גרפים של פונקציות ושרטוט עקומים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| function/ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה |
| parabola/pəˈræbələ/ | פרבולה |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | הופך |
| roots/ruːts/ | שורשים |
| intersection/ˌɪntəˈsekʃn/ | חיתוך |
| asymptotes/ˈæsɪmptəʊts/ | אסימפטות |
| turning point/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnt/ | נקודת שינוי |
צורת פונקציה
- לכל פונקציה יש צורה אופיינית, כמו חותמת אצבע. פונקציה ליניארית היא קו ישר; ריבועית היא פרבולה; הפוכה יש לה שני ענפים לעולם אינם נוגעים בצירים.
- זיהוי הצורה מאפשר לך לשרטט גרף בשניות — מבלי לפנות נקודות רבות.
הוראה וקריאה בגרפים
- צור טבלת ערכים: בחר ערכי $x$, חשב ערכי $y$, פנה את הקואורדינטות, חבר בעקומה חלקה.
- שורשים הם הנקודות בהן הגרף חוצה את ציר ה-$x$ (פתרונות המשוואה $y = 0$).
- נקודת החיתוך של שני גרפים פותרת את שתי המשוואות בו-זמנית.
כבל גשר תלוי תלוי בצורה פרבולה, עקומה ריבועית
שרטוט עקומים
y = ax³ + bx² + cx + d
שרטטו עקום על בסיס נקודות הקיצון שלו ובנקודות בהן הוא חותך את הצירים.
השורשים של גרף הם הנקודות שבהן:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
השורשים הם ערכי ה-x שבהם y = 0 — הנקודות שבהן העקום פוגע בציר ה-x.
שלוש משפחות של עקומות
שלוש משפחות כל מתמטיקאי צריך להכיר: קו, פרבולה, היפוכית.
| פונקציה | צורה | מאפיינים מפתחים |
|---|---|---|
| $y = mx + c$ | קו ישר | שיפוע $m$, חיתוך $c$ |
| $y = ax^2 + bx + c$ | פרבולה | U אם $a > 0$, ∩ אם $a < 0$ |
| $y = \dfrac{a}{x}$ | היפוכית | שני ענפים, אסימפטות על הצירים |
כיוון הפרבולה. $y = x^2 - 4$ נפתחת כלפי מעלה (צורת U) מכיוון שמקדם ה-$x^2$ חיובי. $y = -x^2 + 4$ נפתחת כלפי מטה (צורת ∩).
הגרף של y = ax² + bx + c (כאשר a > 0) הוא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ערך חיובי של a נותן פרבולה בצורת U; ערך שלילי של a נותן צורה ∩.
הגרף של y = −x² + 4 פונה כלפי מעלה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המקדם של x² הוא שלילי (−1), ולכן הפרבולה פונה כלפי מטה (צורת ∩).
לגרף של y = a/x יש שני ענפים שאינו מגעים לעולם לצירים. ישרים אלו נקראים ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אסימפטוטות הן ישרים שהעקומה מתקרבת אליהם אך לעולם אינה נוגעת בהם. עבור y = a/x, הצירים הם אסימפטוטות.
נקודות קיצון (מתחשב)
- לפרבולה יש נקודת קיצון אחת (קודקוד) — מינימום או מקסימום.
- השלמה לריבוע חושפת אותה ישירות:
- ל-$y = (x + p)^2 + q$ יש נקודת קיצון ב-$(-p,\; q)$.
- דוגמה: ל-$y = (x + 3)^2 - 8$ → נקודת קיצון $(-3, -8)$.
הפיכת סימנים. ב-$(x + 3)^2 - 8$, נקודת הקיצון היא $(-3, -8)$ — הקואורדינטה ב-$x$ היא בעלת סימן הפוך מהשומר בתוך הסוגריים.
