Polynomial and Rational Functions · ⁨Fungsi Polinomial dan Rasional⁩

Tujuan Pembelajaran 1.1.A: Deskripsikan bagaimana nilai input dan output dari suatu fungsi berubah bersama-sama dengan membandingkan nilai fungsi.

• 1.1.A.1 Fungsi adalah hubungan matematika yang memetakan himpunan nilai input ke himpunan nilai output sedemikian rupa sehingga setiap nilai input dipetakan tepat ke satu nilai output. Himpunan nilai input disebut domain (daerah asal) dari fungsi, dan himpunan nilai output disebut range (daerah hasil) dari fungsi. Variabel yang merepresentasikan nilai input disebut variabel bebas, dan variabel yang merepresentasikan nilai output disebut variabel terikat.
• 1.1.A.2 Nilai input dan output dari suatu fungsi berubah secara bersamaan sesuai dengan aturan fungsi, yang dapat dinyatakan secara grafis, numerik, analitik, atau verbal.
• 1.1.A.3 Fungsi dikatakan naik pada suatu interval domainnya jika, seiring dengan meningkatnya nilai input, nilai output selalu meningkat. Artinya, untuk semua $a$ dan $b$ dalam interval tersebut, jika $a < b$, maka $f(a) < f(b)$.
• 1.1.A.4 Fungsi dikatakan turun pada suatu interval domainnya jika, seiring dengan meningkatnya nilai input, nilai output selalu menurun. Artinya, untuk semua $a$ dan $b$ dalam interval tersebut, jika $a < b$, maka $f(a) > f(b)$.

Tujuan Pembelajaran 1.1.B: Membangun grafik yang merepresentasikan dua besaran yang saling berubah satu sama lain dalam sebuah skenario kontekstual.

• 1.1.B.1 Grafik dari suatu fungsi menampilkan sekumpulan pasangan input-output dan menunjukkan bagaimana nilai input dan output dari fungsi tersebut berubah.
• 1.1.B.2 Deskripsi verbal mengenai cara aspek-aspek fenomena berubah bersama-sama dapat menjadi dasar untuk membangun sebuah grafik.
• 1.1.B.3 Grafik dari suatu fungsi bersifat cekung ke atas pada interval-interval di mana laju perubahannya meningkat.
• 1.1.B.4 Grafik dari suatu fungsi bersifat cekung ke bawah pada interval-interval di mana laju perubahannya menurun.
• 1.1.B.5 Grafik berpotongan dengan sumbu $x$ ketika nilai output adalah nol. Nilai input yang bersesuaian disebut sebagai nol-fungsi.

Tujuan Pembelajaran 1.2.A: Bandingkan laju perubahan pada dua titik menggunakan rata-rata laju perubahan di dekat titik-titik tersebut.

• 1.2.A.1 Rata-rata laju perubahan suatu fungsi pada interval domain fungsinya adalah laju perubahan konstan yang menghasilkan perubahan yang sama pada nilai output sebagai fungsi yang dihasilkan pada interval domain tersebut. Ini adalah rasio perubahan nilai output terhadap perubahan nilai input pada interval tersebut.
• 1.2.A.2 Laju perubahan suatu fungsi pada suatu titik mengukur laju di mana nilai output akan berubah jika nilai input berubah pada titik tersebut. Laju perubahan pada suatu titik dapat didekati dengan rata-rata laju perubahan fungsi pada interval kecil yang memuat titik tersebut, jika nilai-nilai tersebut ada.
• 1.2.A.3 Laju perubahan pada dua titik dapat dibandingkan menggunakan pendekatan rata-rata laju perubahan pada interval yang cukup kecil yang memuat setiap titik, jika nilai-nilai tersebut ada.

Tujuan Pembelajaran 1.2.B: Jelaskan bagaimana dua kuantitas bervariasi bersama pada titik yang berbeda dan pada interval yang berbeda dari suatu fungsi.

