משפט פיתגורס
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Pythagoras/paɪˈθæɡərəs/ | משפט פיתגורס |
| right-angled triangle/raɪt ˈæŋɡld ˈtraɪæŋɡl/ | משולש ישר זווית |
| hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/ | יתר |
| Pythagorean triples/ˈpaɪθəɡɔːrɪən ˈtrɪplz/ | משולשים פיthagorean |
החבל שיצר זווית ישרה
- בוני מצרים עתיקים השתמשו בחבל עם 12 קשרים במרחק שווה ליצירת זווית ישרה מושלמת: מתיחתו למשולש עם צלעות 3, 4 ו-5 — הזווית מול הצלע הארוכה ביותר היא תמיד $90^{\circ}$.
- פייתגורס הוכיח למה זה עובד, והמשפט שלו עדיין התוצאה המשתמשת ביותר בכל המתמטיקה.
המשפט
- במשולש ישר-זווית, ריבוע היתר שווה לסכום ריבועי הצלעות האחרות:
- $c$ הוא היתר — הצלע הארוכה ביותר, הנמצאת מול הזווית הישרה.
המשולש הקלאסי 3-4-5: $3^2 + 4^2 = 5^2$. המשפט חל על כל משולש ישר-זווית.
$c$ חייב להיות היתר. הנוסחה $a^2 + b^2 = c^2$ עובדת רק כאשר $c$ היא הצלע מול הזווית הישרה. אם תסמן צלע שגויה כ$c$, תקבל תשובה שגויה.
משפט פיתגורס
a² + b² = c²
הסכום של השטחים על שתי הניצבים תמיד שווה לשטח על היתר.
למשולש ישר-זווית יש שני צדים קצרים בגודל 3 ס"מ ו-4 ס"מ. מצאו את אורך היתר (ס"מ).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
√(3² + 4²) = √25 = 5 ס"מ.
היתר במשולש ישר-זווית הוא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
היתר הוא הצד הארוך ביותר והוא מול זווית הגודל 90°.
במשפט פיתגורס, a² + b² = c², הצד c חייב להיות ה______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
c חייב להיות תמיד היתר (הצד הנמצא מול הזווית הישרה).
מציאת צלע חסרה
- מציאת היתר: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ (להוסיף ולקחת שורש).
- מציאת צלע קצרה: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ (לחסר ולקחת שורש).
יתר $13$, צלע קצרה $5$: $b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.
פיטגורס כשטחים: הריבועים על שתי הצלעות הקצרות ($9+16$) מתחברים לריבוע על היתר ($25$)
אורך היתר הוא 13 ס"מ ואחד הצדים הקצרים הוא 5 ס"מ. מצאו את אורך הצד הקצר האחר (ס"מ).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
√(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 ס"מ.
למשולש ישר-זווית יש יתר בגודל 10 ס"מ ואחד הצדים הקצרים הוא 6 ס"מ. מצאו את אורך הצד הקצר האחר (ס"מ).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
√(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8 ס"מ.
משולשי פיטגורס חשובים לדעת
- $3, 4, 5$ — המשולש הקטן ביותר.
- $5, 12, 13$ — הבא הנפוץ ביותר.
- כפולים גם עובדים: $6, 8, 10$ ו$9, 12, 15$ הם גם כן ישרי-זווית.
- זיהוי משולש חוסך זמן חישוב במבחנים.
למשולש עם צדדים 6, 8, 10 יש זווית ישרה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10². זהו כפולה של משולש 3-4-5.
הבנתך מושלמת
- $a^2 + b^2 = c^2$, כאשר $c$ הוא היתר (מול הזווית הישרה)
- למציאת צלע קצרה, חסר: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$
- $3$-$4$-$5$ ו-$5$-$12$-$13$ שווה לשמור בזיכרון