AP Precalculus · ⁨AP Pra-Kalkulus⁩

Tujuan Pembelajaran 1.1.A: Deskripsikan bagaimana nilai input dan output dari suatu fungsi berubah bersama-sama dengan membandingkan nilai fungsi.

• 1.1.A.1 Fungsi adalah hubungan matematika yang memetakan himpunan nilai input ke himpunan nilai output sedemikian rupa sehingga setiap nilai input dipetakan tepat ke satu nilai output. Himpunan nilai input disebut domain (daerah asal) dari fungsi, dan himpunan nilai output disebut range (daerah hasil) dari fungsi. Variabel yang merepresentasikan nilai input disebut variabel bebas, dan variabel yang merepresentasikan nilai output disebut variabel terikat.
• 1.1.A.2 Nilai input dan output dari suatu fungsi berubah secara bersamaan sesuai dengan aturan fungsi, yang dapat dinyatakan secara grafis, numerik, analitik, atau verbal.
• 1.1.A.3 Fungsi dikatakan naik pada suatu interval domainnya jika, seiring dengan meningkatnya nilai input, nilai output selalu meningkat. Artinya, untuk semua $a$ dan $b$ dalam interval tersebut, jika $a < b$, maka $f(a) < f(b)$.
• 1.1.A.4 Fungsi dikatakan turun pada suatu interval domainnya jika, seiring dengan meningkatnya nilai input, nilai output selalu menurun. Artinya, untuk semua $a$ dan $b$ dalam interval tersebut, jika $a < b$, maka $f(a) > f(b)$.

Tujuan Pembelajaran 1.1.B: Membangun grafik yang merepresentasikan dua besaran yang saling berubah satu sama lain dalam sebuah skenario kontekstual.

• 1.1.B.1 Grafik dari suatu fungsi menampilkan sekumpulan pasangan input-output dan menunjukkan bagaimana nilai input dan output dari fungsi tersebut berubah.
• 1.1.B.2 Deskripsi verbal mengenai cara aspek-aspek fenomena berubah bersama-sama dapat menjadi dasar untuk membangun sebuah grafik.
• 1.1.B.3 Grafik dari suatu fungsi bersifat cekung ke atas pada interval-interval di mana laju perubahannya meningkat.
• 1.1.B.4 Grafik dari suatu fungsi bersifat cekung ke bawah pada interval-interval di mana laju perubahannya menurun.
• 1.1.B.5 Grafik berpotongan dengan sumbu $x$ ketika nilai output adalah nol. Nilai input yang bersesuaian disebut sebagai nol-fungsi.

Tujuan Pembelajaran 1.2.A: Bandingkan laju perubahan pada dua titik menggunakan rata-rata laju perubahan di dekat titik-titik tersebut.

• 1.2.A.1 Rata-rata laju perubahan suatu fungsi pada interval domain fungsinya adalah laju perubahan konstan yang menghasilkan perubahan yang sama pada nilai output sebagai fungsi yang dihasilkan pada interval domain tersebut. Ini adalah rasio perubahan nilai output terhadap perubahan nilai input pada interval tersebut.
• 1.2.A.2 Laju perubahan suatu fungsi pada suatu titik mengukur laju di mana nilai output akan berubah jika nilai input berubah pada titik tersebut. Laju perubahan pada suatu titik dapat didekati dengan rata-rata laju perubahan fungsi pada interval kecil yang memuat titik tersebut, jika nilai-nilai tersebut ada.
• 1.2.A.3 Laju perubahan pada dua titik dapat dibandingkan menggunakan pendekatan rata-rata laju perubahan pada interval yang cukup kecil yang memuat setiap titik, jika nilai-nilai tersebut ada.

Tujuan Pembelajaran 1.2.B: Jelaskan bagaimana dua kuantitas bervariasi bersama pada titik yang berbeda dan pada interval yang berbeda dari suatu fungsi.

• 1.2.B.1 Laju perubahan mengukur bagaimana dua kuantitas bervariasi bersama.
• 1.2.B.2 Laju perubahan positif menunjukkan bahwa ketika satu kuantitas bertambah atau berkurang, kuantitas lain melakukan hal yang sama.
• 1.2.B.3 Laju perubahan negatif menunjukkan bahwa ketika satu kuantitas bertambah, kuantitas lainnya berkurang.

Tujuan Pembelajaran 1.3.A: Tentukan rata-rata laju perubahan untuk barisan dan fungsi, termasuk fungsi linear, kuadrat, dan jenis fungsi lainnya.

• 1.3.A.1 Untuk fungsi linear, rata-rata laju perubahan pada panjang interval nilai input apa pun adalah konstan.
• 1.3.A.2 Untuk fungsi kuadrat, rata-rata laju perubahan pada interval nilai input yang berurutan dan sama panjang dapat dinyatakan oleh fungsi linear.
• 1.3.A.3 Rata-rata laju perubahan pada interval tertutup $[a, b]$ adalah kemiringan garis secant dari titik $(a, f(a))$ ke $(b, f(b))$.

Tujuan Pembelajaran 1.3.B: Tentukan perubahan rata-rata laju perubahan untuk fungsi linear, kuadrat, dan jenis fungsi lainnya.

• 1.3.B.1 Untuk fungsi linear, karena rata-rata laju perubahan pada interval nilai input yang berurutan dan sama panjang dapat diberikan oleh fungsi konstan, maka rata-rata laju perubahan untuk fungsi linear ini berubah pada laju nol.
• 1.3.B.2 Untuk fungsi kuadrat, karena rata-rata laju perubahan atas interval nilai input yang berurutan dengan panjang sama dapat dinyatakan oleh fungsi linear, maka rata-rata laju perubahan untuk fungsi kuadrat ini berubah pada laju yang konstan.
• 1.3.B.3 Ketika rata-rata laju perubahan atas interval nilai input dengan panjang sama meningkat untuk semua interval berpanjang kecil, grafik fungsi tersebut cekung ke atas. Ketika rata-rata laju perubahan atas interval nilai input dengan panjang sama menurun untuk semua interval berpanjang kecil, grafik fungsi tersebut cekung ke bawah.

Tujuan Pembelajaran 1.4.A: Identifikasi karakteristik utama fungsi polinomial terkait dengan laju perubahan.

• 1.4.A.1 Fungsi polinomial nonkonstan dari $x$ adalah representasi fungsi apa pun yang ekuivalen dengan bentuk analitik $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$, di mana $n$ adalah bilangan bulat positif, $a_i$ adalah bilangan real untuk setiap $i$ dari $1$ hingga $n$, dan $a_n$ tidak nol. Polinomial ini memiliki derajat $n$, suku utama adalah $a_n x^n$, dan koefisien utama adalah $a_n$. Konstanta juga merupakan fungsi polinomial dari derajat nol.
• 1.4.A.2 Di mana fungsi polinomial beralih antara naik dan turun, atau pada titik akhir yang termasuk dari polinomial dengan domain terbatas, fungsi polinomial akan memiliki nilai output maksimum atau minimum lokal, atau relatif. Dari semua maksimum lokal, yang terbesar disebut global, atau absolut, maksimum. Demikian pula, yang terkecil dari semua minimum lokal disebut minimum global, atau absolut.
• 1.4.A.3 Antara setiap dua nol riil berbeda dari fungsi polinomial nonkonstan, harus ada setidaknya satu nilai input yang sesuai dengan maksimum lokal atau minimum lokal.
• 1.4.A.4 Fungsi polinomial dari derajat genap akan memiliki maksimum global atau minimum global.
• 1.4.A.5 Titik belok dari fungsi polinomial terjadi pada nilai input di mana laju perubahan fungsi berubah dari naik menjadi turun atau dari turun menjadi naik. Hal ini terjadi di mana grafik fungsi polinomial berubah dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas.

Tujuan Pembelajaran 1.5.A: Identifikasi karakteristik utama fungsi polinomial terkait dengan nolnya ketika faktorisasi yang sesuai tersedia atau dengan bantuan teknologi.

• 1.5.A.1 Jika $a$ adalah bilangan kompleks dan $p(a) = 0$, maka $a$ disebut nol dari fungsi polinomial $p$, atau akar dari $p(x) = 0$. Jika $a$ adalah bilangan real, maka $(x - a)$ adalah faktor linear dari $p$ jika dan hanya jika $a$ adalah nol dari $p$.
• 1.5.A.2 Jika faktor linear $(x - a)$ muncul berulang $n$ kali, nol yang bersesuaian dari fungsi polinomial memiliki multipisitas $n$. Fungsi polinomial dari derajat $n$ memiliki tepat $n$ nol kompleks jika dihitung berdasarkan multipisitas.
• 1.5.A.3 Jika $a$ adalah nol riil dari fungsi polinomial $p$, maka grafik $y = p(x)$ memiliki perpotongan-sumbu-$x$ pada titik $(a, 0)$. Akibatnya, nol-nol riil dari polinomial dapat menjadi titik akhir untuk interval yang memenuhi pertidaksamaan polinomial.
• 1.5.A.4 Jika $a + bi$ adalah nol tak-riil dari fungsi polinomial $p$, maka konjugatnya $a - bi$ juga merupakan nol dari $p$.
• 1.5.A.5 Jika nol riil, $a$, dari fungsi polinomial memiliki multipisitas genap, maka tanda nilai-nilai output adalah sama untuk nilai-nilai input dekat $x = a$. Untuk fungsi polinomial ini, grafiknya akan menyinggung sumbu-$x$ pada $x = a$.
• 1.5.A.6 Derajat fungsi polinomial dapat ditemukan dengan memeriksa selisih berturut-turut dari nilai-nilai output atas nilai-nilai input dengan interval yang sama. Derajat fungsi polinomial sama dengan nilai terkecil $n$ untuk mana selisih-selisih $n$ tingkat berturut-turut adalah konstan.

Tujuan Pembelajaran 1.5.B: Tentukan apakah suatu fungsi polinomial adalah genap atau ganjil.

• 1.5.B.1 Fungsi genap secara grafis simetris terhadap garis $x = 0$ dan secara analitik memiliki sifat $f(-x) = f(x)$. Jika $n$ genap, maka polinomial dari bentuk $p(x) = a_n x^n$, di mana $n \geq 1$ dan $a_n \neq 0$, adalah fungsi genap.
• 1.5.B.2 Fungsi ganjil secara grafis simetris terhadap titik $(0, 0)$ dan secara analitik memiliki sifat $f(-x) = -f(x)$. Jika $n$ ganjil, maka polinomial dari bentuk $p(x) = a_n x^n$, di mana $n \geq 1$ dan $a_n \neq 0$, adalah fungsi ganjil.

