P3 · Pure Mathematics 3

Matematika Murni 3 (P3) memperluas P1 dan P2: fungsi rasional dan invers, nilai mutlak, transformasi gabungan, fungsi trigonometri resiprokal dan bentuk harmonik, penyesuaian model grafik logaritma penyusunan ulang, seluruh aturan diferensiasi, integrasi berdasarkan pengenalan, dan metode numerik. Pengetahuan P1 dan P2 diasumsikan diketahui dan dapat diujikan pada kertas WMA13/01 (1 jam 30 menit, 75 poin; aturan kalkulator dan buku rumus yang sama).

Rumus yang harus Anda ketahui untuk P3 (tidak ada di buku rumus):

Sederhanakan ekspresi rasional dengan pemfaktoran dan penyederhanaan; pembagian aljabar mencakup penyebut hingga bentuk kuadrat. Hanya coret faktor, bukan suku.

Sebuah fungsi adalah pemetaan satu-satu atau banyak-satu; domain-nya adalah himpunan input yang diperbolehkan dan range-nya adalah hasil output. Komposisi $fg$ berarti "lakukan $g$ terlebih dahulu, lalu $f$". Fungsi inverse $f^{-1}$ membalikkan $f$ (terdapat di mana $f$ bersifat satu-satu), dan $f^{-1}f(x) = ff^{-1}(x) = x$; grafik dari $f^{-1}$ mencerminkan grafik dari $f$ terhadap $y = x$.

Contoh terpecahkan — inverse dan komposisi (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA13 Juni 2025 Q1). $f(x) = \dfrac{2x}{3x + 1}$, $x \ge 0$.

(a) Range dari $f$.

• Pada $x = 0$: $f(0) = 0$; saat $x \to \infty$: $f(x) \to \tfrac23$ dari bawah, dan $f$ meningkat ($x$ yang lebih besar menghasilkan $f(x)$ yang lebih besar).
  $$0 \le f(x) < \tfrac23$$

(b) Tentukan $f^{-1}(x)$.

• Misalkan $y = \dfrac{2x}{3x+1}$ dan selesaikan untuk $x$:
  $$y(3x + 1) = 2x \implies 3xy + y = 2x \implies x(3y - 2) = -y \implies x = \frac{y}{2 - 3y}$$
  $$f^{-1}(x) = \frac{x}{2 - 3x}$$
• Cek: $f\!\left(\tfrac{x}{2-3x}\right) = \dfrac{2x/(2-3x)}{3x/(2-3x) + 1} = \dfrac{2x}{3x + 2 - 3x} = x$ ✓.

(c) Selesaikan $f^{-1}(x) = f(x)$.

• Cek: $f(\tfrac13) = \tfrac{2/3}{2} = \tfrac13 = f^{-1}(\tfrac13)$ ✓.

Modulus $|x|$ bernilai $x$ untuk $x \ge 0$ dan $-x$ untuk $x < 0$: $y = |ax + b|$ adalah garis $y = ax + b$ dengan bagian negatifnya direfleksikan ke atas sumbu. Diberikan $y = f(x)$, gambarlah sketsa $y = |f(x)|$ (refleksikan bagian di bawah sumbu) dan $y = f(|x|)$ (simpan separuh kanan, refleksikan) kiri). Selesaikan persamaan modulus secara grafik atau dengan kasus, uji setiap solusi.

Transformasi gabungan menerapkan aturan P1 sekaligus, misalnya $y = 2f(3x)$ atau $y = f(-x) + 1$: peregangan dikalikan, translasi kemudian digeser; urutan yang tercantum dalam silabus adalah $y = af(x)$, $y = f(x) + a$, $y = f(x+a)$, $y = f(ax)$ digabungkan dalam satu ekspresi ($y = f(ax+b)$ sebagaimana itu tidak diperlukan).

Contoh kerja — persamaan modulus (contoh dari spesifikasi sendiri). Selesaikan $|2x - 1| = x + 5$.

• Kasus $2x - 1 \ge 0$ ($x \ge \tfrac12$): $2x - 1 = x + 5 \implies x = 6$ ✓ (memenuhi $x \ge \tfrac12$).
• Kasus $2x - 1 < 0$: $-(2x - 1) = x + 5 \implies -3x = 4 \implies x = -\tfrac43$ ✓ ($< \tfrac12$).
• Kedua solusi adalah $x = 6$ dan $x = -\tfrac43$. Periksa: $|2(6) - 1| = 11 = 6 + 5$ ✓; $|-\tfrac83 - 1| = \tfrac{11}3 = -\tfrac43 + 5$ ✓.

