdBで 対数周波数に対してプロットします：各ポールはそれ以上の コーナー において −20 dB/デケード寄与します frequency** $\omega_{c} = 1/(RC)$; each zero +20 dB/decade.
** worked example 1（ローパス、端点確認済み）。ローパスRCに $R = 1.6$ kΩ、$C = 0.1\ \mu F$: $\omega_{c} = 1/(1600 \times 10^{-7}) = 6250$ rad/s (995 Hz). At $\omega_{c}$ the gain is $1/\sqrt{2} = -3$ dB および 位相 −45°；$10\omega_{c}$ における直線近似は −20 dB を示す (exact −20.04)。端点を確認する：低周波 $H = 1$ (0 dB) において、 $100\omega_{c}$ ≈ −40 dB — コーナーを越えた各デケードあたり 20 dB ずつ減衰する。これは デシベル演算の$20\log_{10}10 = 20$である。
** worked example 2（ハイパスの鏡像、機械検証済み、拡張版）。** 出力を抵抗器に切り替えると、同じ $\omega_{c} = 6250$ rad/s のハイパス回路が得られる：$H(j\omega) = (j\omega/\omega_{c})/(1 + j\omega/\omega_{c})$. At $0.1\omega_{c}$: $-20.04$ dB at $+84.3^{\circ}$； $\omega_{c}$ において：$-3.01$ dB at $+45^{\circ}$；$10\omega_{c}$ において：$-0.04$ dB at $+5.7^{\circ}$（すべて機械検証済み）— ロウパスの完全な鏡像であり、 位相は 先行 し、ストップバンドは上方ではなく下方にある。設計の要点： より急な 40 dB/decade の減衰には、2段の級聯が必要であり、(その 間の負荷影響を考慮すると)、級聯は利得を掛け合わせるため、dB値は 加算される——単位 4.7 のABCD行列と同じ連鎖論理である。
よくある間違い。 角周波数において −3 dB を「フィルタ内で損失する半分の電力」と読み取る（これは「ミッドバンドに対する負荷への出力電力の半分」である）。混同する コーナー（これは負荷への 送られる電力の半分 vs 中央帯域 です）。混合する $\omega$ と $f$ を同じ軸に配置する。位相を忘れる：振幅が平坦なフィルタでも、位相の傾きによってパルスを破壊することがある。 振幅は位相勾配によってパルスを壊す可能性があります。
Summary: poles −20 dB/decade above their corner, zeros +20; −3 dB and ±45° at コーナー；アスペクトは設計ツールであり、正確な曲線は検証用です。
$H_{total}=H_{stage}^{N}$
The 1.6 kΩ and 0.1 µF section has a 6250 rad/s corner. Compare exact gain and phase with straight-line approximations, swap the output to make a high-pass, and see how two buffered stages multiply gain and shift the overall half-power corner.
EE02のラプラス手法は回路手法となる：各素子には 初期条件を電源とするs領域モデルが付与される —
すると、すべてのDC手法が$s$で適用可能となる。応答の極は過渡成分を担い、入力信号の極は定常成分を担う。 過渡現象；入力の極が定常状態を担う。
Worked example 1 (the wave-1 RC, by algebra). The wave-1 RC step with 初期電圧：$R = 10$ kΩ、$C = 100\ \mu F$ ($\tau = 1$ s)、電源 9 V、 $v_{C}(0) = 1$ V。s領域KVL：$9/s = IR + v_{C}(0)/s + I/(sC)$ → $I = 8/(R(s + 1/(RC))) = 8/(10^{4}(s+1))$; $V_{C} = v_{C}(0)/s + I/(sC) = 1/s + 8/(s(s+1)) = 9/s - 8/(s+1)$ なので、 $v_{C}(t) = 9 - 8e^{-t}$ V — 波の1回答そのものであり、現在は以下のように導出される 検証：$v_{C}(0) = 9 - 8 = 1$ ✓、$v_{C}(\infty) = 9$ ✓。