Tujuan Pembelajaran 1.6.A: Deskripsikan perilaku ujung dari fungsi polinomial.

• 1.6.A.1 Saat nilai input dari fungsi polinomial nonkonstan bertambah tanpa batas, nilai output akan baik bertambah maupun berkurang tanpa batas. Notasi matematika yang bersangkutan adalah $\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty$ atau $\lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty$.
• 1.6.A.2 Saat nilai input dari fungsi polinomial nonkonstan berkurang tanpa batas, nilai output akan baik bertambah maupun berkurang tanpa batas. Notasi matematika yang bersangkutan adalah $\lim_{x \to -\infty} p(x) = \infty$ atau $\lim_{x \to -\infty} p(x) = -\infty$.
• 1.6.A.3 Derajat dan tanda suku utama dari polinomial menentukan perilaku ujung dari fungsi polinomial, karena saat nilai input bertambah atau berkurang tanpa batas, nilai suku utama mendominasi nilai dari semua suku berderajat lebih rendah.

Tujuan Pembelajaran 1.7.A: Deskripsikan perilaku ujung dari fungsi rasional.

• 1.7.A.1 Fungsi rasional direpresentasikan secara analitik sebagai hasil bagi dari dua fungsi polinomial dan memberikan ukuran relatif ukuran fungsi polinomial dalam pembilang dibandingkan dengan fungsi polinomial dalam penyebut untuk setiap nilai dalam domain fungsi rasional.
• 1.7.A.2 Perilaku akhir dari fungsi rasional akan paling dipengaruhi oleh polinomial dengan derajat yang lebih besar, karena nilainya akan mendominasi nilai-nilai fungsi rasional untuk nilai input dengan magnitudo besar. Untuk nilai input dengan magnitudo besar, sebuah polinomial didominasi oleh suku utamanya. Oleh karena itu, perilaku akhir dari fungsi rasional dapat dipahami dengan memeriksa hasil bagi yang sesuai dari suku-suku utamanya.
• 1.7.A.3 Jika polinomial dalam pembilang mendominasi polinomial dalam penyebut untuk nilai input dengan magnitudo besar, maka hasil bagi dari suku-suku utamanya adalah polinomial nonkonstan, dan fungsi rasional asli memiliki perilaku akhir dari polinomial tersebut. Jika polinomial tersebut linear, maka grafik fungsi rasional memiliki asimtot miring yang sejajar dengan grafik garis tersebut.
• 1.7.A.4 Jika tidak ada polinomial dalam fungsi rasional yang mendominasi yang lain untuk nilai input dengan magnitudo besar, maka hasil bagi dari suku-suku utamanya adalah konstanta, dan konstanta tersebut menunjukkan lokasi asimtot horizontal dari grafik fungsi rasional asli.
• 1.7.A.5 Jika polinomial dalam penyebut mendominasi polinomial dalam pembilang untuk nilai input dengan magnitudo besar, maka hasil bagi dari suku-suku utamanya adalah fungsi rasional dengan konstanta di pembilang dan polinomial nonkonstan di penyebut, dan grafik fungsi rasional asli memiliki asimtot horizontal pada $y = 0$.
• 1.7.A.6 Ketika grafik fungsi rasional $r$ memiliki asimtot horizontal pada $y = b$, di mana $b$ adalah konstanta, nilai output dari fungsi rasional menjadi semakin dekat secara sewenang-wenang ke $b$ dan tetap sangat dekat dengan $b$ seiring nilai input bertambah atau berkurang tanpa batas. Notasi matematika yang sesuai adalah $\lim_{x \to \infty} r(x) = b$ atau $\lim_{x \to -\infty} r(x) = b$.

Tujuan Pembelajaran 1.8.A: Menentukan nol-nol dari fungsi rasional.

• 1.8.A.1 Nol-nol real dari fungsi rasional sesuai dengan nol-nol real dari pembilangnya untuk nilai-nilai dalam domainnya.
• 1.8.A.2 Nol-nol real dari kedua fungsi polinomial dalam fungsi rasional $r$ merupakan titik ujung atau asimtot untuk interval-interval yang memenuhi ketaksamaan fungsi rasional $r(x) \geq 0$ atau $r(x) \leq 0$.

Tujuan Pembelajaran 1.9.A: Menentukan asimtot vertikal dari grafik fungsi rasional.

• 1.9.A.1 Jika nilai $a$ adalah nol real dari fungsi polinomial dalam penyebut fungsi rasional dan bukan juga nol real dari fungsi polinomial dalam pembilang, maka grafik fungsi rasional memiliki asimtot vertikal pada $x = a$. Selanjutnya, asimtot vertikal juga terjadi pada $x = a$ jika multiplicitas $a$ sebagai nol real dalam penyebut lebih besar daripada multiplicitasnya sebagai nol real dalam pembilang.
• 1.9.A.2 Di dekat asimtot vertikal, $x = a$, dari fungsi rasional, nilai fungsi polinomial di penyebut mendekati nol secara sewenang-wenang, sehingga nilai fungsi rasional $r$ meningkat atau menurun tanpa batas. Notasi matematika yang sesuai adalah $\lim_{x \to a^+} r(x) = \infty$ atau $\lim_{x \to a^+} r(x) = -\infty$ untuk nilai input di dekat $a$ dan lebih besar dari $a$, serta $\lim_{x \to a^-} r(x) = \infty$ atau $\lim_{x \to a^-} r(x) = -\infty$ untuk nilai input di dekat $a$ dan kurang dari $a$.

Tujuan Pembelajaran 1.10.A: Menentukan lubang pada grafik fungsi rasional.

• 1.10.A.1 Jika multiplisitas nol riil pada pembilang lebih besar atau sama dengan multiplisitasnya pada penyebut, maka grafik fungsi rasional memiliki lubang pada nilai input yang bersesuaian.
• 1.10.A.2 Jika grafik fungsi rasional $r$ memiliki lubang di $x = c$, maka lokasi lubang dapat ditentukan dengan memeriksa nilai output yang bersesuaian dengan nilai input yang cukup dekat dengan $c$. Jika nilai input yang cukup dekat dengan $c$ bersesuaian dengan nilai output yang sangat dekat dengan $L$, makalubang terletak pada titik dengan koordinat $(c, L)$. Notasi matematika yang sesuai adalah $\lim_{x \to c} r(x) = L$. Perlu dicatat bahwa $\lim_{x \to c^-} r(x) = \lim_{x \to c^+} r(x) = \lim_{x \to c} r(x) = L$.

Tujuan Pembelajaran 1.12.A: Membangun fungsi yang merupakan transformasi aditif dan/atau perkalian dari fungsi lain.

• 1.12.A.1 Fungsi $g(x) = f(x) + k$ adalah transformasi aditif dari fungsi $f$ yang menghasilkan translasi vertikal dari grafik $f$ sebanyak $k$ satuan.
• 1.12.A.2 Fungsi $g(x) = f(x + h)$ adalah transformasi aditif dari fungsi $f$ yang menghasilkan translasi horizontal dari grafik $f$ sebanyak $-h$ satuan.
• 1.12.A.3 Fungsi $g(x) = a f(x)$, di mana $a \neq 0$, merupakan transformasi perkalian dari fungsi $f$ yang menghasilkan peregangan vertikal pada grafik $f$ dengan faktor $|a|$. Jika $a < 0$, transformasi ini melibatkan pemantulan terhadap sumbu $x$.
• 1.12.A.4 Fungsi $g(x) = f(bx)$, di mana $b \neq 0$, merupakan transformasi perkalian dari fungsi $f$ yang menghasilkan peregangan horizontal pada grafik $f$ dengan faktor $\left| \dfrac{1}{b} \right|$. Jika $b < 0$, transformasi ini melibatkan pemantulan terhadap sumbu $y$.
• 1.12.A.5 Transformasi aditif dan perkalian dapat digabungkan, menghasilkan kombinasi translasi horizontal dan vertikal serta dilatasi.
• 1.12.A.6 Domain dan range dari fungsi yang merupakan transformasi dari fungsi induk mungkin berbeda dengan fungsi induknya.

Tujuan Pembelajaran 1.13.A: Mengidentifikasi jenis fungsi yang tepat untuk membangun model fungsi untuk skenario tertentu.

• 1.13.A.1 Fungsi linear memodelkan himpunan data atau aspek dari skenario kontekstual yang menunjukkan laju perubahan kira-kira konstan.
• 1.13.A.2 Fungsi kuadratik memodelkan himpunan data atau aspek dari skenario kontekstual yang menunjukkan laju perubahan kira-kira linier, atau himpunan data yang kira-kira simetris dengan nilai maksimum atau minimum tunggal.
• 1.13.A.3 Konteks geometris yang melibatkan luas atau dua dimensi sering dimodelkan oleh fungsi kuadrat. Konteks geometris yang melibatkan volume atau tiga dimensi sering dimodelkan oleh fungsi kubik.
• 1.13.A.4 Fungsi polinomial memodelkan himpunan data atau skenario kontekstual dengan beberapa nol nyata atau beberapa maksimum atau minimum.
• 1.13.A.5 Fungsi polinomial berderajat $n$ memodelkan himpunan data atau skenario kontekstual yang menunjukkan perbedaan $n$ bertingkat yang kira-kira konstan dan nonzero.
• 1.13.A.6 Fungsi polinomial berderajat $n$ atau kurang dapat digunakan untuk memodelkan grafik $n + 1$ titik dengan nilai input yang berbeda.
• 1.13.A.7 Fungsi terdefinisi sepotong-sepotong terdiri dari serangkaian fungsi yang didefinisikan atas interval domain yang tidak tumpang tindih dan berguna untuk memodelkan himpunan data atau skenario kontekstual yang menunjukkan karakteristik berbeda pada interval yang berbeda.

Tujuan Pembelajaran 1.13.B: Jelaskan asumsi dan pembatasan terkait pembuatan model fungsi.

• 1.13.B.1 Model mungkin memiliki asumsi mendasar tentang apa yang konsisten dalam model tersebut.
• 1.13.B.2 Model mungkin memiliki asumsi mendasar tentang bagaimana kuantitas berubah bersama-sama.
• 1.13.B.3 Model mungkin memerlukan pembatasan domain berdasarkan petunjuk matematis, petunjuk kontekstual, atau nilai ekstrem dalam himpunan data.
• 1.13.B.4 Model mungkin memerlukan pembatasan jangkauan, seperti pembulatan nilai, berdasarkan petunjuk matematis, petunjuk kontekstual, atau nilai ekstrem dalam himpunan data.

Tujuan Pembelajaran 1.14.A: Buatlah model fungsi linear, kuadrat, kubik, kuartik, polinomial berderajat $n$, atau fungsi terdefinisi sepotong-sepoteng yang terkait.