Fungsi kebalikan:

dengan identitas $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ dan $\operatorname{cosec}^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$. Graf mereka memiliki asimtot di mana fungsi penyebutnya bernilai nol. Fungsi invers $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ memerlukan domain terbatas: $\arcsin: [-1, 1] \to [-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2]$, $\arccos: [-1,1] \to [0, \pi]$, $\arctan: \mathbb{R} \to (-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2)$.

Bentuk harmonik: $a\cos\theta + b\sin\theta = R\cos(\theta - \alpha)$ dengan $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ dan $\tan\alpha = \dfrac ba$ — satu bilangan, satu sudut, siap untuk dimaksimumkan atau diselesaikan.

Contoh terpecahkan — bentuk harmonik (diadaptasi dari Edexcel IAL WMA13 Juni 2025 Q2). Nyatakan $f(x) = 7\cos x - 24\sin x$ dalam bentuk $R\cos(x + \alpha)$, $R > 0$, $0 < \alpha < 2\pi$.

• $R = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25$.
• Jabarkan $R\cos(x + \alpha) = R\cos x\cos\alpha - R\sin x\sin\alpha$ dan samakan: $25\cos\alpha = 7$ dan $25\sin\alpha = 24$, sehingga $\tan\alpha = \tfrac{24}{7}$ dan
  $$\alpha = 1.287 \ (3\ \text{d.p.}) \qquad f(x) = 25\cos(x + 1.287)$$
• Cek: $25\cos(0 + 1.287) = 25(0.28) = 7.0$ ✓ dan $-25\sin(1.287) = -24.0$ ✓.

Contoh terpecahkan — pembuktian identitas (diadaptasi dari Edexcel IAL WMA13 Juni 2025 Q8a). Buktikan $\tan 3x \equiv \dfrac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$.

• Tulis $3x = 2x + x$ dan gunakan rumus sudut majemuk:
  $$\tan 3x = \frac{\tan 2x + \tan x}{1 - \tan 2x\tan x}, \qquad \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{2t}{1 - t^2} \ (t = \tan x)$$
• Substitusikan:
  $$\tan 3x = \frac{\frac{2t}{1-t^2} + t}{1 - \frac{2t^2}{1-t^2}} = \frac{2t + t(1 - t^2)}{(1 - t^2) - 2t^2} = \frac{3t - t^3}{1 - 3t^2} \qquad \blacksquare$$
• Check at $x = \tfrac\pi6$ ($t = \tfrac1{\sqrt3}$): numerator $\tfrac{3}{\sqrt3} - \tfrac{1}{3\sqrt3} = \tfrac{8}{3\sqrt3}$; denominator $1 - 1 = 0$ — and $\tan\tfrac\pi2$ tidak terdefinisi ✓ konsisten.

$y = e^x$ melewati $(0, 1)$ dan tumbuh tanpa batas; $\ln x$ adalah inversnya dengan domain $x > 0$ dan sumbu $y$ sebagai asimtot. Selesaikan $e^{ax+b} = p$ dengan mengambil $\ln$, dan $\ln(ax + b) = q$ dengan eksponensiasi.

Model grafik logaritmik: untuk $y = ax^n$, pengambilan logaritma menghasilkan $\log y = n\log x + \log a$ — plot $\log y$ terhadap $\log x$ untuk garis lurus dengan gradien $n$ dan intersep $\log a$. Untuk $y = kb^x$, plot $\log y$ terhadap $x$: gradien $\log b$, intersep $\log k$.

Contoh terpecahkan — pemulihan hukum pangkat (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA13 Juni 2025 Q3). Sebuah garis $\log_{10}y$–$\log_{10}x$ melewati $(-3.5, 0)$ dan $(0, -2)$. Nyatakan $y$ dalam bentuk $px^q$.

• Gradien: $\dfrac{0 - (-2)}{-3.5 - 0} = -\dfrac47$; intersep $-2$:
  $$\log_{10} y = -\tfrac47\log_{10}x - 2$$
• Konversi: $y = 10^{-\frac47\log_{10}x - 2} = 10^{-2}\,x^{-4/7}$, sehingga
  $$y = \frac{1}{100}\,x^{-4/7} \qquad (p = \tfrac{1}{100},\ q = -\tfrac47)$$
• Periksa dengan titik pada garis: $\log_{10}x = 0 \Rightarrow x = 1$, $\log_{10}y = -2 \Rightarrow y = \tfrac{1}{100}$ ✓ and the formula gives $y = \tfrac{1}{100}\cdot 1 = \tfrac{1}{100}$ ✓.