• 1.2.B.1 Laju perubahan mengukur bagaimana dua kuantitas bervariasi bersama.
• 1.2.B.2 Laju perubahan positif menunjukkan bahwa ketika satu kuantitas bertambah atau berkurang, kuantitas lain melakukan hal yang sama.
• 1.2.B.3 Laju perubahan negatif menunjukkan bahwa ketika satu kuantitas bertambah, kuantitas lainnya berkurang.

Tujuan Pembelajaran 1.3.A: Tentukan rata-rata laju perubahan untuk barisan dan fungsi, termasuk fungsi linear, kuadrat, dan jenis fungsi lainnya.

• 1.3.A.1 Untuk fungsi linear, rata-rata laju perubahan pada panjang interval nilai input apa pun adalah konstan.
• 1.3.A.2 Untuk fungsi kuadrat, rata-rata laju perubahan pada interval nilai input yang berurutan dan sama panjang dapat dinyatakan oleh fungsi linear.
• 1.3.A.3 Rata-rata laju perubahan pada interval tertutup $[a, b]$ adalah kemiringan garis secant dari titik $(a, f(a))$ ke $(b, f(b))$.

Tujuan Pembelajaran 1.3.B: Tentukan perubahan rata-rata laju perubahan untuk fungsi linear, kuadrat, dan jenis fungsi lainnya.

• 1.3.B.1 Untuk fungsi linear, karena rata-rata laju perubahan pada interval nilai input yang berurutan dan sama panjang dapat diberikan oleh fungsi konstan, maka rata-rata laju perubahan untuk fungsi linear ini berubah pada laju nol.
• 1.3.B.2 Untuk fungsi kuadrat, karena rata-rata laju perubahan atas interval nilai input yang berurutan dengan panjang sama dapat dinyatakan oleh fungsi linear, maka rata-rata laju perubahan untuk fungsi kuadrat ini berubah pada laju yang konstan.
• 1.3.B.3 Ketika rata-rata laju perubahan atas interval nilai input dengan panjang sama meningkat untuk semua interval berpanjang kecil, grafik fungsi tersebut cekung ke atas. Ketika rata-rata laju perubahan atas interval nilai input dengan panjang sama menurun untuk semua interval berpanjang kecil, grafik fungsi tersebut cekung ke bawah.

Tujuan Pembelajaran 1.4.A: Identifikasi karakteristik utama fungsi polinomial terkait dengan laju perubahan.

• 1.4.A.1 Fungsi polinomial nonkonstan dari $x$ adalah representasi fungsi apa pun yang ekuivalen dengan bentuk analitik $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$, di mana $n$ adalah bilangan bulat positif, $a_i$ adalah bilangan real untuk setiap $i$ dari $1$ hingga $n$, dan $a_n$ tidak nol. Polinomial ini memiliki derajat $n$, suku utama adalah $a_n x^n$, dan koefisien utama adalah $a_n$. Konstanta juga merupakan fungsi polinomial dari derajat nol.
• 1.4.A.2 Di mana fungsi polinomial beralih antara naik dan turun, atau pada titik akhir yang termasuk dari polinomial dengan domain terbatas, fungsi polinomial akan memiliki nilai output maksimum atau minimum lokal, atau relatif. Dari semua maksimum lokal, yang terbesar disebut global, atau absolut, maksimum. Demikian pula, yang terkecil dari semua minimum lokal disebut minimum global, atau absolut.
• 1.4.A.3 Antara setiap dua nol riil berbeda dari fungsi polinomial nonkonstan, harus ada setidaknya satu nilai input yang sesuai dengan maksimum lokal atau minimum lokal.
• 1.4.A.4 Fungsi polinomial dari derajat genap akan memiliki maksimum global atau minimum global.
• 1.4.A.5 Titik belok dari fungsi polinomial terjadi pada nilai input di mana laju perubahan fungsi berubah dari naik menjadi turun atau dari turun menjadi naik. Hal ini terjadi di mana grafik fungsi polinomial berubah dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas.