• 1.14.A.1 Model dapat dibuat berdasarkan pembatasan yang diidentifikasi dalam skenario matematis atau kontekstual.
• 1.14.A.2 Model dari himpunan data atau skenario kontekstual dapat dibuat menggunakan transformasi dari fungsi induk.
• 1.14.A.3 Model dari himpunan data dapat dibuat menggunakan teknologi dan regresi, termasuk regresi linear, kuadrat, kubik, dan kuartik.
• 1.14.A.4 Model fungsi terdefinisi sepotong-sepotong dapat dibuat melalui kombinasi teknik pemodelan.

Tujuan Pembelajaran 1.14.B: Buatlah model fungsi rasional berdasarkan konteks.

• 1.14.B.1 Himpunan data dan aspek skenario kontekstual yang melibatkan kuantitas yang berbanding terbalik sering dimodelkan oleh fungsi rasional. Misalnya, besaran gaya gravitasi dan gaya elektromagnetik antara objek berbanding terbalik dengan kuadrat jarak objek tersebut.

Tujuan Pembelajaran 1.14.C: Terapkan model fungsi untuk menjawab pertanyaan mengenai himpunan data atau skenario kontekstual.

• 1.14.C.1 Model dapat digunakan untuk menarik kesimpulan tentang himpunan data atau skenario kontekstual yang dimodelkan, termasuk menjawab pertanyaan kunci dan memprediksi nilai, laju perubahan, rata-rata laju perubahan, dan laju perubahan yang berubah. Satuan pengukuran yang sesuai harus diekstrak atau disimpulkan dari konteks yang diberikan.

Tujuan Pembelajaran 2.2.A: Membangun fungsi bilangan real yang dapat dibandingkan dengan barisan aritmetika dan barisan geometri.

• 2.2.A.1 Fungsi linear berbentuk $f(x) = b + mx$ mirip dengan barisan aritmatika berbentuk $a_n = a_0 + dn$, karena keduanya dapat dinyatakan sebagai nilai awal ($b$ atau $a_0$) ditambah penambahan berulang dari laju perubahan konstan, yaitu kemiringan ($m$ atau $d$).
• 2.2.A.2 Mirip dengan barisan aritmetika dengan bentuk $a_n = a_k + d(n - k)$, yang didasarkan pada beda yang diketahui, $d$, dan suku ke-$k$, fungsi linear dapat dinyatakan dalam bentuk $f(x) = y_i + m(x - x_i)$ berdasarkan kemiringan yang diketahui, $m$, dan sebuah titik, $(x_i, y_i)$.
• 2.2.A.3 Fungsi eksponensial berbentuk $f(x) = ab^x$ mirip dengan barisan geometri berbentuk $g_n = g_0 r^n$, karena keduanya dapat dinyatakan sebagai nilai awal ($a$ atau $g_0$) dikalikan dengan perkalian berulang oleh proporsi konstan ($b$ atau $r$).
• 2.2.A.4 Mirip dengan barisan geometri berbentuk $g_n = g_k r^{(n-k)}$, yang didasarkan pada rasio yang diketahui, $r$, dan suku ke-$k$, fungsi eksponensial dapat dinyatakan dalam bentuk $f(x) = y_i r^{(x - x_i)}$ berdasarkan rasio yang diketahui, $r$, dan sebuah titik, $(x_i, y_i)$.
• 2.2.A.5 Barisan dan fungsi yang bersesuaian mungkin memiliki domain yang berbeda.

Tujuan Pembelajaran 2.3.A: Mengidentifikasi karakteristik utama fungsi eksponensial.

• 2.3.A.1 Bentuk umum dari fungsi eksponensial adalah $f(x) = ab^x$, dengan nilai awal $a$, di mana $a \neq 0$, dan basis $b$, di mana $b > 0$, dan $b \neq 1$. Ketika $a > 0$ dan $b > 1$, fungsi eksponensial dikatakan menunjukkan pertumbuhan eksponensial. Ketika $a > 0$ dan $0 < b < 1$, fungsi eksponensial dikatakan menunjukkan peluruhan eksponensial.
• 2.3.A.2 Ketika bilangan alam menjadi nilai input dalam fungsi eksponensial, nilai input menentukan jumlah faktor basis yang akan diterapkan pada nilai awal fungsi tersebut. Domain fungsi eksponensial adalah semua bilangan real.
• 2.3.A.3 Karena nilai output fungsi eksponensial dalam bentuk umumnya proporsional sepanjang interval nilai input yang sama panjang, fungsi eksponensial selalu naik atau selalu turun, dan grafiknya selalu cekung ke atas atau selalu cekung ke bawah. Akibatnya, fungsi eksponensial tidak memiliki nilai ekstrem kecuali pada interval tertutup, dan grafiknya tidak memiliki titik belok.
• 2.3.A.4 Jika nilai dari fungsi transformasi aditif $g(x) = f(x) + k$ dari sembarang fungsi $f$ bersifat proporsional sepanjang interval nilai input yang sama panjang, maka $f$ adalah eksponensial.

Tujuan Pembelajaran 2.4.A: Menulis kembali ekspresi eksponensial dalam bentuk ekuivalen.

• 2.4.A.1 Sifat perkalian untuk eksponen menyatakan bahwa $b^m b^n = b^{(m+n)}$. Secara grafis, sifat ini mengimplikasikan bahwa setiap translasi horizontal dari fungsi eksponensial, $f(x) = b^{(x+k)}$, setara dengan peregangan vertikal, $f(x) = b^{(x+k)} = b^x b^k = ab^x$, di mana $a = b^k$.
• 2.4.A.2 Sifat pangkat untuk eksponen menyatakan bahwa $\left(b^m\right)^n = b^{(mn)}$. Secara grafis, sifat ini mengimplikasikan bahwa setiap peregangan horizontal dari fungsi eksponensial, $f(x) = b^{(cx)}$, setara dengan perubahan basis fungsi eksponensial, $f(x) = \left(b^c\right)^x$, di mana $b^c$ adalah konstanta dan $c \neq 0$.
• 2.4.A.3 Sifat eksponen negatif menyatakan bahwa $b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$.
• 2.4.A.4 Nilai dari ekspresi eksponensial yang melibatkan pecahan unit eksponensial, seperti $b^{(1/k)}$ di mana $k$ adalah bilangan alam, adalah akar ke-$k$ dari $b$, jika ada.

Tujuan Pembelajaran 2.5.A: Membangun model untuk situasi yang melibatkan nilai output proporsional sepanjang interval nilai input yang sama panjang.

• 2.5.A.1 Fungsi eksponensial memodelkan pola pertumbuhan di mana nilai output berturut-turut sepanjang interval nilai input yang sama panjang bersifat proporsional. Ketika nilai input adalah bilangan bulat, fungsi eksponensial memodelkan situasi perkalian berulang dari suatu konstanta terhadap nilai awal.
• 2.5.A.2 Mungkin perlu menambahkan suatu konstanta ke nilai variabel terikat dari sekumpulan data untuk mengungkapkan pola pertumbuhan yang proporsional.
• 2.5.A.3 Model fungsi eksponensial dapat dibangun dari rasio dan nilai awal yang sesuai, atau dari dua pasangan input-output. Nilai awal dan basis dapat ditemukan dengan menyelesaikan sistem persamaan yang dihasilkan dari dua pasangan input-output tersebut.
• 2.5.A.4 Model fungsi eksponensial dapat dibangun dengan menerapkan transformasi pada $f(x) = ab^x$ berdasarkan karakteristik skenario konteks atau sekumpulan data.
• 2.5.A.5 Model fungsi eksponensial dapat dibangun untuk sekumpulan data menggunakan teknologi melalui regresi eksponensial.
• 2.5.A.6 Basis alami $e$, yang nilainya kira-kira $2.718$, sering digunakan sebagai basis dalam fungsi eksponensial yang memodelkan skenario kontekstual.

Tujuan Pembelajaran 2.6.A: Membangun model linear, kuadrat, dan eksponensial berdasarkan sekumpulan data.

• 2.6.A.1 Dua variabel dalam sekumpulan data yang menunjukkan laju perubahan yang sedikit berubah dapat dimodelkan oleh model fungsi linear, kuadrat, dan eksponensial.
• 2.6.A.2 Model dapat dibandingkan berdasarkan petunjuk kontekstual dan keterapannya untuk menentukan model mana yang paling tepat.

Tujuan Pembelajaran 2.6.B: Memvalidasi model yang dibangun dari sekumpulan data.

• 2.6.B.1 Sebuah model dianggap sesuai untuk suatu himpunan data jika grafik residual dari regresi, yaitu plot residual, tampak tanpa pola.
• 2.6.B.2 Selisih antara nilai yang diprediksi dan nilai aktual adalah kesalahan dalam model. Bergantung pada himpunan data dan konteksnya, mungkin lebih sesuai untuk memiliki estimasi kurang atau lebih tinggi untuk interval tertentu.

Tujuan Pembelajaran 2.7.A: Menilai komposisi dua fungsi atau lebih untuk nilai-nilai yang diberikan.

• 2.7.A.1 Jika $f$ dan $g$ adalah fungsi-fungsi, maka fungsi komposit $f \circ g$ memetakan sekumpulan nilai input ke sekumpulan nilai output sedemikian rupa sehingga nilai output dari $g$ digunakan sebagai nilai input bagi $f$. Karena alasan ini, domain fungsi komposit dibatasi hanya pada nilai-input dari $g$ di mana nilai output yang bersesuaian berada dalam domain $f$. $(f \circ g)(x)$ juga dapat direpresentasikan sebagai $f(g(x))$.
• 2.7.A.2 Nilai-nilai untuk fungsi komposit $f \circ g$ dapat dihitung atau diestimasi dari representasi grafis, numerik, analitik, atau verbal dari $f$ dan $g$ dengan menggunakan nilai output dari $g$ sebagai nilai input untuk $f$.
• 2.7.A.3 Komposisi fungsi tidak bersifat komutatif; artinya, $f \circ g$ dan $g \circ f$ biasanya merupakan fungsi-fungsi yang berbeda; oleh karena itu, $f(g(x))$ dan $g(f(x))$ biasanya merupakan nilai yang berbeda.
• 2.7.A.4 Jika fungsi $f(x) = x$ dikomposisikan dengan fungsi apa pun $g$, fungsi komposit yang dihasilkan sama dengan $g$; artinya, $g(f(x)) = f(g(x)) = g(x)$. Fungsi $f(x) = x$ disebut fungsi identitas. Saat mengkomposisikan dua fungsi, fungsi identitas bertindak sama seperti $0$, identitas penjumlahan, saat menjumlahkan dua bilangan, dan $1$, identitas perkalian, saat mengalikan dua bilangan.