Contoh terpecahkan — model peluruhan eksponensial (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA13 Juni 2025 Q6). Sebuah prosesor mendingin seiring waktu $\theta = 21 + Ae^{-kt}$ ($\theta$ dalam °C, $t$ dalam menit), dimulai dari 75 °C, mencapai suhu 25 °C setelah 5 menit; tentukan $A$, $k$, dan waktu ketika suhu turun sebesar 9 °C per menit.

• Pada $t = 0$: $75 = 21 + A$, sehingga $A = 54$.
• Pada $t = 5$: $25 = 21 + 54e^{-5k} \implies e^{-5k} = \tfrac{4}{54} = \tfrac{2}{27}$:
  $$-5k = \ln\tfrac{2}{27} \implies k = \tfrac15\ln\tfrac{27}{2} = 0.521 \ (3\ \text{s.f.})$$
• Laju: $\dfrac{d\theta}{dt} = -54ke^{-kt}$; samakan dengan $-9$:
  $$e^{-kt} = \frac{9}{54 \times 0.521} = \frac{9}{28.13} \implies T = \frac{\ln(28.13/9)}{0.521} = 2.19 \ (2\ \text{d.p.})$$
• Nilai awal adalah 75 °C dan lantai jangka panjang adalah 21 °C.
• Periksa: pada $T = 2.19$, suhu $\theta = 21 + 54e^{-0.521(2.19)} = 21 + 54(0.320) = 38.3$ °C, sedang menurun pada $28.13 \times 0.320 = 9.0$ °C/min ✓. Lantai model adalah 21 °C (suhu ruangan) — masuk akal untuk $t$ yang besar.

Diferensiasikan $\sin kx$, $\cos kx$, $\tan kx$ ($\to k\sec^2 kx$), $e^{kx}$, $\ln kx$ ($\to \tfrac1x$), serta jumlah dan selisih.

Tiga aturan memperluas jangkauan: aturan hasil kali, aturan hasil bagi dan aturan rantai.

$\sec x \to \sec x\tan x$, $\operatorname{cosec} x \to -\operatorname{cosec} x\cot x$, $\cot x \to -\operatorname{cosec}^2 x$ diturunkan dari aturan hasil bagi. Diferensiasi implisit menggunakan $\dfrac{dy}{dx} = 1 \div \dfrac{dx}{dy}$ when $x$ is given in terms of $y$.

Contoh terpecahkan — hasil kali dan rantai bersama (dari contoh dalam spesifikasi). Diferensiasikan $e^{-x^2}\sin 3x$ (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA13 Juni 2025 Q7).

• Aturan hasil kali dengan $u = e^{-x^2}$ (rantai: $u' = -2xe^{-x^2}$) dan $v = \sin 3x$ ($v' = 3\cos 3x$):
  $$\frac{dy}{dx} = -2xe^{-x^2}\sin 3x + 3e^{-x^2}\cos 3x = e^{-x^2}\big(3\cos 3x - 2x\sin 3x\big)$$
• Periksa pada $x = 0$: turunan $= 1 \times (3 - 0) = 3$, dan di dekat $0$ kurva berperilaku seperti $\sin 3x$ dengan gradien 3 ✓.

Integrasikan bentuk standar secara langsung, dan gunakan bentuk pengenalan (mendeteksi $f'$ di dalam integral):

Identitas trigonometri mengubah $\sin^2 x$, $\cos^2 x$, $\tan^2 x$ menjadi bentuk yang dapat diintegrasikan ($\cos 2A \equiv 1 - 2\sin^2 A$, $\cos 2A \equiv 2\cos^2 A - 1$; $\tan^2 \equiv \sec^2 - 1$).

Contoh terpecahkan — identitas terlebih dahulu (disesuaikan dari Edexcel IAL WMA13 Juni 2025 Q5). Temukan $\displaystyle\int\sin^2 3x\,dx$.

• Sudut ganda dengan $A = 3x$: $\cos 6x \equiv 1 - 2\sin^2 3x$, sehingga $\sin^2 3x = \tfrac12(1 - \cos 6x)$:
  $$\int \sin^2 3x\,dx = \tfrac12\int(1 - \cos 6x)\,dx = \tfrac12\left(x - \tfrac16\sin 6x\right) + c = \frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + c$$
• Verifikasi dengan menurunkan: $\tfrac12 - \tfrac{6\cos 6x}{12} = \tfrac12(1 - \cos 6x) = \sin^2 3x$ ✓.