Tujuan Pembelajaran 1.5.A: Identifikasi karakteristik utama fungsi polinomial terkait dengan nolnya ketika faktorisasi yang sesuai tersedia atau dengan bantuan teknologi.

• 1.5.A.1 Jika $a$ adalah bilangan kompleks dan $p(a) = 0$, maka $a$ disebut nol dari fungsi polinomial $p$, atau akar dari $p(x) = 0$. Jika $a$ adalah bilangan real, maka $(x - a)$ adalah faktor linear dari $p$ jika dan hanya jika $a$ adalah nol dari $p$.
• 1.5.A.2 Jika faktor linear $(x - a)$ muncul berulang $n$ kali, nol yang bersesuaian dari fungsi polinomial memiliki multipisitas $n$. Fungsi polinomial dari derajat $n$ memiliki tepat $n$ nol kompleks jika dihitung berdasarkan multipisitas.
• 1.5.A.3 Jika $a$ adalah nol riil dari fungsi polinomial $p$, maka grafik $y = p(x)$ memiliki perpotongan-sumbu-$x$ pada titik $(a, 0)$. Akibatnya, nol-nol riil dari polinomial dapat menjadi titik akhir untuk interval yang memenuhi pertidaksamaan polinomial.
• 1.5.A.4 Jika $a + bi$ adalah nol tak-riil dari fungsi polinomial $p$, maka konjugatnya $a - bi$ juga merupakan nol dari $p$.
• 1.5.A.5 Jika nol riil, $a$, dari fungsi polinomial memiliki multipisitas genap, maka tanda nilai-nilai output adalah sama untuk nilai-nilai input dekat $x = a$. Untuk fungsi polinomial ini, grafiknya akan menyinggung sumbu-$x$ pada $x = a$.
• 1.5.A.6 Derajat fungsi polinomial dapat ditemukan dengan memeriksa selisih berturut-turut dari nilai-nilai output atas nilai-nilai input dengan interval yang sama. Derajat fungsi polinomial sama dengan nilai terkecil $n$ untuk mana selisih-selisih $n$ tingkat berturut-turut adalah konstan.

Tujuan Pembelajaran 1.5.B: Tentukan apakah suatu fungsi polinomial adalah genap atau ganjil.

• 1.5.B.1 Fungsi genap secara grafis simetris terhadap garis $x = 0$ dan secara analitik memiliki sifat $f(-x) = f(x)$. Jika $n$ genap, maka polinomial dari bentuk $p(x) = a_n x^n$, di mana $n \geq 1$ dan $a_n \neq 0$, adalah fungsi genap.
• 1.5.B.2 Fungsi ganjil secara grafis simetris terhadap titik $(0, 0)$ dan secara analitik memiliki sifat $f(-x) = -f(x)$. Jika $n$ ganjil, maka polinomial dari bentuk $p(x) = a_n x^n$, di mana $n \geq 1$ dan $a_n \neq 0$, adalah fungsi ganjil.

Tujuan Pembelajaran 1.6.A: Deskripsikan perilaku ujung dari fungsi polinomial.

• 1.6.A.1 Saat nilai input dari fungsi polinomial nonkonstan bertambah tanpa batas, nilai output akan baik bertambah maupun berkurang tanpa batas. Notasi matematika yang bersangkutan adalah $\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty$ atau $\lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty$.
• 1.6.A.2 Saat nilai input dari fungsi polinomial nonkonstan berkurang tanpa batas, nilai output akan baik bertambah maupun berkurang tanpa batas. Notasi matematika yang bersangkutan adalah $\lim_{x \to -\infty} p(x) = \infty$ atau $\lim_{x \to -\infty} p(x) = -\infty$.
• 1.6.A.3 Derajat dan tanda suku utama dari polinomial menentukan perilaku ujung dari fungsi polinomial, karena saat nilai input bertambah atau berkurang tanpa batas, nilai suku utama mendominasi nilai dari semua suku berderajat lebih rendah.

