שורשים רדיקליים (Surd)

המספר שהשבית את היוונים

• האלכסון של ריבוע יחיד הוא $\sqrt{2} \approx 1.41421356\dots$ — הספרות לעולם אינן חוזרות ולעולם אינן נגמרות.
• אין שבר ששווה לו בדיוק. לכן קוראים לו שורש פתוח: שורש אי-רציונלי שנשארת בצורה המדויקת שלה.

מהו שורש פתוח?

• שורש פתוח הוא שורש שאינו יכול להיות מצומצם למספר רציונלי.
• $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt[3]{10}$ הם שורשים פתוחים — הם אי-רציונליים.
• $\sqrt{4} = 2$ ו$\sqrt[3]{27} = 3$ אינם שורשים פתוחים — הם מצומצמים למספרים שלמים.

שורשים פתוחים נובעים מאלכסונים: ריבוע $1 \times 1$ יש לו אלכסון $\sqrt{2}$; ריבוע $2 \times 2$ יש לו אלכסון $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

כללי שורשים פתוחים

• $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ — לשלב תחת שורש אחד.
• $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ — לחלק תחת שורש אחד.
• להקל על ידי הוצאת הגורם המרובע המושלם הגדול ביותר:

ביטול שורש במכנה

• שבר עם שורש פתוח במכנה אינו בצורה הפשוטה ביותר.
• כפול את המונה והמכנה בשורש כדי להסיר אותו מהמכנה:

מדוע לשמור על שורשים במדויק?

• $\sqrt{2} \approx 1.414$ היא הערכה; $\sqrt{2}$ היא מדויקת.
• בהנדסה ובפיזיקה, עיגול מוקדם מוביל לצבירת שגיאות — שמירה על שורשים לא רציונליים (surds) שומרת על דיוק בחישובים ארוכים.

כמו שורשים ואי-רציונליים ומכנים דו-איבריים

• פשוטו כל שורש תחילה: $\sqrt{200}-\sqrt{32}=10\sqrt2-4\sqrt2=6\sqrt2$. איחד רק חלקים שורשיים זהים.
• עבור $1/(\sqrt3-1)$ כפול בליווי ההתאמה (הקונג'וגט) $\sqrt3+1$: המכנה הוא $(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)=3-1=2$. לכן התוצאה היא $(\sqrt3+1)/2$; השבר הכופל שווה ל1.

הבנתך מושלמת