M2 · Mechanics 2

Statistik 1 (S1, kertas WST01/01, 1 jam 30 menit, 75 skor, penilaian pertama Juni 2019) adalah mitra statistik dari M1 dalam Matematika AS Internasional; P1 dan P2 diasumsikan. The buku rumus memuat tabel statistik; rumus di bawah ini harus Anda hafal. Ini referensi mencakup representasi dan ringkasan data, probabilitas, korelasi dan regresi, variabel acak diskrit dan distribusi Normal.

Harus Diketahui untuk S1 (tidak ada di buku rumus):

Model statistik adalah deskripsi sederhana dari situasi nyata yang digunakan untuk merepresentasikan, menganalisis dan memprediksi. Alasan menggunakan satu: lebih cepat dan murah daripada eksperimen asli, dapat diulang dan disempurnakan, serta mengungkapkan hubungan. Kenali alasan standar — "untuk membuat prediksi" saja tidak cukup untuk mendapatkan skor.

Dalam histogram, LUAS adalah frekuensi: tinggi batang adalah densitas frekuensi $\dfrac{\text{frequency}}{\text{class width}}$, sehingga kelas yang tidak sama memiliki lebar yang tidak sama, dan membandingkan batang berarti membandingkan densitas. Batang-daun mempertahankan nilai asli (perbandingan berpasangan membandingkan dua kelompok). Diagram kotak menampilkan nilai minimum, kuartil bawah, median, kuartil atas, dan maksimum, dengan pencilan ditandai sebagai silang terpisah di bawah aturan apa pun yang dinyatakan dalam soal.

Contoh terarah — tinggi histogram berdasarkan rasio (WST01 Juni 2025 Q5a). Kecepatan 225 mobil dalam kelas dengan lebar 5, 5, 10, 15, 15 dan frekuensi 54, 90, 60, 15, 6: kepadatannya adalah 10.8, 18, 6, 1, 0.4. Batang tertinggi (25–30, kepadatan 18) digambar setinggi 10 cm, sehingga batang kedua tertinggi (20–25, kepadatan 10.8) berukuran $\tfrac{10.8}{18}\times 10 = 6$ cm. Hati-hati: batang 30–40 JUGA memiliki kepadatan 6 — hanya argumen rasio yang mendapatkan poin, bukan "60 ÷ 10".

Untuk data berkelompok, perkirakan median atau kuartil menggunakan interpolasi linear di dalam kelas penyebutnya: $Q_2 = a + w\times\dfrac{\tfrac n2 - F}{f}$. Jangkauan antar-kuartil adalah $Q_3 - Q_1$; varians adalah $\sigma^2 = \dfrac{\sum x^2}n - \bar x^2$ (atau $\dfrac{\sum fx^2}{\sum f} - \bar x^2$). Menggabungkan kelompok: total $\sum x = \sum n_i\bar x_i$, total $\sum x^2$ ditambahkan langsung, lalu terapkan kembali rumus-rumus tersebut. Simpangan baku adalah akar kuadrat dari varians. Pengkodean membalik: jika $w = 11.5d$, maka $S_{td} = \dfrac{S_{tw}}{11.5}$ dan $S_{dd} = \dfrac{S_{ww}}{11.5^2}$.

Contoh terarah — menggabungkan dua kelas (WST01 Juni 2025 Q2). Kelas A: $n = 24$, $\bar x = 47$, $\sum x^2 = 66876$; Kelas B: $n = 30$, $\bar x = b$, $\sum x^2 = 73826$; jumlah 54 siswa gabungan rata-ratanya 45. Maka $\sum x = 54(45) = 2430$, sehingga $\sum x_B = 2430 - 24(47) = 1302$ dan $b = 43.4$. Simpangan baku gabungan: $\sigma = \sqrt{\tfrac{66876 + 73826}{54} - 45^2} = \sqrt{580.59\ldots} = 24.1$. Jika setiap nilai B naik sebesar 2: varians B tidak berubah (pergeseran tidak mengubah sebaran), rata-rata gabungan meningkat, dan simpangan baku gabungan menurun — karena B kini lebih dekat dengan A, sehingga keseluruhan kelompok menjadi kurang tersebar.