Tujuan Pembelajaran 1.7.A: Deskripsikan perilaku ujung dari fungsi rasional.

• 1.7.A.1 Fungsi rasional direpresentasikan secara analitik sebagai hasil bagi dari dua fungsi polinomial dan memberikan ukuran relatif ukuran fungsi polinomial dalam pembilang dibandingkan dengan fungsi polinomial dalam penyebut untuk setiap nilai dalam domain fungsi rasional.
• 1.7.A.2 Perilaku akhir dari fungsi rasional akan paling dipengaruhi oleh polinomial dengan derajat yang lebih besar, karena nilainya akan mendominasi nilai-nilai fungsi rasional untuk nilai input dengan magnitudo besar. Untuk nilai input dengan magnitudo besar, sebuah polinomial didominasi oleh suku utamanya. Oleh karena itu, perilaku akhir dari fungsi rasional dapat dipahami dengan memeriksa hasil bagi yang sesuai dari suku-suku utamanya.
• 1.7.A.3 Jika polinomial dalam pembilang mendominasi polinomial dalam penyebut untuk nilai input dengan magnitudo besar, maka hasil bagi dari suku-suku utamanya adalah polinomial nonkonstan, dan fungsi rasional asli memiliki perilaku akhir dari polinomial tersebut. Jika polinomial tersebut linear, maka grafik fungsi rasional memiliki asimtot miring yang sejajar dengan grafik garis tersebut.
• 1.7.A.4 Jika tidak ada polinomial dalam fungsi rasional yang mendominasi yang lain untuk nilai input dengan magnitudo besar, maka hasil bagi dari suku-suku utamanya adalah konstanta, dan konstanta tersebut menunjukkan lokasi asimtot horizontal dari grafik fungsi rasional asli.
• 1.7.A.5 Jika polinomial dalam penyebut mendominasi polinomial dalam pembilang untuk nilai input dengan magnitudo besar, maka hasil bagi dari suku-suku utamanya adalah fungsi rasional dengan konstanta di pembilang dan polinomial nonkonstan di penyebut, dan grafik fungsi rasional asli memiliki asimtot horizontal pada $y = 0$.
• 1.7.A.6 Ketika grafik fungsi rasional $r$ memiliki asimtot horizontal pada $y = b$, di mana $b$ adalah konstanta, nilai output dari fungsi rasional menjadi semakin dekat secara sewenang-wenang ke $b$ dan tetap sangat dekat dengan $b$ seiring nilai input bertambah atau berkurang tanpa batas. Notasi matematika yang sesuai adalah $\lim_{x \to \infty} r(x) = b$ atau $\lim_{x \to -\infty} r(x) = b$.

Tujuan Pembelajaran 1.8.A: Menentukan nol-nol dari fungsi rasional.

• 1.8.A.1 Nol-nol real dari fungsi rasional sesuai dengan nol-nol real dari pembilangnya untuk nilai-nilai dalam domainnya.
• 1.8.A.2 Nol-nol real dari kedua fungsi polinomial dalam fungsi rasional $r$ merupakan titik ujung atau asimtot untuk interval-interval yang memenuhi ketaksamaan fungsi rasional $r(x) \geq 0$ atau $r(x) \leq 0$.

Tujuan Pembelajaran 1.9.A: Menentukan asimtot vertikal dari grafik fungsi rasional.