Tujuan Pembelajaran 2.7.B: Membangun representasi komposisi dua fungsi atau lebih.

• 2.7.B.1 Komposisi fungsi berguna untuk menghubungkan dua kuantitas yang tidak saling terkait secara langsung melalui rumus yang sudah ada.
• 2.7.B.2 Ketika representasi analitik dari fungsi-fungsi $f$ dan $g$ tersedia, representasi analitik dari $f(g(x))$ dapat dibangun dengan mensubstitusikan $g(x)$ untuk setiap kemunculan $x$ dalam $f$.
• 2.7.B.3 Representasi numerik atau grafis dari $f \circ g$ sering kali dapat dibangun dengan menghitung atau mengestimasi nilai-nilai untuk $(x, f(g(x)))$.

Tujuan Pembelajaran 2.7.C: Menulis ulang suatu fungsi yang diberikan sebagai komposisi dari dua fungsi atau lebih.

• 2.7.C.1 Fungsi-fungsi yang diberikan secara analitik sering kali dapat diuraikan menjadi fungsi-fungsi yang lebih sederhana. Ketika diuraikan dengan benar, variabel dalam satu fungsi harus menggantikan setiap kemunculan fungsi yang dengannya fungsi tersebut dikomposisikan.
• 2.7.C.2 Transformasi aditif pada suatu fungsi, $f$, yang menghasilkan translasi vertikal dan horizontal dapat dipahami sebagai komposisi dari $g(x) = x + k$ dengan $f$.
• 2.7.C.3 Transformasi perkalian pada suatu fungsi, $f$, yang menghasilkan dilatasi vertikal dan horizontal dapat dipahami sebagai komposisi dari $g(x) = kx$ dengan $f$.

Tujuan Pembelajaran 2.8.A: Menentukan pasangan input-output dari invers suatu fungsi.

• 2.8.A.1 Pada domain yang ditentukan, suatu fungsi, $f$, memiliki fungsi invers, atau invertibel, jika setiap nilai output dari $f$ dipetakan dari sebuah nilai input yang unik. Domain suatu fungsi dapat dibatasi dengan berbagai cara agar fungsi tersebut menjadi invertibel.
• 2.8.A.2 Fungsi invers dapat dipikirkan sebagai pemetaan terbalik dari fungsi tersebut. Fungsi invers, $f^{-1}$, memetakan nilai output dari suatu fungsi, $f$, pada domain invertibelnya ke nilai input yang bersesuaian; artinya, jika $f(a) = b$, maka $f^{-1}(b) = a$. Secara alternatif, pada domain invertibelnya, jika suatu fungsi terdiri dari pasangan input-output $(a, b)$, maka fungsi inversnya terdiri dari pasangan input-output $(b, a)$.

Tujuan Pembelajaran 2.8.B: Menentukan invers dari suatu fungsi pada domain yang invertibel.

• 2.8.B.1 Komposisi dari suatu fungsi, $f$, dan fungsi inversnya, $f^{-1}$, adalah fungsi identitas; artinya, $f\left(f^{-1}(x)\right) = f^{-1}(f(x)) = x$.
• 2.8.B.2 Pada domain invertibel suatu fungsi, range dan domain fungsi tersebut berturut-turut merupakan domain dan range dari fungsi inversnya. Invers dari tabel nilai dari $y = f(x)$ dapat ditemukan dengan membalikkan pasangan input-output; artinya, $(a, b)$ berkorespondensi dengan $(b, a)$.
• 2.8.B.3 Invers dari grafik fungsi $y = f(x)$ dapat ditemukan dengan membalikkan peran sumbu $x$- dan $y$-; artinya, dengan mencerminkan grafik fungsi tersebut terhadap grafik fungsi identitas $h(x) = x$.
• 2.8.B.4 Invers dari fungsi dapat ditemukan dengan menentukan operasi invers untuk membalikkan pemetaan. Salah satu metode untuk menemukan invers dari fungsi $f$ adalah membalikkan peran $x$ dan $y$ dalam persamaan $y = f(x)$, kemudian menyelesaikan untuk $y = f^{-1}(x)$.
• 2.8.B.5 Selain membatasi domain suatu fungsi untuk mendapatkan fungsi invers, pembatasan kontekstual juga dapat membatasi penerapan fungsi invers.

Tujuan Pembelajaran 2.9.A: Menilai ekspresi logaritma.

• 2.9.A.1 Ekspresi logaritma $\log_b c$ sama dengan, atau merepresentasikan, nilai yang harus dipangkatkan secara eksponensial oleh basis $b$ untuk memperoleh nilai $c$. Artinya, $\log_b c = a$ jika dan hanya jika $b^a = c$, di mana $a$ dan $c$ adalah konstanta, $b > 0$, dan $b \neq 1$. (ketika basis ekspresi logaritma tidak disebutkan, hal itu dimaknai sebagai logaritma umum dengan basis $10$)
• 2.9.A.2 Nilai dari beberapa ekspresi logaritma dapat dengan mudah diakses melalui aritmatika dasar, sementara nilai lainnya dapat diestimasi melalui penggunaan teknologi.
• 2.9.A.3 Pada skala logaritma, setiap unit mewakili perubahan perkalian dari basis logaritma. Misalnya, pada skala standar, unitnya mungkin $0, \; 1, \; 2, \; \ldots$, sedangkan pada skala logaritma, dengan menggunakan basis logaritma $10$, unitnya mungkin $10^0, \; 10^1, \; 10^2, \; \ldots$.

Tujuan Pembelajaran 2.10.A: Membangun representasi dari invers dari fungsi eksponensial dengan nilai awal 1.

• 2.10.A.1 Bentuk umum dari fungsi logaritma adalah $f(x) = a\log_b x$, dengan basis $b$, di mana $b > 0$, $b \neq 1$, dan $a \neq 0$.
• 2.10.A.2 Cara nilai input dan output bervariasi bersama memiliki hubungan terbalik dalam fungsi eksponensial dan logaritma. Nilai output dari fungsi eksponensial bentuk umum berubah secara proporsional saat nilai input bertambah dalam interval sepanjang yang sama. Namun, nilai input dari fungsi logaritma bentuk umum berubah secara proporsional saat nilai output bertambah dalam interval sepanjang yang sama. Alternatifnya, pertumbuhan eksponensial dikarakteristikkan oleh nilai output yang berubah secara multiplikatif saat nilai input berubah secara aditif, sedangkan pertumbuhan logaritmik dikarakteristikkan oleh nilai output yang berubah secara aditif saat nilai input berubah secara multiplikatif.
• 2.10.A.3 $f(x) = \log_b x$ dan $g(x) = b^x$, di mana $b > 0$ dan $b \neq 1$, adalah fungsi-fungsi invers. Artinya, $g(f(x)) = f(g(x)) = x$.
• 2.10.A.4 Grafik fungsi logaritma $f(x) = \log_b x$, di mana $b > 0$ dan $b \neq 1$, adalah pencerminan dari grafik fungsi eksponensial $g(x) = b^x$, di mana $b > 0$ dan $b \neq 1$, terhadap grafik fungsi identitas $h(x) = x$.
• 2.10.A.5 Jika $(s, \; t)$ adalah pasangan terurut dari fungsi eksponensial $g(x) = b^x$, di mana $b > 0$ dan $b \neq 1$, maka $(t, \; s)$ adalah pasangan terurut dari fungsi logaritma $f(x) = \log_b x$, di mana $b > 0$ dan $b \neq 1$.

Tujuan Pembelajaran 2.11.A: Identifikasi karakteristik utama dari fungsi logaritma.

• 2.11.A.1 Domain dari fungsi logaritma dalam bentuk umum adalah semua bilangan real yang lebih besar dari nol, dan range-nya mencakup seluruh bilangan real.
• 2.11.A.2 Karena fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponensial, fungsi logaritma juga selalu naik atau selalu turun, dan grafiknya selalu cekung ke atas atau selalu cekung ke bawah. Akibatnya, fungsi logaritma tidak memiliki nilai ekstrem kecuali pada interval tertutup, dan grafiknya tidak memiliki titik belok.
• 2.11.A.3 Fungsi transformasi aditif $g(x) = f(x + k)$, di mana $k \neq 0$, dari fungsi logaritma $f$ dalam bentuk umum tidak memiliki nilai input yang proporsional pada interval nilai output dengan panjang yang sama. Namun, jika nilai input dari fungsi transformasi aditif, $g(x) = f(x + k)$, dari sembarang fungsi $f$ proporsional pada interval nilai output dengan panjang yang sama, maka $f$ bersifat logaritmik.
• 2.11.A.4 Dengan domainnya yang terbatas, fungsi logaritma dalam bentuk umum memiliki asimtot vertikal terhadap $x = 0$, dengan perilaku ujung yang tak terbatas. Artinya, untuk fungsi logaritma dalam bentuk umum, $\lim\limits_{x \to 0^+} a\log_b x = \pm\infty$ dan $\lim\limits_{x \to \infty} a\log_b x = \pm\infty$.

Tujuan Pembelajaran 2.12.A: Tuliskan ulang ekspresi logaritma dalam bentuk ekuivalen.

• 2.12.A.1 Sifat perkalian logaritma menyatakan bahwa $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$. Secara grafis, sifat ini mengimplikasikan bahwa setiap dilatasi horizontal dari fungsi logaritma, $f(x) = \log_b(kx)$, setara dengan translasi vertikal, $f(x) = \log_b(kx) = \log_b k + \log_b x = a + \log_b x$, di mana $a = \log_b k$.
• 2.12.A.2 Sifat pangkat logaritma menyatakan bahwa $\log_b x^n = n\log_b x$. Secara grafis, sifat ini mengimplikasikan bahwa pengangkatan input fungsi logaritma dengan suatu pangkat, $f(x) = \log_b x^k$, menghasilkan dilatasi vertikal, $f(x) = \log_b x^k = k\log_b x$.
• 2.12.A.3 Sifat perubahan basis logaritma menyatakan bahwa $\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$, di mana $a > 0$ dan $a \neq 1$. Ini mengimplikasikan bahwa semua fungsi logaritma adalah dilatasi vertikal satu sama lain.
• 2.12.A.4 Fungsi $f(x) = \ln x$ adalah fungsi logaritma dengan basis alami $e$; yaitu, $\ln x = \log_e x$.

Tujuan Pembelajaran 2.13.A: Selesaikan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial dan logaritma.

