Q.L-algebra · Algebra: domains, systems, inequalities and functions

評価対象の短形タスク内での従来の教室実践。適応型テストをシミュレートしたり、スケール化された点数や作文点数を予測したりするものではない。

• 分母および根号の制限を維持したまま方程式を解く
• 端点を失わずに不等式や連立条件を解析する
• 関数を評価し、言語的な関係を代数に変換する

定義域の制限: 元の式が定義される入力の条件を特定すること。

連立解: システム内のすべての関係式を同時に満たす値。

方程式の変形前に制限を明記する。分母は零でない必要があり、実数の偶次ルートは被乗数が非負である必要がある。約分しても、式は元の定義域上でのみ等価である。平方は符号情報を喪失するため候補を追加することがあり、すべての候補を平方前の関係式で検証する必要がある。

連立方程式を解くには、同一の順序対がすべての関係式を満たす必要がある。代入法または消去法により、一つ、なし、無限大の線形解が判明する。不等式において、負の数で掛けたり割ったりすると方向が逆になる。因数分解された二次不等式については、解の順序を決めて区間の符号をテストし、等号が許容される場合に限り端点を含める。

関数は各許容される入力に対して一つの出力を割り当てる。合成関数では内側の関数を先に評価し、定義域の制限を維持する。傾きは入力単位あたりの出力の変化として読み取り、切片は入力が zero のときの出力として読み取るが、その入力が意味を持つ場合に限り行う。言語モデルでは変数名を指定し、数量を互換性のある単位に保つ。

定量的比較においては、すべての許容される値を維持する。x²=4 という変数は制約がない場合、−2 や 2 になりうる。一つの反例で普遍の関係を否定でき、複数の好適な代入でもすべての実数値について証明することはできない。代数構造により、 exhaustive な数値サンプリングを行わずに関係を確立できる。

对于 √(x+2)=x，需满足 x≥0。平方后得 x²−x−2=0，候选解为2和 −1。仅2满足原方程。对于 (x−1)(x−4)≤0，开口向上的二次函数在1≤x≤4范围内非正，包括根在内。在方程组 x+y=10, x−y=2 中，两式相加得 2x=12；故 x=6 且 y=4。对于 f(t)=2t+1 和 g(x)=x²，计算 f(g(3))=2·9+1=19 时，需先应用 g。

変形された方程式は候補を提供するものであり、自動的に元の解にはなりません。負の不等式乗数や厳密な端点については明示的な確認が必要です。

$(x^2-4)/(x-2)=5$を元の実数定義域で解く。$(x+1)(x-3)\le0$を解き、$f(g(2))$を$f(t)=t^2$、$g(x)=x-3$に対して見つけよ。

モデル解答と推理

有理方程式はx=2を除く。許容されるxについてはx+2=5に帰着し、x=3を得るが、これは正しく代入できない。二次式は根の間（両端を含む）で非正である：$-1\le x\le3$。合成関数はまずgを適用する：$g(2)=-1$および$f(g(2))=1$。共通因子を約分しても除かれた入力は復元されない。

実数 a に対して、連立 $x+y=4$, $2x+ay=8$ が一つ、なし、または無限大の解を持つか分類せよ。第二の方程式 $2x+ay=9$ と比較し、整合性のあるすべてのケースで解を示せ。

解答後の確認

最初の式を二倍して引く。最初の系$(a-2)y=0$において、aが二と異なる場合、y=0、x=4と一意に定まる。a=2の場合、両方の式は同じ関係式となり、すべての組$(4-t,t)$が解となる。この最初の系に矛盾するケースはない。 右辺が九の場合、$(a-2)y=1$。a≠2 のとき、$y=1/(a-2)$ および $x=4-1/(a-2)$ で一意に決まる。a=2 のとき、0=1 が要求されるため、解なし。係数が零の行は右辺が零でない場合にのみ不一致を示す。