Contoh terpecahkan — kuartil interpolasi (WST01 Juni 2025 Q5c–d). Dengan frekuensi kumulatif 54, 144, 204, 219, 225: median adalah nilai ke-112.5, berada di dalam 25–30: $Q_2 = 25 + 5\times\tfrac{112.5-54}{90} = 28.25$. $Q_3$ adalah nilai ke-168.75, berada di dalam 30–40: $Q_3 = 30 + 10\times\tfrac{168.75-144}{60} = 34.125$, sehingga dengan $Q_1 = 25.14$ yang diberikan, $IQR = 8.985$.

Bandingkan jarak: $(Q_3 - Q_2)$ berbanding $(Q_2 - Q_1)$, atau rata-rata berbanding median. Di atas, $5.875 > 3.11$ (dan rata-rata $30.6 >$ > median $28.25$), sehingga kecepatannya menceng positif Mulailah dari ruang sampel: menjabarkan hasil lebih baik daripada sekadar menggunakan rumus. Untuk dua kejadian sembarang,

Mulailah dari ruang sampel: mendaftar hasil lebih baik daripada sekadar mengambil rumus. Untuk dua kejadian apa pun, $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$ dan $P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A)$; kemandirian membalikkan pohon keputusan: $P(B\mid A) = P(B)$. Tanpa pengembalian, pecahan pada lapisan kedua berkurang satu pada pembilang dan penyebut. membalikkan pohon: $P(B\mid A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$. Tanpa pengembalian, fraksi lapisan kedua turun satu pada pembilang dan penyebut.

Contoh terpecahkan — Venn ke bersyarat (WST01 Juni 2025 Q4). $P(C\cup D) = 0.59$, $P(D) = 0.45$, $P(C\mid D) = 0.2$. Kemudian $P(C\cap D) = 0.2 \times 0.45 = 0.09$ dan $P(C) = 0.59 + 0.09 - 0.45 = 0.23$ — isi diagram Venn dan kedua jawaban muncul.

Contoh kerja — pohon dengan pembalikan (WST01 Juni 2025 Q7). Tas: 3 putih, 6 kuning; dua ditaruh tanpa pengembalian. Pohon: $\tfrac69, \tfrac39$, lalu $\tfrac58, \tfrac38$ setelah kuning dan $\tfrac68, \tfrac28$ setelah putih. Tepat satu kuning: $\tfrac69\cdot\tfrac38 + \tfrac39\cdot\tfrac68 = \tfrac12$. Minimal satu putih: $1 - \tfrac69\cdot\tfrac58 = \tfrac7{12}$. Diketahui minimal satu putih, keduanya putih: $\dfrac{\tfrac39\cdot\tfrac28}{\tfrac7{12}} = \dfrac1{12}\cdot\dfrac{12}7 = \dfrac17$.

Koefisien korelasi momen produk $r = \dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$ mengukur asosiasi LINEAR ($-1 \le r \le 1$); tafsirkan dalam konteks. Garis regresi kuadrat-terkecil garis regresi dari $y$ terhadap $x$ adalah $y = a + bx$ dengan $b = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$ dan $a = \bar y - b\bar x$ — hanya dapat digunakan untuk memprediksi $y$ DARI $x$, dan hanya dalam rentang data (ekstrapolasi adalah bahaya yang diwaspadai). Tukar $x$ dan $y$ dan garisnya akan berbeda.

Worked example — coded regression (WST01 June 2025 Q3). With $w = 11.5d$, $S_{tt} = 26.43$, $S_{tw} = -91.55$, $\sum w = 339.25$, $\sum t = 9.1$, $\sum w^2 = 10036.45$ selama 12 hari: $S_{ww} = 10036.45 - \tfrac{339.25^2}{12} = 445.57$; nilai pmcc $r = \dfrac{-91.55}{\sqrt{26.43 \times 445.57}} = -0.844$ — hari lebih hangat, gas lebih sedikit. Regresi regression of $w$ on $t$: $b = \tfrac{-91.55}{26.43} = -3.46$, $a = \tfrac{339.25}{12} - (-3.46)\tfrac{9.1}{12} = 30.9$, sehingga $w = -3.46t + 30.9$; bagi semua ruas dengan 11.5 untuk $d$ pada $t$: $d = -0.301t + 2.69$. Pada $t = 2$: $d = 2.09$ m³, dan setiap kenaikan derajat berarti sekitar $0.3$ m³ lebih sedikit gas.