• 2.13.A.1 Sifat-sifat eksponen, sifat-sifat logaritma, dan hubungan invers antara fungsi eksponensial dan logaritma dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan yang melibatkan eksponen dan logaritma.
• 2.13.A.2 Saat menyelesaikan persamaan eksponensial dan logaritma yang ditemukan melalui metode analitis atau grafis, hasil harus diperiksa untuk solusi ekstraneous yang dilarang oleh batasan matematis atau kontekstual.
• 2.13.A.3 Logaritma dapat digunakan untuk menulis ulang ekspresi yang melibatkan fungsi eksponensial dengan cara berbeda yang mungkin mengungkapkan informasi yang bermanfaat. Secara khusus, $b^x = c^{(\log_c b)(x)}$.

Tujuan Pembelajaran 2.13.B: Bangun fungsi invers untuk fungsi eksponensial dan logaritma.

• 2.13.B.1 Fungsi $f(x) = ab^{(x-h)} + k$ adalah kombinasi dari transformasi aditif dari fungsi eksponensial dalam bentuk umum. Invers dari $y = f(x)$ dapat ditemukan dengan menentukan operasi invers untuk membalikkan pemetaan.
• 2.13.B.2 Fungsi $f(x) = a\log_b(x - h) + k$ adalah kombinasi dari transformasi aditif dari fungsi logaritma dalam bentuk umum. Invers dari $y = f(x)$ dapat ditemukan dengan menentukan operasi invers untuk membalikkan pemetaan.

Tujuan Pembelajaran 2.14.A: Bangun model fungsi logaritma.

• 2.14.A.1 Fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponensial dan dapat digunakan untuk memodelkan situasi yang melibatkan pertumbuhan proporsional, atau perkalian berulang, di mana nilai input berubah secara proporsional pada interval nilai output dengan panjang yang sama. Alternatifnya, jika nilai output adalah bilangan bulat, hal itu menunjukkan berapa kali nilai awal telah dikalikan dengan proporsi tersebut.
• 2.14.A.2 Model fungsi logaritma dapat dibangun dari proporsi yang sesuai dan nol riil, atau dari dua pasangan input-output.
• 2.14.A.3 Model fungsi logaritma dapat dibangun dengan menerapkan transformasi pada $f(x) = a\log_b x$ berdasarkan karakteristik dari konteks atau himpunan data.
• 2.14.A.4 Model fungsi logaritma dapat dibangun untuk himpunan data menggunakan teknologi melalui regresi logaritmik.
• 2.14.A.5 Fungsi logaritma alami sering kali berguna dalam memodelkan fenomena dunia nyata.
• 2.14.A.6 Model fungsi logaritma dapat digunakan untuk memprediksi nilai variabel dependen.

Tujuan Pembelajaran 2.15.A: Tentukan apakah model eksponensial tepat dengan memeriksa plot semi-log dari sebuah himpunan data.

• 2.15.A.1 Dalam plot semi-log, salah satu sumbu diskalakan secara logaritmik. Ketika sumbu $y$ dari plot semi-log diskalakan secara logaritmik, data atau fungsi yang menunjukkan karakteristik eksponensial akan tampak linear.
• 2.15.A.2 Keuntungan dari plot semi-log adalah bahwa konstanta tidak perlu ditambahkan ke nilai variabel dependen untuk mengungkapkan bahwa model eksponensial tepat.

Tujuan Pembelajaran 2.15.B: Bangun linearisasi dari data eksponensial.

• 2.15.B.1 Teknik yang digunakan untuk memodelkan fungsi linear dapat diterapkan pada grafik semi-log.
• 2.15.B.2 Untuk model eksponensial dengan bentuk $y = ab^x$, model linear yang sesuai untuk plot semi-log adalah $y = (\log_n b)x + \log_n a$, di mana $n > 0$ dan $n \neq 1$. Secara khusus, laju perubahan linear adalah $\log_n b$, dan nilai linear awal adalah $\log_n a$.

Tujuan Pembelajaran 3.1.A: Membangun grafik hubungan berkala berdasarkan representasi verbal.

• 3.1.A.1 Hubungan berkala dapat diidentifikasi antara dua aspek konteks jika, seiring bertambahnya nilai input, nilai output menunjukkan pola yang berulang dalam interval-interval berurutan yang memiliki panjang sama.
• 3.1.A.2 Grafik hubungan berkala dapat dibangun dari grafik satu siklus tunggal dari hubungan tersebut.

Tujuan Pembelajaran 3.1.B: Mendeskripsikan karakteristik utama fungsi berkala berdasarkan representasi verbal.

• 3.1.B.1 Periode fungsi adalah nilai positif terkecil $k$ sedemikian rupa sehingga $f(x + k) = f(x)$ untuk semua $x$ dalam domain. Akibatnya, perilaku fungsi berkala sepenuhnya ditentukan oleh interval apa pun yang memiliki lebar $k$.
• 3.1.B.2 Periode dapat diestimasi dengan menyelidiki nilai output berurutan yang memiliki panjang sama dan menemukan di mana pola mulai berulang.
• 3.1.B.3 Fungsi berkala mengambil karakteristik dari fungsi lainnya, seperti interval peningkatan dan penurunan, kelengkungan yang berbeda, dan berbagai tingkat perubahan. Namun, dengan fungsi berkala, semua karakteristik yang ditemukan dalam satu periode fungsi akan ada di setiap periode fungsi.

Tujuan Pembelajaran 3.2.A: Menentukan sinus, kosinus, dan tangen dari suatu sudut menggunakan lingkaran satuan.

• 3.2.A.1 Pada bidang koordinat, suatu sudut berada dalam posisi standar ketika puncaknya berimpit dengan titik asal dan salah satu sinar berimpit dengan sumbu $x$ positif. Sinar lainnya disebut sinar terminal. Ukuran sudut positif dan negatif menunjukkan rotasi dari sumbu $x$ positif ke arah berlawanan jarum jam dan searah jarum jam, masing-masing. Sudut-sudut dalam posisi standar yang berbagi sinar terminal berbeda dengan kelipatan bulat jumlah putaran.
• 3.2.A.2 Ukuran radian dari suatu sudut dalam posisi standar adalah rasio antara panjang busur lingkaran yang berpusat di titik asal yang dibentang oleh sudut tersebut terhadap jari-jari lingkaran itu sendiri. Untuk lingkaran satuan, yang memiliki jari-jari $1$, ukuran radian sama dengan panjang busur yang dibentang.
• 3.2.A.3 Diberikan sudut dalam posisi standar dan lingkaran yang berpusat di titik asal, terdapat sebuah titik, $P$, di mana sinar terminal memotong lingkaran. Sinus dari sudut tersebut adalah rasio perpindahan vertikal $P$ dari $x$-axis terhadap jarak antara titik asal dan titik $P$. Oleh karena itu, untuk lingkaran satuan, sinus dari sudut tersebut adalah koordinat $y$ dari titik $P$.
• 3.2.A.4 Diberikan sudut dalam posisi standar dan lingkaran yang berpusat di titik asal, terdapat sebuah titik, $P$, di mana sinar terminal memotong lingkaran. Kosinus dari sudut tersebut adalah rasio perpindahan horizontal $P$ dari $y$-axis terhadap jarak antara titik asal dan titik $P$. Oleh karena itu, untuk lingkaran satuan, kosinus dari sudut tersebut adalah koordinat $x$ dari titik $P$.
• 3.2.A.5 Diberikan sudut dalam posisi standar, tangens dari sudut tersebut adalah kemiringan (slope), jika ada, dari sinar terminal. Karena kemiringan sinar terminal adalah rasio perpindahan vertikal terhadap perpindahan horizontal sepanjang interval apa pun, tangens dari sudut tersebut adalah rasio koordinat $y$ terhadap koordinat $x$ dari titik di mana sinar terminal memotong lingkaran satuan; secara alternatif, ini adalah rasio sinus sudut terhadap kosinusnya.

Tujuan Pembelajaran 3.3.A: Menentukan koordinat titik-titik pada lingkaran yang berpusat di titik asal.

• 3.3.A.1 Diberikan sudut berukuran $\theta$ dalam posisi standar dan lingkaran dengan jari-jari $r$ yang berpusat di titik asal, terdapat sebuah titik, $P$, di mana sinar terminal memotong lingkaran. Koordinat dari titik $P$ adalah $(r\cos\theta, r\sin\theta)$.
• 3.3.A.2 Geometri segitiga siku-siku sama kaki dan segitiga sama sisi, sambil memperhatikan tanda-nilai berdasarkan kuadran dari sudut tersebut, dapat digunakan untuk menemukan nilai eksak dari kosinus dan sinus dari sudut-sudut yang merupakan kelipatan dari $\dfrac{\pi}{4}$ dan $\dfrac{\pi}{6}$ radian serta sinar terminalnya tidak terletak pada sumbu.

Tujuan Pembelajaran 3.4.A: Membangun representasi fungsi sinus dan kosinus menggunakan lingkaran satuan.

• 3.4.A.1 Diberikan sudut berukuran $\theta$ dalam posisi standar dan lingkaran satuan yang berpusat di titik asal, terdapat sebuah titik, $P$, di mana sinar terminal memotong lingkaran. Fungsi sinus, $f(\theta) = \sin\theta$, memberikan koordinat $y$, atau perpindahan vertikal dari $x$-axis, dari titik $P$. Domain dari fungsi sinus adalah semua bilangan real.
• 3.4.A.2 Seiring dengan meningkatnya nilai input, atau ukuran sudut, dari fungsi sinus, nilai output berosilasi antara $-1$ dan $1$, melewati setiap nilai di antaranya, dan melacak jarak vertikal titik-titik pada lingkaran satuan dari sumbu $x$.
• 3.4.A.3 Diberikan sudut berukuran $\theta$ dalam posisi standar dan lingkaran satuan berpusat di titik asal, terdapat titik, $P$, di mana sinar terminal memotong lingkaran. Fungsi kosinus, $f(\theta) = \cos\theta$, memberikan koordinat-$x$, atau perpindahan horizontal dari sumbu-$y$, dari titik $P$. Domain fungsi kosinus mencakup semua bilangan real.
• 3.4.A.4 Seiring dengan meningkatnya nilai input, atau ukuran sudut, dari fungsi kosinus, nilai output berosilasi antara $-1$ dan $1$, melewati setiap nilai di antaranya, dan melacak jarak horizontal titik-titik pada lingkaran satuan dari sumbu $y$.

Tujuan Pembelajaran 3.5.A: Mengidentifikasi karakteristik utama fungsi sinus dan kosinus.

