C.3 · 波動現象

Full guide C.3 scope (Wave phenomena) including the AHL block, first assessment 2025. Read directly from the Physics guide, pages 47–48. Prerequisites: C.2 (v = fλ, transverse and longitudinal waves) and basic trigonometry.

これらは実際の測定値や完了した評価対象者の調査ではなく、純粋な授業例です。

In two and three dimensions a wave is drawn two ways: wavefronts — lines joining points in step (in phase), one wavelength apart — and rays — arrows perpendicular to the wavefronts showing the direction of travel. Sketches in this topic are limited to incident, reflected and transmitted waves.

境界面において、媒体間で波は以下の3つのうちのどれか、あるいはすべてを行う：

• 反射 — 波面が境界から戻ってくる（入射角＝反射角。両方とも法線からの角度として測る）。
• 透過 — 波の一部が第2媒体へ進入する。
• 屈折 — 透過波の速度変化により進行方向が変わる。低速媒体に入るときは法線側に、高速媒体に入るときは法線から離れる。周波数は発生源によって固定され、波長は速度に応じて変化する。

比の形で表された屈折の規則：

ここで $n$ は各媒体の屈折率、$\theta$ は光線と法線のなす角である。同様に $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$ であり、屈折率が大きいほどその媒体中での速度は遅くなることを意味する。

低速媒体から高速媒体へ移動する場合（ガラスから空気、$n_1 > n_2$）、それ以上の角度では光線が脱出できない領域が存在する。臨界角において屈折光線は境界に沿って伝わり、

それを超えるとすべての光が媒体内に完全に反射される——全内部反射（TIR）であり、これが光ファイバーの原理となる。

計算例（ガラスへの屈折）。 空気からガラス、$n_{air} = 1.0$、$n_{glass} = 1.5$、入射角$40°$：$\sin\theta_2 = (n_1/n_2)\sin\theta_1 = (1.0/1.5)(0.643) = 0.429$、よって$\theta_2 = 25°$ — 低速媒体に入るため法線側に曲がることが期待される通りである。速度も同じ比に従う：$v_{glass} = c/1.5 = 2.0\times10^8\ \mathrm{m/s}$。

計算例（臨界角）。 同上のガラスと空気：$\sin\theta_c = 1.0/1.5 = 0.667$、よって$\theta_c = 42°$。ガラス内部で壁に当たる光線が法線に対して$42°$より大きい角度を持つ場合、すべて全内部反射を受ける。

障害物や開口部に遭遇した波は直進せず、湾曲して広がる——回折。開口部の大きさが波長と同程度か小さい場合に広がりが最も顕著になるため、音（メートル単位の波長）はドアの角を曲がるが、光（数百ナノメートル）は直進しているように見える。波面・光線図では、スリットに入り平面波面となり、曲がって広がる波面となって出ていく様子が示される。

2つの波が一点で会うと、変位は加算される——重ね合わせ。安定したパターンを得るには、光源は可干渉性である必要があり、周波数が同一かつ位相差が一定である。その結果は2つの光源からの経路差に依存する：

$n$ が整数であるとき。同位相干渉は最大値（2つの山が同時に到達）を形成し、反位相干渉は最小値（山と谷が重なる）に打ち消される。

計算例の検証。 位相が一致する2つの共鳴光源、波長 0.50 m。ある点から一方の光源までの距離が 3.00 m、他方までが 3.75 m の場合、経路差は 0.75 m $= 1.5\lambda = (1 + \tfrac{1}{2})\lambda$ — 反位相干渉：最小値。その点を移動して経路差を 1.00 m $= 2\lambda$ にすると、最大値が復元される。

光が1つの狭いスリットを通り、次に2つの狭いスリット（構成上共鳴）を通過すると、スクリーン上に明暗の縞模様が生じる — これは干渉であり、光が波動であることを示す証拠である。縞間隔は

ここで $d$ はスリット間隔、$D$ はスリットからスクリーンまでの距離である。

計算例の検証（波長の測定）。 スリット間隔 0.20 mm、スクリーンまでの距離 2.4 m、12 本の明縞が 55 mm 范围内に観測された（11 個の間隔なので、$s = 55/11 = 5.0\ \mathrm{mm}$ ）: $\lambda = sd/D = (5.0\times10^{-3})(0.20\times10^{-3})/2.4 = 4.2\times10^{-7}\ \mathrm{m}$ — 紫青光。