Sebuah variabel acak diskrit mengambil nilai-nilai terisolasi dengan probabilitas $p(x) = P(X = x)$ yang berjumlah 1; tabel fungsi probabilitas-nya adalah objek. Ekspektasi $E(X) = \sum xp(x)$, $E(X^2) = \sum x^2p(x)$, varians $\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$. Fungsi kumulatif $F(x_0) = P(X \le x_0)$ menjumlahkan probabilitas hingga $x_0$. Distribusi DISKRIT SERAGAM pada $1, \dots, n$ memiliki $E(X) = \tfrac{n+1}2$ dan $\mathrm{Var}(X) = \tfrac{n^2-1}{12}$.

Contoh dikerjakan — prosedur lengkap (WST01 Juni 2025 Q1). X dengan probabilitas 0.3, 0.2, 0.35, 0.15 pada 1–4. $F(3.5) = 0.3+0.2+0.35 = 0.85$. Pertidaksamaan $3X - 3 < X + 2$ diselesaikan menjadi $X < 2.5$, sehingga $P = 0.5$ — selesaikan untuk $X$ TERLEBIH DAHULU, lalu tambahkan. $E(X) = 2.35$, $E(X^2) = 6.65$, $\mathrm{Var}(X) = 6.65 - 2.35^2 = 1.1275$; dan $\mathrm{Var}(5-2X) = 4(1.1275) = 4.51$ sesuai aturan pengkodean.

Untuk distribusi Normal $X\sim N(\mu, \sigma^2)$, standarisasi: $Z = \dfrac{X-\mu}\sigma$ kemudian baca tabel. Simetri melakukan separuh pekerjaan: $P(X > \mu + 2\sigma) = P(Z > 2) = 0.0228$ dan $P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) = 1 - 2(0.0228) = 0.9544$. Soal terbalik memberikan $z$ dari tabel, lalu $x = \mu + z\sigma$; dua kondisi pada $k$ yang sama menghasilkan sistem persamaan simultan.

Contoh terpecahkan — karung tepung (WST01 Juni 2025 Q6). Karung kecil $X\sim N(502, 3^2)$: $P(X > 508) = P(Z > 2) = 0.0228$. Dari 4 karung, tepat 2 melebihi 508: $6(0.0228)^2(0.9772)^2 = 0.00298$. Tas besar $Y\sim N(1024, \sigma^2)$ dengan persentil ke-85 1038.51: $z_{0.85} = 1.0364$, sehingga $\sigma = \tfrac{14.51}{1.0364} = 14$. Jika $P(X > k) = P(Y < 2k)$, maka $\tfrac{k-502}3 = \tfrac{1024-2k}{14}$, sehingga $14k - 7028 = 3072 - 6k$, $k = 505$, dan $p = P(Z > 1) = 0.159$.

• Berikan beberapa alasan mengapa model statistik digunakan; pertahankan "murah dan cepat" serta satu lagi.
• Hitung kepadatan frekuensi untuk kelas yang tidak sama; bandingkan batang histogram berdasarkan rasio; interpolasi kuartil di dalam kelas pembatas; tandai pencilan sesuai aturan yang ditetapkan.
• Gabungkan himpunan data melalui $\sum x$ dan $\sum x^2$; balik pengkodean pada statistik $S$; ramalkan efek pergeseran atau penskalaan terhadap rata-rata, varians, dan SD.
• Selesaikan soal probabilitas dari diagram Venn dan pohon, dengan dan tanpa pengembalian; balik kondisi dengan $P(A\cap B)/P(A)$.
• Hitung $r$ dari statistik $S$ dan interpretasikan; sesuaikan $y = a + bx$; ramalkan hanya dalam rentang; kembalikan data terkode ke variabel asli.
• Jalankan rutin DRV diskrit: probabilitas menjumlahkan ke 1, selesaikan ketaksamaan untuk $X$ terlebih dahulu, $E(X)$, $E(X^2)$, varians, pengkodean linear; kutip hasil seragam.
• Standarisasi kedua arah untuk soal Normal; gunakan simetri; selesaikan masalah dua-kondisi dengan persamaan simultan.