קואורדינטות קוטביות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | מערכת קואורדינטות קוטבית |
| radians/ˈreɪdɪənz/ | רדיאנים |
| polar grid/ˈpəʊlə ɡrɪd/ | רשת קואורדינטות קוטבית |
אופן אחר לומר "איפה"
- בדרך כלל אנו ממוקמים נקודה באמצעות "לכו ימינה $x$, לכו למעלה $y$" — קואורדינטות רקטangularיות (קרטזיות).
- אך מסך רדאר או מצפן חושבים אחרת: "כמה רחוק, ובאיזה כיוון?"
- זוהי הדרך הקוטבית: מרחק וזווית.
- לכל דבר שמסתובב או פולט, קואורדינטות קוטביות הן טבעיות הרבה יותר.
נקודה כ-(r, θ)
- קואורדינטות קוטביות מתייחסות לנקודה באמצעות $(r, \theta)$.
- $r$ הוא המרחק מהמקור (הקוטב); $\theta$ היא הזווית מהציר ה-x החיובי.
- הזווית נמדדת ברדיאנים (או מעלות), נגד כיוון השעון.
- לכן $(2, \tfrac{\pi}{4})$ פירושו "לכו החוצה $2$ יחידות בכיוון של $45°$".
ברקואורדינטות קוטביות $(r, \theta)$, שני המספרים מעניקים…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קואורדינטות קוטביות משתמשות ב$r$ (מרחק ממקור הצירים) וב$\theta$ (זווית), בניגוד ל$(x, y)$ של קואורדינטות רטובליות.
הרשת הקוטבית
- רשת קוטבית היא סדרה של מעגלים קונצנטריים (קבוע $r$) וקווים רדיאליים (קבוע $\theta$).
- קריאת נקודה היא פשוטה: מצאו את המעגל שלה, ולאחר מכן את הקו הרדיאלי שלה.
- המקור הוא $r = 0$, המרכז היחיד של כל המעגלים.
- רשת זו מחליפה את נייר הגרף המלבני המוכר של מערכת הצירים הקרטזית.
מיקום נקודה על בסיס רדיוס וזווית
הגדר את הזווית והרדיוס כדי למקם נקודה. קואורדינטות קוטביות (r, theta) מתארות מיקום על ידי כיוון ומרחק.
כדי להמיר $(r, \theta)$ לקואורדינטות מלבניות $(x, y)$, השתמש ב…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
היחס במעגל היחידה מתרחב פי $r$: $x = r\cos\theta$ ו$y = r\sin\theta$.
נקודה בעלת $r = 2$ ו$\theta = 0$. מהי הקואורדינטה שלה ב$x$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$x = r\cos\theta = 2\cos 0 = 2 \cdot 1 = 2$; ו$y = 2\sin 0 = 0$.
בחרו את כל האמיתות הנכונות לגבי קואורדינטות קוטביות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
צורות קוטביות אינן יחידות — מספר $(r, \theta)$ יכולים לתאר את אותה נקודה. השלוש האחרים הם נכונים.
המרה בין מערכות
- מקוטב לקרטזי: $x = r\cos\theta$ ו$y = r\sin\theta$.
- מקרטזי למקוטב: $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ ו$\theta = \arctan\!\tfrac{y}{x}$ (שימו לב לרביע).
- אלו נובעים ישירות מההגדרות על מעגל היחידה, בקנה מידה של $r$.
- עברו למערכת שיוקלת את הפתרון.
לאותה נקודה יכול להיות יותר מאחד סט של קואורדינטות קוטביות (למשל, בהוספת $2\pi$ לזווית).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הוספת סיבוב מלא ל$\theta$ מובילה לאותה נקודה, ולכן קואורדינטות קוטב אינן יחידות.
לא כתובת יחידה
- בניגוד ל$(x, y)$, נקודה מקוטבת יש מספר שמות.
- הוספת $2\pi$ ל$\theta$ מובילה בדיוק אותה נקודה.
- וקטור שלילי $r$ מצביע בכיוון הפוך, ומספק שם נוסף.
- לכן $(2, 0)$, $(2, 2\pi)$ ו$(-2, \pi)$ הם כולם אותה נקודה.
קואורדינטות קוטביות אינן יחידות: לנקודה אחת יש אינסוף שמות $(r, \theta)$. בעת המרה או פתרון, הקפד על הרבע והיזכר כי $\arctan$ לבדו עלול להוביל אותך לצד הלא נכון במישור.
המירו את הנקודה המקוטבת $(4, \tfrac{\pi}{2})$ לקואורדינטות קרטזיות.
- $x = r\cos\theta = 4\cos\tfrac{\pi}{2} = 4 \cdot 0 = 0$.
- $y = r\sin\theta = 4\sin\tfrac{\pi}{2} = 4 \cdot 1 = 4$.
- לכן הנקודה היא $(0, 4)$ — ישר למעלה על ציר ה-y.
קואורדינטות קוטביות ממוקמות נקודה כ-$(r, \theta)$: מרחק $r$ מהראשית בזווית $\theta$, מצוירות על רשת קוטבית. ניתן להמיר בין מערכות הקואורדינטות באמצעות $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$. שמות בקואורדינטות קוטביות אינם חד-משמעיים — הוספת סיבוב מלא מניבה את אותה נקודה.