• 3.5.A.1 Fungsi sinusoidal adalah fungsi apa pun yang melibatkan transformasi aditif dan perkalian dari $f(\theta) = \sin\theta$. Fungsi sinus dan kosinus keduanya merupakan fungsi sinusoidal, dengan $\cos\theta = \sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$.
• 3.5.A.2 Periode dan frekuensi dari suatu fungsi sinusoidal saling berkebalikan. Periode dari $f(\theta) = \sin\theta$ dan $g(\theta) = \cos\theta$ adalah $2\pi$, dan frekuensinya adalah $\dfrac{1}{2\pi}$.
• 3.5.A.3 Amplitudo dari suatu fungsi sinusoidal adalah setengah dari selisih antara nilai maksimum dan minimumnya. Amplitudo dari $f(\theta) = \sin\theta$ dan $g(\theta) = \cos\theta$ adalah $1$.
• 3.5.A.4 Garis tengah (midline) dari grafik fungsi sinusoidal ditentukan oleh rata-rata, atau mean aritmatika, dari nilai maksimum dan minimum fungsi tersebut. Garis tengah dari grafik $y = \sin\theta$ dan $y = \cos\theta$ adalah $y = 0$.
• 3.5.A.5 Seiring dengan meningkatnya nilai input, grafik fungsi sinusoidal berosilasi antara cekung ke bawah dan cekung ke atas.
• 3.5.A.6 Grafik $y = \sin\theta$ memiliki simetri rotasi terhadap titik asal sehingga merupakan fungsi ganjil. Grafik $y = \cos\theta$ memiliki simetri refleksi terhadap sumbu $y$ sehingga merupakan fungsi genap.

Tujuan Pembelajaran 3.6.A: Mengidentifikasi amplitudo, pergeseran vertikal, periode, dan pergeseran fase dari suatu fungsi sinusoidal.

• 3.6.A.1 Fungsi yang dapat ditulis dalam bentuk $f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ atau $g(\theta) = a\cos(b(\theta + c)) + d$, di mana $a, b, c,$ dan $d$ adalah bilangan real dan $a \neq 0$, adalah fungsi sinusoidal dan merupakan transformasi dari fungsi sinus dan kosinus. Transformasi aditif dan perkalian sama untuk kedua fungsi sinus dan kosinus karena fungsi kosinus adalah pergeseran fase dari fungsi sinus sebesar $-\dfrac{\pi}{2}$ unit.
• 3.6.A.2 Grafik dari transformasi aditif $g(\theta) = \sin\theta + d$ dari fungsi sinus $f(\theta) = \sin\theta$ adalah translasi vertikal dari grafik $f$, termasuk garis tengahnya, sebanyak $d$ unit. Transformasi yang sama pada fungsi kosinus menghasilkan hasil yang sama.
• 3.6.A.3 Grafik dari transformasi aditif $g(\theta) = \sin(\theta + c)$ dari fungsi sinus $f(\theta) = \sin\theta$ adalah translasi horizontal, atau pergeseran fase, dari grafik $f$ sebanyak $-c$ unit. Transformasi yang sama pada fungsi kosinus menghasilkan hasil yang sama.
• 3.6.A.4 Grafik dari transformasi perkalian $g(\theta) = a\sin\theta$ dari fungsi sinus $f(\theta) = \sin\theta$ adalah dilatasi vertikal dari grafik $f$ dan berbeda dalam amplitudo dengan faktor $|a|$. Transformasi yang sama pada fungsi kosinus menghasilkan hasil yang sama.
• 3.6.A.5 Grafik dari transformasi perkalian $g(\theta) = \sin(b\theta)$ dari fungsi sinus $f(\theta) = \sin\theta$ adalah dilatasi horizontal dari grafik $f$ dan berbeda dalam periode dengan faktor $\left|\dfrac{1}{b}\right|$. Transformasi yang sama pada fungsi kosinus menghasilkan hasil yang sama.
• 3.6.A.6 Grafik $y = f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ memiliki amplitudo $|a|$ unit, periode $\left|\dfrac{1}{b}\right|2\pi$ unit, pergeseran vertikal garis tengah $d$ unit dari $y = 0$, dan pergeseran fase $-c$ unit. Transformasi yang sama pada fungsi kosinus menghasilkan hasil yang sama.

Tujuan Pembelajaran 3.7.A: Membangun model fungsi sinusoidal untuk fenomena periodik.

• 3.7.A.1 Interval terkecil dari nilai input di mana nilai output maksimum atau minimum mulai berulang, yaitu interval nilai input antara dua nilai maksimum berturut-turut atau dua nilai minimum berturut-turut, dapat digunakan untuk menentukan atau memperkirakan periode dan frekuensi untuk model fungsi sinusoidal.
• 3.7.A.2 Nilai output maksimum dan minimum dapat digunakan untuk menentukan atau memperkirakan amplitudo dan pergeseran vertikal untuk model fungsi sinusoidal.
• 3.7.A.3 Sepasang nilai input-output aktual dapat dibandingkan dengan pasangan nilai input-output yang dihasilkan oleh model fungsi sinusoidal untuk menentukan atau memperkirakan pergeseran fase untuk model tersebut.
• 3.7.A.4 Model fungsi sinusoidal dapat dibangun untuk himpunan data menggunakan teknologi dengan memperkirakan nilai-nilai kunci atau menggunakan regresi sinusoidal.
• 3.7.A.5 Fungsi sinusoidal yang memodelkan suatu himpunan data sering kali hanya berguna dalam domain konteksnya dan dapat digunakan untuk memprediksi nilai variabel terikat dari nilai variabel bebas.

Tujuan Pembelajaran 3.8.A: Membangun representasi fungsi tangen menggunakan lingkaran satuan.

• 3.8.A.1 Diberikan sudut berukuran $\theta$ dalam posisi standar dan lingkaran satuan yang berpusat di titik asal, terdapat sebuah titik, $P$, di mana sinar terminal memotong lingkaran tersebut. Fungsi tangen, $f(\theta) = \tan\theta$, memberikan kemiringan (slope) dari sinar terminal.
• 3.8.A.2 Karena kemiringan sinar terminal adalah rasio perubahan nilai $y$ terhadap perubahan nilai $x$ di antara dua titik mana pun pada sinar tersebut, fungsi tangen juga merupakan rasio dari fungsi sinus terhadap fungsi kosinus. Oleh karena itu, $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, di mana $\cos\theta \neq 0$.

Tujuan Pembelajaran 3.8.B: Jelaskan karakteristik utama dari fungsi tangen.

• 3.8.B.1 Karena nilai kemiringan sinar terminal berulang setiap setengah putaran lingkaran, fungsi tangen memiliki periode $\pi$.
• 3.8.B.2 Fungsi tangen menunjukkan perilaku asimtotik periodik pada nilai input $\theta = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, untuk nilai bilangan bulat $k$, karena $\cos\theta = 0$ pada nilai-nilai tersebut.
• 3.8.B.3 Fungsi tangen meningkat dan grafiknya berubah dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas di antara asimtot yang berurutan.

Tujuan Pembelajaran 3.9.A: Susun representasi analitis dan grafis dari invers dari fungsi sinus, kosinus, dan tangen dalam domain terbatas.

• 3.9.A.1 Untuk fungsi trigonometri invers, nilai input dan output dibalik dari fungsi trigonometri yang bersesuaian, sehingga nilai output dari fungsi trigonometri invers sering ditafsirkan sebagai ukuran sudut dan inputnya adalah nilai dalam rentang fungsi trigonometri yang bersesuaian.
• 3.9.A.2 Fungsi trigonometri invers disebut arcsine, arccosine, dan arctangent (juga direpresentasikan sebagai $\sin^{-1}x, \cos^{-1}x,$ dan $\tan^{-1}x$). Karena fungsi trigonometri yang bersesuaian bersifat periodik, mereka hanya dapat dibalik jika memiliki domain terbatas.
• 3.9.A.3 Agar fungsi invers masing-masing dapat didefinisikan, domain fungsi sinus dibatasi hingga $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$, fungsi kosinus hingga $[0, \pi]$, dan fungsi tangen hingga $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$.

Tujuan Pembelajaran 3.10.A: Menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan yang melibatkan fungsi trigonometri.

• 3.10.A.1 Fungsi trigonometri invers berguna dalam menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan yang melibatkan fungsi trigonometri, namun solusi mungkin perlu dimodifikasi karena pembatasan domain.
• 3.10.A.2 Karena fungsi trigonometri bersifat berkala, sering kali terdapat tak hingga banyak solusi untuk persamaan trigonometri.
• 3.10.A.3 Dalam persamaan dan ketaksamaan trigonometri yang muncul dari skenario kontekstual, sering kali terdapat pembatasan domain yang dapat tersirat dari konteks, yang membatasi jumlah solusi.

Tujuan Pembelajaran 3.11.A: Mengidentifikasi karakteristik utama fungsi yang melibatkan hasil bagi fungsi sinus dan kosinus.

• 3.11.A.1 Fungsi secan, $f(\theta) = \sec\theta$, adalah kebalikan dari fungsi kosinus, di mana $\cos\theta \neq 0$.
• 3.11.A.2 Fungsi kosecan, $f(\theta) = \csc\theta$, adalah kebalikan dari fungsi sinus, di mana $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.3 Grafik fungsi secan dan kosecan memiliki asimtot vertikal di mana cosinus dan sinus bernilai nol, masing-masing, dan memiliki rentang $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
• 3.11.A.4 Fungsi kotangen, $f(\theta) = \cot\theta$, adalah kebalikan dari fungsi tangen, di mana $\tan\theta \neq 0$. Setara dengan, $\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$, di mana $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.5 Grafik fungsi kotangen memiliki asimtot vertikal untuk nilai domain di mana $\tan\theta = 0$ dan menurun di antara asimtot berturutan.

Tujuan Pembelajaran 3.12.A: Menulis ulang ekspresi trigonometri dalam bentuk ekuivalen dengan identitas Pythagoras.

• 3.12.A.1 Teorema Pythagoras dapat diterapkan pada segitiga siku-siku dengan titik-titik pada lingkaran satuan pada koordinat $(\cos\theta, \sin\theta)$, menghasilkan identitas Pythagoras: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
• 3.12.A.2 Identitas Pythagoras dapat dimanipulasi secara aljabar menjadi bentuk lain yang melibatkan fungsi trigonometri, seperti $\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1$, dan dapat digunakan untuk menetapkan hubungan trigonometri lainnya, seperti $\arcsin x = \arccos\left(\sqrt{1 - x^2}\right)$, dengan pembatasan domain yang sesuai.

Tujuan Pembelajaran 3.12.B: Menulis ulang ekspresi trigonometri dalam bentuk ekuivalen dengan identitas penjumlahan sinus dan kosinus.