השלמה לריבוע, ב-$y=(x+3)^2-8$, מראה את נקודת הקיצון $(-3,-8)$ ואת קו הסימטריה $x=-3$
חמישה צורות גרף בסיסיות; הכרת כל צורה מאפשרת לגרף במהירות מהמשוואה
לעקומה y = (x + 3)² − 8 יש נקודת קיצון ב-(−3, q). מהו הערך של q?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
צורת הריבוע המלא (x+p)² + q כוללת נקודת קיצון ב-(−p, q), ולכן q = −8.
שימוש בגרפים לפתרון משוואות
- במיקום שבו קו ועקומה נחתכים, שתי המשוואות מתקיימות.
- פתרון משוואה $x^2 - 4 = 2x + 1$ גרפית: צייר $y = x^2 - 4$ ו-$y = 2x + 1$, קרא את ערכי החיתוך $x$.
הישר y = x + 2 חוצה את העקומה y = x² בשתי נקודות. אחת מהן היא x = 2. מהו הערך האחר של x?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
x² = x + 2 → x² − x − 2 = 0 → (x−2)(x+1) = 0 → x = 2 או x = −1.
פתרון שאלת גרף באופן מלא
- עבור $y=x^2-2$, חשב $y=2,-1,-2,-1,2$ ב-$x=-2,-1,0,1,2$ וצייר עקומה חלקה סימטרית. צייר $y=2$ עם סרגל; החיתוכים נותנים את הפתרונות $x=-2,2$ ל-$x^2-2=2$.
- עבור $y=6/x$, השתמש בקלטות חיוביות ושליליות, אך לעולם לא ב-$x=0$. נקודות $(2,3),(3,2),(-2,-3),(-3,-2)$ נמצאות על ענפים נפרדים. טיוטות ליבה של ריבועיות דורשות שורשים וסימטריה, ולא נקודות קיצון.
מהי הפתרון החיובי שנקבע כאשר y = x² − 2 נפגש עם y = 2?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
צירוף הצד ימני הוא (2,2), ולכן x = 2.
גרפים קוביים ואקספוננציאליים מורחבים
- עבור $y=x^3-1$, הטבלה בשלמים ב-$x=-2,-1,0,1,2$ היא $-9,-2,-1,0,7$. צייר עקומה S-חלקה ועולה; השורש הוא 1 והמחצית ב-$y$ היא $-1$.
- עבור $y=2^x+1$, הטבלה ב-$x=-1,0,1,2,3$ היא $1.5,2,3,5,9$. העקומה מתקרבת למשיק אופקי ב-$y=1$ בצד שמאל ועולה בצד ימין; היא אינה נוגעת במשיק.
עבור y = 2ˣ + 1, מצאו את ערך y ב-x = 3.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2³ + 1 = 9.
הפוכים מוזזים וחזקות שבריות (מורחב)
- ל-$y=2/x+3$ יש אסימפטורה אנכית $x=0$ ואסימפטורה אופקית $y=3$. הזזו את שני הענפים של $2/x$ כלפי מעלה ב-3; אל תחברו ביניהם דרך אפס.
- עבור $y=\sqrt{x}$ השתמש ב-$x\ge0$ ובנקודות $(0,0),(1,1),(4,2),(9,3)$. עבור $y=1/\sqrt{x}$ השתמש ב-$x>0$ ובנקודות $(1,1),(4,1/2),(9,1/3)$. עבור $y=1/x^2$, קלטות חיוביות ושליליות נותנות תוצאות חיוביות, עם סימטריות סביב ציר ה-$y$.
עבור y = 2/x + 3, תנו את ערך y בנקודת החיתוך האופקית.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
האיבר 2/x שואף ל-0 ככל שה-|x| גדל, ולכן הנקודה האופקית היא y = 3.
הבנתך מושלמת
- שורשים $=$ בהם העקומה חוצה את ציר ה-$x$; חיתוך פותר שתי משוואות
- פרבולה היא פרבולה (U אם $a > 0$, ∩ אם $a < 0$)
- נקודת הקיצון של $(x+p)^2 + q$ היא $(-p,\; q)$
- לעקומות הפוכות יש אסימפטות שהן לעולם אינן מגיעות אליהן