ערכים מדויקים, גרפים ומשוואות טריגונומטריות

הערכים שצריך לשנן בלב

• ערכי טריגונומטריה מסוימים כה חשובים שצריך אותם ללא מחשבון. הם מגיעים משני משולשים ישרי זווית מיוחדים: ה-$45$-$45$-$90$ וה-$30$-$60$-$90$.

טבלת הערכים המדויקים

גלגל פנורמי: נקודה על הקוטר חורטת עקומת סינוס

גרפים טריגונומטריים

• $y = \sin x$ ו$y = \cos x$ הן גלים מתנודדים בין $-1$ ל$1$.
• $y = \tan x$ חוזר על עצמו כל $180^{\circ}$ יש לו אסימפטורות אנכיות ב$90^{\circ}$ וב$270^{\circ}$.

גרפים טריגונומטריים הם גלים — סינוס וקוסינוס מתנודדים בין $-1$ ל$1$, טנגנס חוזר על עצמו כל $180^{\circ}$.

פתרון משוואות טריגונומטריות

• מצאו את הפתרון הראשון באמצעות הפונקציה ההפוכה.
• השתמשו בסימטריה של הגרף כדי למצוא את השני:
• עבור ערך סינוס חיובי ב-$0^{\circ}\le x<360^{\circ}$, הפתרון השני הוא $180^{\circ}-x$; עבור ערכים שליליים השתמש בגרף החלק התחתון.
• $\cos x = k$: הפתרון השני הוא $360^{\circ} - x$.

שני המשולשים המיוחדים נותנים את הערכים המדויקים: המשולש $45^\circ$ והמשולש $30^\circ$-$60^\circ$

דוגמאות מפורטות

• $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = 60^{\circ}$ או $120^{\circ}$.
• $2\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 120^{\circ}$ או $240^{\circ}$.

ערכים טריגונומטריים שליליים ומשוואות טנגנס

• בפונקציה $0^{\circ}\le x<360^{\circ}$, הערך $\sin x=-1/2$ הוא שלילי מתחת לציר האופקי: $x=210^{\circ},330^{\circ}$. ערך מחושב על ידי מכונה $-30^{\circ}$ יש להחליף בערכו המקביל $330^{\circ}$ בתוך התחום הנדרש.
• הטנגנס חוזר על עצמו כל $180^{\circ}$: $\tan x=1$ נותן $x=45^{\circ},225^{\circ}$ בתחום זה. ב-$0$, $90$, $180$, $270$, $360^{\circ}$ בדוק קצוות ונקודות אי-הגדרה במקום להניח שכל משוואה יש בדיוק שתי פתרונות.

הבנתך מושלמת