• 1.9.A.1 Jika nilai $a$ adalah nol real dari fungsi polinomial dalam penyebut fungsi rasional dan bukan juga nol real dari fungsi polinomial dalam pembilang, maka grafik fungsi rasional memiliki asimtot vertikal pada $x = a$. Selanjutnya, asimtot vertikal juga terjadi pada $x = a$ jika multiplicitas $a$ sebagai nol real dalam penyebut lebih besar daripada multiplicitasnya sebagai nol real dalam pembilang.
• 1.9.A.2 Di dekat asimtot vertikal, $x = a$, dari fungsi rasional, nilai fungsi polinomial di penyebut mendekati nol secara sewenang-wenang, sehingga nilai fungsi rasional $r$ meningkat atau menurun tanpa batas. Notasi matematika yang sesuai adalah $\lim_{x \to a^+} r(x) = \infty$ atau $\lim_{x \to a^+} r(x) = -\infty$ untuk nilai input di dekat $a$ dan lebih besar dari $a$, serta $\lim_{x \to a^-} r(x) = \infty$ atau $\lim_{x \to a^-} r(x) = -\infty$ untuk nilai input di dekat $a$ dan kurang dari $a$.

Tujuan Pembelajaran 1.10.A: Menentukan lubang pada grafik fungsi rasional.

• 1.10.A.1 Jika multiplisitas nol riil pada pembilang lebih besar atau sama dengan multiplisitasnya pada penyebut, maka grafik fungsi rasional memiliki lubang pada nilai input yang bersesuaian.
• 1.10.A.2 Jika grafik fungsi rasional $r$ memiliki lubang di $x = c$, maka lokasi lubang dapat ditentukan dengan memeriksa nilai output yang bersesuaian dengan nilai input yang cukup dekat dengan $c$. Jika nilai input yang cukup dekat dengan $c$ bersesuaian dengan nilai output yang sangat dekat dengan $L$, makalubang terletak pada titik dengan koordinat $(c, L)$. Notasi matematika yang sesuai adalah $\lim_{x \to c} r(x) = L$. Perlu dicatat bahwa $\lim_{x \to c^-} r(x) = \lim_{x \to c^+} r(x) = \lim_{x \to c} r(x) = L$.

Tujuan Pembelajaran 1.12.A: Membangun fungsi yang merupakan transformasi aditif dan/atau perkalian dari fungsi lain.

• 1.12.A.1 Fungsi $g(x) = f(x) + k$ adalah transformasi aditif dari fungsi $f$ yang menghasilkan translasi vertikal dari grafik $f$ sebanyak $k$ satuan.
• 1.12.A.2 Fungsi $g(x) = f(x + h)$ adalah transformasi aditif dari fungsi $f$ yang menghasilkan translasi horizontal dari grafik $f$ sebanyak $-h$ satuan.
• 1.12.A.3 Fungsi $g(x) = a f(x)$, di mana $a \neq 0$, merupakan transformasi perkalian dari fungsi $f$ yang menghasilkan peregangan vertikal pada grafik $f$ dengan faktor $|a|$. Jika $a < 0$, transformasi ini melibatkan pemantulan terhadap sumbu $x$.
• 1.12.A.4 Fungsi $g(x) = f(bx)$, di mana $b \neq 0$, merupakan transformasi perkalian dari fungsi $f$ yang menghasilkan peregangan horizontal pada grafik $f$ dengan faktor $\left| \dfrac{1}{b} \right|$. Jika $b < 0$, transformasi ini melibatkan pemantulan terhadap sumbu $y$.
• 1.12.A.5 Transformasi aditif dan perkalian dapat digabungkan, menghasilkan kombinasi translasi horizontal dan vertikal serta dilatasi.
• 1.12.A.6 Domain dan range dari fungsi yang merupakan transformasi dari fungsi induk mungkin berbeda dengan fungsi induknya.

Tujuan Pembelajaran 1.13.A: Mengidentifikasi jenis fungsi yang tepat untuk membangun model fungsi untuk skenario tertentu.