• 3.12.B.1 Identitas penjumlahan untuk sinus adalah $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.2 Identitas penjumlahan untuk kosinus adalah $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.3 Identitas penjumlahan untuk sinus dan kosinus juga dapat digunakan sebagai identitas selisih dan sudut ganda.
• 3.12.B.4 Sifat-sifat fungsi trigonometri, identitas trigonometri yang telah diketahui, dan sifat aljabar lainnya dapat digunakan untuk memverifikasi identitas trigonometri tambahan.

Tujuan Pembelajaran 3.12.C: Menyelesaikan persamaan menggunakan representasi analitik ekuivalen dari fungsi trigonometri.

• 3.12.C.1 Bentuk ekuivalen tertentu yang melibatkan ekspresi trigonometri dapat membuat informasi lebih mudah diakses.
• 3.12.C.2 Bentuk trigonometri ekuivalen mungkin berguna dalam menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan trigonometri.

Tujuan Pembelajaran 3.13.A: Menentukan lokasi suatu titik dalam bidang menggunakan koordinat persegi panjang dan polar.

• 3.13.A.1 Sistem koordinat polar didasarkan pada grid lingkaran yang berpusat di titik asal dan garis-garis melalui titik asal. Koordinat polar didefinisikan sebagai pasangan terurut, $(r, \theta)$, sedemikian rupa sehingga $|r|$ merepresentasikan jari-jari lingkaran tempat titik tersebut terletak, dan $\theta$ merepresentasikan ukuran sudut dalam posisi standar yang sinar terminalnya mencakup titik tersebut. Dalam sistem koordinat polar, titik yang sama dapat direpresentasikan dengan banyak cara.
• 3.13.A.2 Koordinat suatu titik dalam sistem koordinat polar, $(r, \theta)$, dapat dikonversi ke koordinat dalam sistem koordinat persegi panjang, $(x, y)$, menggunakan $x = r\cos\theta$ dan $y = r\sin\theta$.
• 3.13.A.3 Koordinat suatu titik dalam sistem koordinat persegi panjang, $(x, y)$, dapat dikonversi ke koordinat dalam sistem koordinat polar, $(r, \theta)$, menggunakan $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ dan $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$ untuk $x > 0$ atau $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) + \pi$ untuk $x < 0$.
• 3.13.A.4 Bilangan kompleks dapat dipahami sebagai titik pada bidang kompleks dan dapat ditentukan oleh koordinat persegi panjang atau polar yang sesuai. Ketika bilangan kompleks memiliki koordinat persegi panjang $(a, b)$, bilangan tersebut dapat dinyatakan sebagai $a + bi$. Ketika bilangan kompleks memiliki koordinat polar $(r, \theta)$, bilangan tersebut dapat dinyatakan sebagai $(r\cos\theta) + i(r\sin\theta)$.

Tujuan Pembelajaran 3.14.A: Membangun grafik fungsi polar.

• 3.14.A.1 Grafik dari fungsi $r = f(\theta)$ dalam koordinat polar terdiri dari pasangan nilai input-output di mana nilai input adalah ukuran sudut dan nilai output adalah jari-jari.
• 3.14.A.2 Domain dari fungsi polar $r = f(\theta)$, yang ditunjukkan secara grafis, dapat dibatasi pada bagian tertentu yang diinginkan dengan memilih titik ujung yang sesuai dengan sudut dan jari-jari yang diinginkan.
• 3.14.A.3 Saat menggambar fungsi polar dalam bentuk $r = f(\theta)$, perubahan nilai input sesuai dengan perubahan ukuran sudut dari sumbu $x$ positif, dan perubahan nilai output sesuai dengan perubahan jarak dari titik asal.

Tujuan Pembelajaran 3.15.A: Mendeskripsikan karakteristik grafik dari fungsi polar.

• 3.15.A.1 Jika fungsi polar, $r = f(\theta)$, bernilai positif dan meningkat atau bernilai negatif dan menurun, maka jarak antara $f(\theta)$ dan titik asal bertambah.
• 3.15.A.2 Jika suatu fungsi polar, $r = f(\theta)$, bernilai positif dan menurun atau negatif dan meningkat, maka jarak antara $f(\theta)$ dan titik asal berkurang.
• 3.15.A.3 Untuk suatu fungsi polar, $r = f(\theta)$, jika fungsi berubah dari meningkat menjadi menurun atau menurun menjadi meningkat pada suatu interval, maka fungsi tersebut memiliki ekstrem relatif pada interval yang sesuai dengan titik yang relatif paling dekat atau paling jauh dari titik asal.
• 3.15.A.4 Laju perubahan rata-rata dari $r$ terhadap $\theta$ sepanjang interval $\theta$ adalah rasio perubahan nilai jari-jari terhadap perubahan $\theta$ selama interval $\theta$. Secara grafis, laju perubahan rata-rata menunjukkan laju perubahan jari-jari per radian.
• 3.15.A.5 Laju perubahan rata-rata dari $r$ terhadap $\theta$ sepanjang interval $\theta$ dapat digunakan untuk memperkirakan nilai fungsi di dalam interval tersebut.

Tujuan Pembelajaran 4.1.A: Buat grafik atau tabel nilai untuk fungsi parametrik yang direpresentasikan secara analitis.

• 4.1.A.1 Sebuah fungsi parametrik dalam $\mathbb{R}^2$, himpunan semua pasangan terurut dari dua bilangan real, terdiri dari satu set dua persamaan parametrik di mana dua variabel dependen, $x$ dan $y$, bergantung pada satu variabel independen, $t$, yang disebut parameter.
• 4.1.A.2 Karena variabel $x$ dan $y$ bergantung pada variabel independen, $t$, koordinat $(x_i,\, y_i)$ pada waktu $t_i$ dapat ditulis sebagai fungsi dari $t$ dan dapat dinyatakan sebagai fungsi parametrik tunggal $f(t) = (x(t),\, y(t))$, di mana dalam kasus ini $x$ dan $y$ adalah nama-nama dari dua fungsi.
• 4.1.A.3 Tabel nilai numerik dapat dihasilkan untuk fungsi parametrik $f(t) = (x(t),\, y(t))$ dengan mengevaluasi $x_i$ dan $y_i$ pada beberapa nilai $t_i$ dalam domain.
• 4.1.A.4 Grafik dari fungsi parametrik dapat digambar dengan menghubungkan beberapa titik dari tabel nilai numerik berdasarkan urutan peningkatan nilai $t$.
• 4.1.A.5 Domain dari fungsi parametrik $f$ sering dibatasi, yang menghasilkan titik awal dan akhir pada grafik $f$.

Tujuan Pembelajaran 4.5.A: Membuat grafik persamaan yang melibatkan dua variabel.

• 4.5.A.1 Persamaan yang melibatkan dua variabel dapat secara implisit mendeskripsikan satu atau lebih fungsi.
• 4.5.A.2 Persamaan yang melibatkan dua variabel dapat digrafkan dengan mencari solusi dari persamaan tersebut.
• 4.5.A.3 Menyelesaikan salah satu variabel dalam persamaan yang melibatkan dua variabel dapat mendefinisikan fungsi yang grafiknya merupakan bagian atau seluruh grafik dari persamaan tersebut.

Tujuan Pembelajaran 4.5.B: Menentukan bagaimana dua kuantitas yang terkait dalam fungsi terdefinisi implisit berubah bersama-sama.

• 4.5.B.1 Untuk pasangan berurutan pada grafik fungsi yang terdefinisi implisit yang berada berdekatan, jika rasio perubahan kedua variabel adalah positif, maka kedua variabel tersebut secara bersamaan meningkat atau keduanya menurun; sebaliknya, jika rasionya negatif, maka ketika satu variabel meningkat, variabel lainnya menurun.
• 4.5.B.2 Laju perubahan $x$ terhadap $y$ atau $y$ terhadap $x$ dapat bernilai nol, menunjukkan interval vertikal atau horizontal, masing-masing.

Tujuan Pembelajaran 4.6.A: Merepresentasikan konik dengan simetri horizontal atau vertikal secara analitik.

• 4.6.A.1 Parabola dengan titik puncak $(h,\, k)$ dapat, jika $a \neq 0$, direpresentasikan secara analitik sebagai $x - h = a(y - k)^2$ jika terbuka ke kiri atau kanan, atau sebagai $y - k = a(x - h)^2$ jika terbuka ke atas atau bawah.
• 4.6.A.2 Elips yang berpusat di $(h,\, k)$ dengan jari-jari horizontal $a$ dan jari-jari vertikal $b$ dapat direpresentasikan secara analitik sebagai $\dfrac{(x - h)^2}{a^2} + \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1$. Lingkaran adalah kasus khusus elips di mana $a = b$.
• 4.6.A.3 Hiperbola yang berpusat di $(h,\, k)$ dengan garis simetri vertikal dan horizontal dapat direpresentasikan secara aljabar sebagai $\dfrac{(x - h)^2}{a^2} - \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ untuk hiperbola yang terbuka ke kiri dan kanan, atau sebagai $\dfrac{(y - k)^2}{b^2} - \dfrac{(x - h)^2}{a^2} = 1$ untuk hiperbola yang terbuka ke atas dan bawah. Asimtotnya adalah $y - k = \pm \dfrac{b}{a}(x - h)$.

Tujuan Pembelajaran 4.7.A: Merepresentasikan kurva di bidang secara parametrik.

• 4.7.A.1 Sebuah parametrisasi $(x(t),\, y(t))$ untuk fungsi yang terdefinisi implisit akan, ketika $x(t)$ dan $y(t)$ disubstitusikan untuk $x$ dan $y$, masing-masing, memenuhi persamaan yang sesuai untuk setiap nilai $t$ dalam domain.
• 4.7.A.2 Jika $f$ adalah fungsi dari $x$, maka $y = f(x)$ dapat diparametrisasi sebagai $(x(t),\, y(t)) = (t, f(t))$. Jika $f$ invertibel, inversnya dapat diparametrisasi sebagai $(x(t),\, y(t)) = (f(t),\, t)$ untuk interval yang sesuai dari $t$.

Tujuan Pembelajaran 4.7.B: Merepresentasikan konik secara parametrik.

• 4.7.B.1 Parabola dapat diparametrisasi dengan cara yang sama seperti persamaan apa pun yang dapat diselesaikan untuk $x$ atau $y$. Persamaan yang dapat diselesaikan untuk $x$ dapat diparametrisasi sebagai $(x(t),\, y(t)) = (f(t),\, t)$ dengan menyelesaikan untuk $x$ dan mengganti $y$ dengan $t$. Persamaan yang dapat diselesaikan untuk $y$ dapat diparametrisasi sebagai $(x(t),\, y(t)) = (t, f(t))$ dengan menyelesaikan untuk $y$ dan mengganti $x$ dengan $t$.
• 4.7.B.2 Elips dapat diparametrisasi menggunakan fungsi trigonometri $x(t) = h + a\cos t$ dan $y(t) = k + b\sin t$ untuk $0 \leq t \leq 2\pi$.
• 4.7.B.3 Hiperbola dapat diparametrisasi menggunakan fungsi trigonometri. Untuk hiperbola yang terbuka ke kiri dan kanan, fungsinya adalah $x(t) = h + a\sec t$ dan $y(t) = k + b\tan t$ untuk $0 \leq t \leq 2\pi$. Untuk hiperbola yang terbuka ke atas dan bawah, fungsinya adalah $x(t) = h + a\tan t$ dan $y(t) = k + b\sec t$ untuk $0 \leq t \leq 2\pi$.

