קווים מקבילים וניצבים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| parallel/ˈpærəlel/ | מקביל |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | ניצב |
| negative reciprocal/ˈneɡətɪv rɪˈsɪprəkl/ | הופך שלילי |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | אנכי אמצעי |
מסילות רכבת ורשתות ערים
- מסילות רכבת נעות במקביל — אותה מדרגה, מעולם לא נפגשות, מתמשכות עד לאופק.
- רחובות בעיר מתוכננת כמו ניו יורק או ברצלונה נחתכים ב-זוויות ישרות, ויוצרים רשת.
- שתי הרעיונות הללו — מקביל ואנכי — נובעות מדבר אחד: ה-מדרגה.
ישרים מקבילים
- ישרים מקבילים לעולם לא נפגשים, ללא תלות בכמה תרחיבו אותם.
- קווים ישרים שאינם אנכיים והם נפרדים מקבילים כאשר יש להם את אותו שיפוע. קווים אנכיים גם הם מקבילים, אך אין להם שיפוע מוגדר.
- $y = 4x - 1$ ו-$y = 4x + 7$ הם מקבילים (שניהם יש להם $m = 4$).
מצאו ישר מקביל. הישר המקביל ל-$y = 4x - 1$ העובר דרך נקודה $(1, -3)$: אותו מדרגה $4$, ולכן $-3 = 4(1) + c \Rightarrow c = -7$. המשוואה היא $y = 4x - 7$.
ישרים מקבילים משתפים מדרגה; מדרגות אנכיות מכפלות ל-$-1$
מקבילים וניצבים
y = ax + b
קווים מקביליםpartage相同的 slope; שיפועים ניצבים מכפלתם היא −1.
קו מקביל ל-y = 4x − 1 ועובר דרך (1, −3). ב-y = 4x + c, מהי הערך של c?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מקביל → אותו שיפוע 4. −3 = 4(1) + c, ולכן c = −7.
איזה ישר מקביל ל-y = −2x + 5?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ישרים מקבילים בעלים על אותו שיפוע. ל-y = −2x − 3 יש שיפוע −2, זהה לשיפוע של y = −2x + 5.
קווים מאונכים (הרחבה)
- שני קווים מאונכים זה לזה אם הם נחתכים בזווית ישרה ($90°$).
- מכפלת השיפועים שלהם היא $-1$:
- במילים: הפוך את השבר ושינה את הסימן (ההופך השלילי).
- שיפוע $\dfrac{3}{2}$ → שיפוע מאונך $-\dfrac{2}{3}$.
מקבילים (תכלת): אותו שיפוע. מאונכים (ורוד + סגול): מכפלת השיפועים היא $-1$.
לקו יש שיפוע 3/2. מהו השיפוע של קו ניצב אליו?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפוך והחלף סימן: שיפוע ניצב = −1 ÷ (3/2) = −2/3.
שני קווים ניצבים בעלי שיפועים שמכפלתם היא −1.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
m₁ × m₂ = −1 היא התכונה המגדירה של שיפועים ניצבים.
אם שני קווים ניצבים, אזי m₁ × m₂ = ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מכפלת השיפועים של קווים מאונכים תמיד היא −1.
דוגמה מפורטת — קו מאונך
- מצאו את הקו המאונך ל-$y = 2x + 3$ העובר דרך $(4, 1)$.
- השיפוע המקורי הוא $m_1 = 2$, ולכן השיפוע המאונך הוא $m_2 = -\dfrac{1}{2}$.
- ביצעו הצבה: $1 = -\dfrac{1}{2}(4) + c \Rightarrow 1 = -2 + c \Rightarrow c = 3$.
- המשוואה של הקו המאונך היא $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$.
אל תשכחו את שני השלבים. השיפוע המאונך הוא הפיכה AND שינוי סימן. שיפוע $3$ → מאונך $-\dfrac{1}{3}$ (לא $\dfrac{1}{3}$, שהוא רק ההופך האריתמטי).
לישר יש שיפוע 5. מהו השיפוע של ישר מאונך אליו?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שיפוע מאונך = −1/5 = −0.2.
חוצה מאונך (הרחבה)
- ה-חוצה המאונך של קטע חותך אותו למחצית בזווית ישרה.
- שיטה (שלושה שלבים):
- 1. מצאו את אמצע הקטע.
- 2. מצאו את השיפוע המאונך ($-\dfrac{1}{m}$).
- 3. השתמשו בשיפוע המאונך ובאמצע כדי לכתוב את המשוואה.
התאם כל זוג שיפועים (m₁, m₂) לקשר בין הישרים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2/3 × (−3/2) = −1 → מאונך. 4 = 4 → מקביל. 1 × (−1) = −1 → מאונך. 5 × (−5) = −25 ≠ −1 ו-5 ≠ −5 → לא אף אחד מהם.
סדר את השלבים למציאת האנך המוצע לנקודות (0, 0) ו-(6, 2).
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
תחילה מצאו את נקודת האמצע, לאחר מכן את שיפוע הקטע, ואז הפכו ושנו את הסימן עבור השיפוע המאונך, לבסוף הצביעו בנוסחת y = mx + c.
מתכנני ערים וכללי שיפועים
- הרשת העירונית של מנהטן תוכננה בשנת 1811 עם שדרות הנעות בציר הצפון-דרום ורחובות בציר המזרח-מערב — כולם מאונכים זה לזה.
- לעומת זאת, ערים אירופאיות ישנות כוללות רחובות הנפגשים בכל זווית — ללא כלל שיפוע כלשהו.
- מהנדסים משתמשים בשיפועים מאונכים כדי לתכנן צמתים, מעברי מסילה ובסיסי מבנים.
הבנתך מושלמת
- מקביל → אותו שיפוע ($m_1 = m_2$)
- מאונך → מכפלת השיפועים שווה ל-$-1$ ($m_2 = -\dfrac{1}{m_1}$, "הפוך ושנה סימן")
- אנך למחצית = אנך עם שיפוע מתאים העובר דרך אמצע הקטע
- מקביל ל-$y = 4x - 1$ העובר דרך $(1, -3)$ → $y = 4x - 7$