• 1.13.A.1 Fungsi linear memodelkan himpunan data atau aspek dari skenario kontekstual yang menunjukkan laju perubahan kira-kira konstan.
• 1.13.A.2 Fungsi kuadratik memodelkan himpunan data atau aspek dari skenario kontekstual yang menunjukkan laju perubahan kira-kira linier, atau himpunan data yang kira-kira simetris dengan nilai maksimum atau minimum tunggal.
• 1.13.A.3 Konteks geometris yang melibatkan luas atau dua dimensi sering dimodelkan oleh fungsi kuadrat. Konteks geometris yang melibatkan volume atau tiga dimensi sering dimodelkan oleh fungsi kubik.
• 1.13.A.4 Fungsi polinomial memodelkan himpunan data atau skenario kontekstual dengan beberapa nol nyata atau beberapa maksimum atau minimum.
• 1.13.A.5 Fungsi polinomial berderajat $n$ memodelkan himpunan data atau skenario kontekstual yang menunjukkan perbedaan $n$ bertingkat yang kira-kira konstan dan nonzero.
• 1.13.A.6 Fungsi polinomial berderajat $n$ atau kurang dapat digunakan untuk memodelkan grafik $n + 1$ titik dengan nilai input yang berbeda.
• 1.13.A.7 Fungsi terdefinisi sepotong-sepotong terdiri dari serangkaian fungsi yang didefinisikan atas interval domain yang tidak tumpang tindih dan berguna untuk memodelkan himpunan data atau skenario kontekstual yang menunjukkan karakteristik berbeda pada interval yang berbeda.

Tujuan Pembelajaran 1.13.B: Jelaskan asumsi dan pembatasan terkait pembuatan model fungsi.

• 1.13.B.1 Model mungkin memiliki asumsi mendasar tentang apa yang konsisten dalam model tersebut.
• 1.13.B.2 Model mungkin memiliki asumsi mendasar tentang bagaimana kuantitas berubah bersama-sama.
• 1.13.B.3 Model mungkin memerlukan pembatasan domain berdasarkan petunjuk matematis, petunjuk kontekstual, atau nilai ekstrem dalam himpunan data.
• 1.13.B.4 Model mungkin memerlukan pembatasan jangkauan, seperti pembulatan nilai, berdasarkan petunjuk matematis, petunjuk kontekstual, atau nilai ekstrem dalam himpunan data.

Tujuan Pembelajaran 1.14.A: Buatlah model fungsi linear, kuadrat, kubik, kuartik, polinomial berderajat $n$, atau fungsi terdefinisi sepotong-sepoteng yang terkait.

• 1.14.A.1 Model dapat dibuat berdasarkan pembatasan yang diidentifikasi dalam skenario matematis atau kontekstual.
• 1.14.A.2 Model dari himpunan data atau skenario kontekstual dapat dibuat menggunakan transformasi dari fungsi induk.
• 1.14.A.3 Model dari himpunan data dapat dibuat menggunakan teknologi dan regresi, termasuk regresi linear, kuadrat, kubik, dan kuartik.
• 1.14.A.4 Model fungsi terdefinisi sepotong-sepotong dapat dibuat melalui kombinasi teknik pemodelan.

Tujuan Pembelajaran 1.14.B: Buatlah model fungsi rasional berdasarkan konteks.

• 1.14.B.1 Himpunan data dan aspek skenario kontekstual yang melibatkan kuantitas yang berbanding terbalik sering dimodelkan oleh fungsi rasional. Misalnya, besaran gaya gravitasi dan gaya elektromagnetik antara objek berbanding terbalik dengan kuadrat jarak objek tersebut.

Tujuan Pembelajaran 1.14.C: Terapkan model fungsi untuk menjawab pertanyaan mengenai himpunan data atau skenario kontekstual.

• 1.14.C.1 Model dapat digunakan untuk menarik kesimpulan tentang himpunan data atau skenario kontekstual yang dimodelkan, termasuk menjawab pertanyaan kunci dan memprediksi nilai, laju perubahan, rata-rata laju perubahan, dan laju perubahan yang berubah. Satuan pengukuran yang sesuai harus diekstrak atau disimpulkan dari konteks yang diberikan.