単一スリット回折: 波長 $\lambda$ の光が幅 $b$ の長方形スリットを通常入射で通過すると、中央の広い最大値と、それに続く弱い側面縞を持つパターンに広がる。最初の最小値は

したがって、スリットが狭くなると光がより広がり、スリット開口部が波長に近づくほど回折は増大する。スリット幅の強度への影響は定性的である：中央ピークが支配的であり、その幅が式で追跡される。

実際の二重スリットは2つの単一スリットであるため、微細な二重スリット縞模様は、より広い単一スリットパターンの下に位置する：単一スリットパターンが二重スリット干渉パターンを変調する — 縞の高さは単一スリットの回折の包線に従う。

多数の平行なスリット — 間隔 $d$ の回折格子 — は各最大値を鋭く尖った明るい細い線に集約し、

with $n = 0, 1, 2, \ldots$ the order. Because each wavelength has its own angle, white light through a grating splits into a spectrum per order (violet nearest the straight-through direction), and the number of visible orders is capped by $\sin\theta \le 1$.

Worked check (single slit). $b = 0.10\ \mathrm{mm}$, $\lambda = 500\ \mathrm{nm}$: $\sin\theta = 5.0\times10^{-7}/1.0\times10^{-4} = 5.0\times10^{-3}$, so $\theta = 0.29°$. Widening the slit to $0.40\ \mathrm{mm}$ divides the angle by four: $\theta = 0.072°$ — the pattern contracts as the aperture grows.

計算例の検証（格子の級数）。 1mmあたり 600 条の格子：$d = 1.0\times10^{-3}/600 = 1.7\times10^{-6}\ \mathrm{m}$ 。$\lambda = 600\ \mathrm{nm}$ を用いる場合、級数 1 は $\sin\theta = 0.36$ （$\theta = 21°$ ）、級数 2 は $\sin\theta = 0.72$ （$\theta = 46°$ ）にあり、級数 3 には $\sin\theta = 1.08$ が必要だが不可能であるため、可視级数は2つのみである。$400\ \mathrm{nm}$ （紫）の場合、級数 1 は $\sin\theta = 0.24$ （$14°$ ）に位置する：一つの格子、一つの白色光フラッシュにより、第1級スペクトルは $14°$ から $21°$ まで広がる。

1. State what is meant by a wavefront and how a ray is related to it.
2. A ray crosses from air into water ($n = 1.3$) at $50°$ to the normal. Calculate the refraction angle.
3. 全反射の条件を述べよ。また、なぜ水槽は接線角度で物体を鏡像として映すことができるのか。
4. 扉を通る音と光の回折を比較し、その理由を述べよ。
5. 2つの同相な位相を持つ波源が0.040 m離れており、0.060 mの波を放出している。ある点は波源間を結ぶ直線に垂直な線上で一方の波源から0.30 mの位置にある。この点がもう一方の波源から0.33 mの位置にある場合、その経路差の性質（干渉強化または干渉弱化）を述べよ。
6. In a double-slit set-up the slit separation is halved and the screen moved twice as far away. What happens to the fringe separation?
7. 緑色光を用いた二重スリット実験では、縞の間隔が 4.0 mm であった。波長が半分の青色光を同じ幾何学条件で用いた場合の新しい間隔を推定せよ。

解答: 1 位相が一致する点の列で、波長分おきおきに存在する；光線は常に波面に対して垂直であり、伝播方向を示す；2 $\sin\theta_2 = (1.0/1.3)\sin 50° = 0.588$, $\theta_2 = 36°$；3 遅い（屈折率が$n$高い）媒質から速い媒質へ、臨界角より大きい角度で入射すると、透過は生じない；臨界角を超えるとガラス表面の内側は鏡として振る舞う；4 音（メートル単位の波長で開口部と同程度）は開口部周囲に強く回折し、光（数百ナノメートル単位の波長で非常に小さい）はほとんど広がらず直進して見える；5 進路差が 0.03 m $= \tfrac{1}{2}(0.060\ \mathrm{m})$ — 消滅干渉；6 $s = \lambda D/d$ は $D$ から倍になり、さらに $d$ から倍になる — 四倍の幅；7 $s \propto \lambda$ なので、2.0 mm。