Tujuan Pembelajaran 4.8.A: Mengidentifikasi karakteristik vektor.

• 4.8.A.1 Vektor adalah segaris berarah. Ketika sebuah vektor ditempatkan di bidang, titik di awal segaris disebut ekor, dan titik di akhir segaris disebut kepala. Panjang segaris adalah besar (magnitudo) dari vektor tersebut.
• 4.8.A.2 Vektor $\overrightarrow{P_1 P_2}$ dengan dua komponen dapat digambar di bidang $xy$ dari $P_1 = (x_1, y_1)$ ke $P_2 = (x_2, y_2)$. Vektor ini diidentifikasi oleh $a$ dan $b$, di mana $a = x_2 - x_1$ dan $b = y_2 - y_1$. Vektor dapat dinyatakan sebagai $\langle a,\, b \rangle$. Vektor nol $\langle 0,\, 0 \rangle$ adalah kasus trivial ketika $P_1 = P_2$.
• 4.8.A.3 Arah vektor sejajar dengan segaris dari titik asal ke titik dengan koordinat $(a,\, b)$. Besar vektor adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat komponen-komponennya.
• 4.8.A.4 Untuk vektor yang direpresentasikan secara geometris di bidang, komponen vektor dapat ditemukan menggunakan trigonometri.

Tujuan Pembelajaran 4.8.B: Menentukan penjumlahan dan perkalian yang melibatkan vektor.

• 4.8.B.1 Perkalian konstanta dengan vektor menghasilkan vektor baru yang komponennya diperoleh dengan mengalikan konstanta tersebut dengan setiap komponen dari vektor asli. Vektor baru ini sejajar dengan vektor asli.
• 4.8.B.2 Penjumlahan dua vektor di $\mathbb{R}^2$ adalah vektor baru yang komponennya diperoleh dengan menjumlahkan komponen yang sesuai dari vektor-vektor asli. Vektor baru dapat direpresentasikan secara grafis sebagai vektor yang ekornya sesuai dengan ekor vektor pertama dan kepalanya sesuai dengan kepala vektor kedua ketika ekor vektor kedua ditempatkan di kepala vektor pertama.
• 4.8.B.3 Hasil kali titik dari dua vektor adalah jumlah dari perkalian komponen-komponen yang sesuai. Yaitu, $\langle a_1,\, b_1 \rangle \cdot \langle a_2,\, b_2 \rangle = a_1 a_2 + b_1 b_2$.

Tujuan Pembelajaran 4.8.C: Menentukan vektor satuan untuk vektor tertentu.

• 4.8.C.1 Vektor satuan adalah vektor dengan magnitudo $1$. Vektor satuan dalam arah yang sama dengan vektor tak nol yang diberikan dapat ditemukan dengan mengalikan skalar vektor tersebut dengan resiprok dari magnitudonya.
• 4.8.C.2 Vektor $\langle a,\, b \rangle$ dapat dinyatakan sebagai $a\vec{i} + b\vec{j}$ dalam $\mathbb{R}^2$, di mana $\vec{i}$ dan $\vec{j}$ adalah vektor satuan dalam arah $x$ dan $y$, masing-masing. Yaitu, $\vec{i} = \langle 1,\, 0 \rangle$ dan $\vec{j} = \langle 0,\, 1 \rangle$.

Tujuan Pembelajaran 4.8.D: Menentukan ukuran sudut antara vektor dan besar vektor yang terlibat dalam penjumlahan vektor.

• 4.8.D.1 Hasil kali titik secara geometris ekuivalen dengan hasil kali besaran kedua vektor dan kosinus sudut di antara keduanya. Oleh karena itu, jika hasil kali titik dari dua vektor tak nol adalah nol, maka vektor-vektor tersebut saling tegak lurus.
• 4.8.D.2 Hukum Sinus dan Hukum Kosinus dapat digunakan untuk menentukan panjang sisi dan besar sudut segitiga yang terbentuk oleh penjumlahan vektor.

Tujuan Pembelajaran 4.9.A: Merepresentasikan gerak planar dalam bentuk fungsi bernilai vektor.

• 4.9.A.1 Posisi partikel yang bergerak dalam bidang yang diberikan oleh fungsi parametrik $f(t) = (x(t),\, y(t))$ dapat dinyatakan sebagai fungsi bernilai vektor, $p(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j}$ atau $p(t) = \langle x(t),\, y(t) \rangle$. Besaran vektor posisi pada waktu $t$ memberikan jarak partikel dari titik asal.
• 4.9.A.2 Fungsi bernilai vektor $v(t) = \langle x(t),\, y(t) \rangle$ dapat digunakan untuk menyatakan kecepatan partikel yang bergerak dalam bidang pada waktu-waktu yang berbeda, $t$. Pada waktu $t$, tanda dari $x(t)$ menunjukkan apakah partikel bergerak ke kanan atau ke kiri, dan tanda dari $y(t)$ menunjukkan apakah partikel bergerak naik atau turun. Besaran vektor kecepatan pada waktu $t$ memberikan kecepatan partikel.

Tujuan Pembelajaran 4.10.A: Tentukan hasil kali dari dua matriks.

• 4.10.A.1 Matriks $n \times m$ adalah susunan yang terdiri dari $n$ baris dan $m$ kolom.
• 4.10.A.2 Dua matriks dapat dikalikan jika jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua. Hasil kali dari matriks tersebut adalah matriks baru di mana komponen pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ adalah hasil kali titik dari baris ke-$i$ matriks pertama dan kolom ke-$j$ matriks kedua.

Tujuan Pembelajaran 4.11.A: Tentukan invers dari matriks $2 \times 2$.

• 4.11.A.1 Matriks identitas, $I$, adalah matriks persegi yang terdiri dari $1$s pada diagonal dari kiri atas ke kanan bawah dan $0$s di tempat lain.
• 4.11.A.2 Mengalikan matriks persegi dengan matriks identitas yang bersesuaian akan menghasilkan matriks persegi asli.
• 4.11.A.3 Hasil kali dari matriks persegi dan inversnya, jika ada, adalah matriks identitas dengan ukuran yang sama.
• 4.11.A.4 Invers dari matriks $2 \times 2$, jika ada, dapat dihitung dengan atau tanpa teknologi.

Tujuan Pembelajaran 4.11.B: Terapkan nilai determinan untuk invertibilitas dan vektor.

• 4.11.B.1 Determinan dari matriks $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ adalah $ad - bc$. Determinan dapat dihitung dengan atau tanpa teknologi dan dilambangkan dengan $\det(A)$.
• 4.11.B.2 Jika matriks $2 \times 2$ terdiri dari dua vektor kolom atau baris dari $\mathbb{R}^2$, maka nilai mutlak nol dari determinan matriks tersebut adalah luas jajar genjang yang direntangkan oleh vektor-vektor yang direpresentasikan dalam kolom atau baris matriks. Jika determinan sama dengan $0$, maka vektor-vektor tersebut sejajar.
• 4.11.B.3 Matriks persegi $A$ memiliki invers jika dan hanya jika $\det(A) \neq 0$.

Tujuan Pembelajaran 4.13.A: Menentukan hubungan antara transformasi linear dan matriks.

• 4.13.A.1 Transformasi linear yang memetakan $\langle x,\, y \rangle$ ke $\langle a_{11} x + a_{12} y,\, a_{21} x + a_{22} y \rangle$ dikaitkan dengan matriks $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$.
• 4.13.A.2 Pemetaan vektor satuan dalam transformasi linear memberikan informasi berharga untuk menentukan matriks yang terkait.
• 4.13.A.3 Matriks $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ dikaitkan dengan transformasi linear vektor yang memutar setiap vektor sebesar sudut $\theta$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal.
• 4.13.A.4 Nilai mutlak determinan dari matriks transformasi $2 \times 2$ memberikan besaran dilatasi daerah dalam $\mathbb{R}^2$ di bawah transformasi tersebut.

Tujuan Pembelajaran 4.13.B: Menentukan komposisi dua transformasi linear.

• 4.13.B.1 Komposisi dari dua transformasi linear merupakan sebuah transformasi linear.
• 4.13.B.2 Matriks yang dikaitkan dengan komposisi dua transformasi linear adalah hasil kali dari matriks-matriks yang dikaitkan dengan masing-masing transformasi linear.

Tujuan Pembelajaran 4.13.C: Menentukan invers dari transformasi linear.

• 4.13.C.1 Dua transformasi linear adalah invers satu sama lain jika komposisinya memetakan setiap vektor ke dirinya sendiri.
• 4.13.C.2 Jika transformasi linear, $L$, diberikan oleh $L(\vec{v}) = A\vec{v}$, maka transformasi inversnya diberikan oleh $L^{-1}(\vec{v}) = A^{-1}\vec{v}$, di mana $A^{-1}$ adalah invers dari matriks $A$.

Tujuan Pembelajaran 4.14.A: Membangun model skenario yang melibatkan transisi antara dua keadaan menggunakan matriks.

• 4.14.A.1 Skenario kontekstual dapat menunjukkan tingkat transisi antar keadaan sebagai persentase perubahan. Matriks dapat disusun berdasarkan tingkat-tingkat ini untuk memodelkan bagaimana keadaan berubah selama interval diskrit.

Tujuan Pembelajaran 4.14.B: Terapkan model matriks untuk memprediksi keadaan masa depan dan masa lalu untuk $n$ langkah transisi.

• 4.14.B.1 Hasil kali matriks yang memodelkan transisi antar keadaan dan vektor keadaan yang sesuai dapat memprediksi keadaan masa depan.
• 4.14.B.2 Perkalian berulang matriks yang memodelkan transisi antar keadaan dan vektor keadaan hasil yang sesuai dapat memprediksi keadaan stabil, yaitu distribusi antar keadaan yang tidak berubah dari satu langkah ke langkah berikutnya.
• 4.14.B.3 Hasil kali invers dari matriks yang memodelkan transisi antar keadaan dan vektor keadaan yang sesuai dapat memprediksi keadaan masa lalu.