Contoh terpecahkan — pengenalan. Temukan $\displaystyle\int \frac{6x}{3x^2 + 4}\,dx$.

• Pembilang adalah turunan dari penyebut ($f' = 6x$, $f = 3x^2 + 4$):
  $$\int\frac{6x}{3x^2+4}\,dx = \ln\lvert 3x^2 + 4\rvert + c$$
• Cek: $\dfrac{d}{dx}\ln(3x^2+4) = \dfrac{6x}{3x^2+4}$ ✓. Bentuk berpangkat juga bekerja sama: dengan $u = 3x^2 + 4$ dan $du = 6x\,dx$,
  $$\int x\,(3x^2+4)^4\,dx = \tfrac16\int u^4\,du = \frac{(3x^2+4)^5}{30} + c$$
  dan menurunkan $\dfrac{(3x^2+4)^5}{30}$ menghasilkan $\dfrac{5(3x^2+4)^4 \cdot 6x}{30} = x(3x^2+4)^4$ ✓.

• Perubahan tanda: jika $f$ kontinu pada $[a, b]$ dan $f(a)f(b) < 0$, sebuah akar terletak di antara $a$ dan $b$. Bagi dua interval untuk membatasi akar hingga ketepatan yang diinginkan.
• Iterasi: penataan ulang $x_{n+1} = f(x_n)$ dari nilai awal akan konvergen ke titik tetap (atau tidak — selalu verifikasi terhadap batas perubahan tanda).

Contoh terpecahkan — temukan dan iterasikan (diadaptasi dari Edexcel IAL WMA13 Juni 2025 Q7). Titik stasioner titik stasioner dari $y = e^{-x^2}\sin 3x$ dekat $x = 0.4$ memenuhi $x = \tfrac13\arctan\tfrac{3}{2x}$.

(a) Dengan $x_1 = 0.4$:

• Periksa apakah iterasi konvergen: $|x_3 - x_2|$ kecil dan nilai-nilai cenderung menuju 0.43 ✓. (b) Tunjukkan bahwa akarnya 0.430 sampai 3 tempat desimal: definisikan $g(x) = x - \tfrac13\arctan\tfrac{3}{2x}$ (atau ekspresi turunan dari contoh terpecahkan di atas):
  $$g(0.4295) = -1.1 \times 10^{-3} < 0 \qquad g(0.4305) = +6.4 \times 10^{-5} > 0$$
• $g$ kontinu, dan perubahan tanda antara 0.4295 dan 0.4305 membatasi suatu akar, sehingga akar tersebut 0.430 sampai 3 d.p. ✓.

• Sederhanakan ekspresi rasional; faktorkan sebelum mencoret; bagi dengan faktor linear atau kuadrat. faktor pembagi.
• Bekerja dengan domain, rentang, komposisi dan invers; verifikasi invers dengan mengkomposisikan ke $x$.
• Gambar dan selesaikan persamaan nilai mutlak dengan kasus beserta pemeriksaan; gabungkan dua transformasi pada satu grafik.
• Gunakan sec, cosec, cot dan identitasnya; ketahui domain fungsi terbalik yang dibatasi.
• Konversi $a\cos\theta + b\sin\theta$ ke $R\cos(\theta \pm \alpha)$; baca maksimum dan selesaikan.
• Buktikan identitas sudut majemuk dan ganda; gunakan secara maju dan mundur.
• Selesaikan $e^{ax+b} = p$ dan $\ln(ax+b) = q$; kembalikan $y = ax^n$ dan $y = kb^x$ dari grafik logaritma.
• Turunkan dengan aturan perkalian, pembagian, dan rantai, termasuk $\sec/\operatorname{cosec}/\cot$; gunakan $\frac{dy}{dx} = 1 \div \frac{dx}{dy}$.
• Model pertumbuhan dan peluruhan; interpretasikan nilai awal dan batas bawah jangka panjang; kritik model tersebut.
• Integralkan bentuk standar; identifikasi $\int f'/f$ dan $\int f'(f)^n$; gunakan identitas pada fungsi trigonometri kuadrat tersebut.
• Temukan akar melalui perubahan tanda dengan pernyataan kontinuitas; jalankan dan periksa iterasi.