** worked example 2 （無電源RLC、極の一致、拡張版）。 単位4.3 の直列RLCで、$R = 2\ \Omega$、$L = 0.2$ H、$C = 0.05$ F、 $i(0) = 1$ A、$v_{C}(0) = 0$ で解放され、s領域メッシュ（インピーダンス＋ インダクタの$Li(0)$ 源）：$(0.2s + 2 + 20/s)I = 0.2$、したがって $I(s) = s/(s^{2} + 10s + 100)$ であり、極は$-5 \pm j8.66$ — 完全に $\alpha = 5$、$\omega_{d} = 8.66$ は時域 regime 計算が与えた ✓。 2つの経路は同じ物理法則が2つの表記で表れたものであり、s領域経路は 公式を暗記せずに指数関数を導き出し、部分分数分解（例えば EE02）によって波形が完成する。
よくある間違い。 初期条件源を無視すると、回路は初期状態から始まるという誤った結論に 至る。$s$を盲目的に消去する（$s$の因子として 分母と分子がインパルスを隠すことがある）。最終値定理の条件（極が左半平面に厳密にあること）を忘れる。 定理の条件（極が厳密に左半平面内にあること）。
要約：インピーダンスは$R$、$sL$、$1/sC$および初期条件源となる。 $s$におけるDC法；極そのものが$\alpha$および$\omega_{d}$である；端点確認 まだ未解決。
増幅器モジュール、整合回路、ケーブルの一部——それぞれは箱である。 2組の導線対を持ち、設計者は箱が端子で行う動作のみが必要である。 両端ポートとは入力および出力の端子対を持つもの；外部世界はポート振る舞いしか見ない。パラメータ集合はポート変数を関連付ける。 パラメータ集合はポート変数を関連付ける： 変数：
変換は代数的操作である（例：zパラメータからの変換: $A = z_{11}/z_{21}$, $B = (z_{11}z_{22} - z_{12}z_{21})/z_{21}$)。カスケード接続は乗算します ABCD行列が掛け合わせられるため、伝送線路やフィルタチェーンでこのセットが用いられる。
計算例1 (Lセクションのカスケード、行列式確認済み)。 直列 $Z$。$ABCD = (1, Z; 0, 1)$、$Y$ で確認 $(1, 0; Y, 1)$。次に並列-$Y$、そして直列-$Z$をカスケードする： $(1,0;Y,1)(1,Z;0,1) = (1, Z; Y, 1+YZ)$。$Z = j10$、$Y = -j0.1$ で確認します (ある周波数におけるLセクション): $1 + YZ = 1 + (-j0.1)(j10) = 2$, $B = j10$ — 行列式 $AD - BC = 2 - j10 \cdot (-j0.1) = 1$ は 1 に等しく、 可逆ネットワークのすべてのABCD行列がそうであるように。
** worked example 2 （zパラメータへの変換、機械検証済み、拡大版）。** この 同じLセクションの変換$z_{11} = A/C$によるzパラメータ、$z_{12} = \Delta/C$, $z_{21} = 1/C$, $z_{22} = D/C$ with $C = Y = -j0.1$ ： $z_{11} = z_{12} = z_{21} = 1/(-j0.1) = j10\ \Omega$, $z_{22} = 2/(-j0.1) = j20\ \Omega$ (machine-verified). The symmetry $z_{12} = z_{21}$ が 可逆性の条件であり — 数値から明らかなものであり、仮定されたものではない — $z_{22} \neq z_{11}$ はL形（入力側に並列）の非対称性を示している。読み 戻す：ポート2を開路した状態($I_{2} = 0$)、$V_{1} = j10 I_{1}$ — 直列アーム には電流が流れないため、入力は並列アームのみを見ることになり、 $1/Y = 1/(-j0.1) = j10\ \Omega$.
** 一般的な間違い。** $I_{2}$ の符号：ABCDでは$-I_{2}$ を用いる（電流 out of ポート 2 ）；zパラメータではそれを into ポートに用いる — 定義を選択し、一貫させよ。 カスケードを間違った順序で掛け算する（行列積は交換律を満たさない）。 内部に制御源を持つネットワークに対して $z_{12} = z_{21}$ を期待する — 可逆性は線形性 without 依存源を必要とする。
まとめ：ポートは内部を隠しており、ABCDは掛け算によるカスケード（可逆 ネットワーク: $AD - BC = 1$); zパラメータは直列接続に適し、 可逆性を$z_{12} = z_{21}$として露わにし、代数的な変換のみを行い、一つ验证する ダイナミック抵抗
$[V_1,I_1]^T=M[V_2,-I_2]^T$
Shunt Y = −j0.1 S followed by series Z = j10 Ω gives A = 1 and D = 2. Reverse the blocks and those entries swap. Compare the z parameters and open-circuit input impedance, then connect a load and follow the opposite signs of I₂ and load current.
一歩ずつ進め、即時チェック付きの問題で学習します。