iterasi titik tetap
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | iterasi |
Seberapa andal sebuah pendekatan?
- Persamaan nonlinear tidak memiliki solusi eksak yang praktis. Pendekatan tetap memerlukan bukti bahwa ia dapat diandalkan.
- Pelajaran ini mempelajari iterasi: Pembaruan berulang di mana setiap pendekatan baru dihitung dari yang sebelumnya.
Pilih struktur matematika
- Susun ulang persamaan sebagai x=g(x), pilih nilai awal, dan lakukan iterasi. Batas L harus memenuhi L=g(L). Di dekat titik tetap, |g'(L)|<1 menyediakan pemeriksaan konvergensi lokal; pengurutan tanda dapat memvalidasi akar pembulatan yang dilaporkan.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
f(x)=1/x berubah tanda antara -1 dan 1. Mengapa hal ini TIDAK membuktikan adanya akar di [-1,1]?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Penalaran nilai antara memerlukan kontinuitas pada seluruh interval. Pada asimtot x=0, fungsi melompat dari negatif ke positif tanpa adanya akar.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Untuk x ² -x-2=0 pilih x next=√(2+x), mulai dari x₀=1. Maka x₁=√3≈1.73205, x₂≈1.93185 dan titik tetap positif adalah 2. Pada 2, g prime=1/(2√4)=1/4, sehingga kesalahan lokal kecil menyusut. Pengaturan ulang akar kuadrat mencari akar positif; hal ini tidak memberikan akar negatif -1.
iterasi titik tetap
Susun ulang persamaan sebagai x=g(x), pilih nilai awal dan lakukan iterasi
Bandingkan model dengan kasus yang diselesaikan dan jelaskan satu perubahan.
Cari x₁ dari x next=√(2+x), x₀=1.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Substitusi x₀=1: x₁=√(2+1)=√3.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Pengaturan ulang yang berbeda dapat memiliki perilaku konvergensi yang berbeda. Periksa iterasi, domain, dan persamaan asli; pembaruan akar kuadrat tidak dapat mencapai titik tetap negatif.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Setiap pengaturan ulang persamaan akan konvergen ke akar yang sama dari setiap nilai awal. Klaim ini salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Temukan titik tetap positif.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Pada titik tetap positif L=√(2+L), sehingga L²-L-2=0 dan L=2.
Setiap pengurutan ulang persamaan konvergen ke akar yang sama dari setiap nilai awal.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pengurutan ulang yang berbeda dapat memiliki perilaku konvergensi yang berbeda. Periksa iterasi, domain, dan persamaan asli; pembaruan akar kuadrat tidak dapat mencapai titik tetap negatif.
Interpretasikan situasi baru
- P3 menggunakan pengaturan ulang persamaan dan iterasi numerik. Pelajaran ini mengecualikan Newton dan integrasi numerik, yang termasuk dalam unit lain.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Untuk x=2, evaluasi x²-x-2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Residu adalah 2²-2-2=0.
Pasangkan setiap metode numerik dengan pembaruan atau aturannya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Setiap metode memiliki kondisinya sendiri: biseksi membutuhkan perubahan tanda yang kontinu, Newton membutuhkan turunan tak nol, dan aturan trapesium membutuhkan lebar strip yang sama.
Gunakan ini dalam kursus anda
- Matematika IAL Edexcel; unit resmi P3. Pengayaan dari unit lain diidentifikasi dalam tinjauan ruang lingkup; ini bukan persyaratan tambahan.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Pembaruan berulang di mana setiap aproksimasi baru dihitung dari sebelumnya. Pilih hubungan, tunjukkan metode, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.