WO.3 · Fourier symmetry and wave superposition

Sebuah gelombang dapat mengandung banyak harmonik tanpa memiliki suku sinus sama sekali. Simetri refleksi memberi tahu Anda koefisien mana yang hilang sebelum integrasi.

Prasyarat: 3, 47.

• Gunakan ortogonalitas untuk mengidentifikasi koefisien Fourier
• Manfaatkan paritas genap dan ganjil tanpa membuang suku konstan
• Hubungkan amplitudo komponen dengan interferensi dan bentuk gelombang fisik

Untuk fungsi real 2-periodik yang cukup reguler, tulis f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)]. Koefisiennya adalah a_n=(1/π)∫dari−πtoπ f(x)cos(nx)dx dan b_n=(1/π)∫dari−πtoπ f(x)sin(nx)dx, dengan a0 menggunakan n=0. Cosinus dan sinus ortogonal pada satu periode penuh. Rata-ratanya adalah a0/2, bukan a0; tetap pertahankan suku konstan meskipun semua koefisien frekuensi tak nol dari salah satu keluarga hilang.

Jika f genap terhadap titik asal yang dipilih, f(x)sin(nx) adalah fungsi ganjil dan integral simetrisnya nol, sehingga semua b_n hilang. Jika f ganjil, rata-ratanya dan semua a_n hilang. Simetri bergantung pada titik asal: menggeser sinyal fisik yang sama dapat mencampur koefisien sinus dan kosinus sementara frekuensi harmoniknya tetap tidak berubah. Oleh karena itu, bentuk gelombang segitiga tak-negatif yang simetris terhadap x=0 dapat memiliki harmonik kosinus dan rata-rata nonzero tanpa harmonik sinus.

Untuk perpanjangan 2π-periodik dari f(x)=|x| pada [−π,π], rata-ratanya adalah π/2. Integrasi parsial x cos(nx) pada [0,π] menghasilkan a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²), sehingga koefisien kosinus untuk n genap adalah nol dan koefisien untuk n ganjil adalah −4/(πn²). Semua koefisien sinus adalah nol. Peluruhan 1/n² mencerminkan fungsi kontinu dengan ketidaklanjutan kemiringan. Ketidaklanjutan lompatan sering memberikan peluruhan koefisien yang lebih lambat dan overshoot jumlah parsial; jangan menyimpulkan perilaku konvergensi yang sama untuk setiap bentuk gelombang.

Jumlah Fourier menjumlahkan amplitudo beserta fasenya. Untuk amplitudo monokromatik koheren A yang sama bertemu dengan beda fase φ, kuadrat amplitudo resultan adalah 2A²(1+cosφ), sehingga intensitasnya adalah 2I0(1+cosφ). Nilainya 4I0 saat sefasa dan nol pada φ=π. Rata-rata tidak koheren menghilangkan suku silang, menghasilkan 2I0. Harmonik dengan frekuensi berbeda dapat membentuk suatu bentuk seiring waktu; jumlah sesaatnya bukan jumlah dari intensitas masing-masing. Identifikasi apakah pertanyaan berkaitan dengan bentuk gelombang, daya rata-rata waktu, atau interferensi koheren.

Untuk fungsi periodik real, gunakan $f=a_0/2+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$. Simetri genap membuat semua koefisien sinus menjadi nol karena fungsi integrannya ganjil. Untuk $f(x)=|x|$ pada $[-\pi,\pi]$,

Integrasi parsial menyediakan ekspresi kedua. Nilai rata-rata adalah $a_0/2=\pi/2$; hanya harmonik kosinus ganjil yang tersisa. Titik runcing tidak membenarkan penghapusan suku konstan.

Simetri genap menghilangkan koefisien sinus, bukan suku konstan atau setiap harmonik kosinus. Periksa asal simetri dan apakah medan tersebut koheren sebelum menjumlahkan intensitas.

ortogonalitas: Integral nol dari hasil kali fungsi basis berbeda pada interval tertentu.

koefisien Fourier: Bobot komponen basis sinus, kosinus, atau konstan dalam ekspansi periodik.