מודל מתמטי באמצעות פונקציות מעריכיות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| exponential model/ˌekspəˈnenʃl ˈmɒdl/ | מודל אקספוננציאלי |
| initial value/ɪˈnɪʃl ˈvæljuː/ | ערך התחלתי |
| exponential regression/ˌekspəˈnenʃl rɪˈɡreʃn/ | רגרסיה אקספוננציאלית |
| growth factor/ɡrəʊθ ˈfæktə/ | גורם גידול |
| decay factor/dɪˈkeɪ ˈfæktə/ | גורם דעכה |
התאמת צמיחה לנתונים אמיתיים
- מושבת חיידקים, חשבון חיסכון, סרטון ויראלי — כולם גדלים בגורם קבוע.
- בהינתן מספר מדידות, אנו רוצים את הכלל המדויק $y = a\,b^x$ שמתאים להם.
- אז נוכל לחזות לעתיד ולפרש את קצב הצמיחה.
- זוהי דגם אקספוננציאלי: מהנתונים לנוסחה ולתחזית.
בניית הדגם מהנתונים
- לדגם אקספוננציאלי יש הצורה $y = a\,b^x$, בדיו כמו לכל פונקציה אקספוננציאלית.
- הערך ההתחלתי $a$ הוא הכמות ב$x = 0$ — קרא אותו ישירות מהנתונים.
- הבסיס $b$ הוא המכפיל בכל צעד — מצאו אותו על ידי חלוקת תוצאות רצופות.
- שני נקודות נתונים מספיק כדי לקבע גם את $a$ וגם את $b$.
לבניית $y = a\,b^x$ מהנתונים, המקדם $a$ הוא הערך כאשר…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ב-$x = 0$, $b^0 = 1$, ולכן $y = a$: המקדם הוא הערך ההתחלתי.
רגרסיה מוצאת את ההתאמה הטובה ביותר
- עם הרבה נקודות רועשות, השתמשו בטכנולוגיה כדי לבצע ריגרסיה אקספוננציאלית.
- היא ממצאת את $a$ ו$b$ שהק curve שלהם קרוב ביותר לכל הנתונים בו-זמנית.
- אין נקודה שנופלת בדיוק עליה, אך המגמה מתוארת.
- התוצאה היא כלל מוכן לשימוש $y = a\,b^x$.
כוונון גורם הגידול להתאמה עם הנתונים
y = a·bˣ
שנו את a (הערך ההתחלתי) ואת b (גורם הגידול) עד שהעקומה עוברת דרך נקודות הנתונים.
גורם צמיחה וגורם ירידה
- אם הבסיס $b > 1$, זהו גורם צמיחה: $b = 1.2$ פירושו $+20\%$ בכל צעד.
- אם $0 < b < 1$, זהו גורם ירידה: $b = 0.85$ פירושו $-15\%$ בכל צעד.
- המרת אחוז לגורם: צמיחה $\to 1 + r$, דעיכה $\to 1 - r$.
- קריאת הגורם חושפת את הסיפור של השינוי.
אם כמות גדלה ב-$20\%$ בכל תקופה, גורם הגידול ____ (הבסיס $b$) הוא $1.2$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גידול ב-$20\%$ מכפיל ב-$1 + 0.20 = 1.2$ — מכפיל זה הוא גורם הגידול.
כמות שמפסידה ב-$15\%$ בכל תקופה יש לה גורם ירידה (בסיס) של…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפסד ב-$15\%$ משאיר $85\%$, ולכן מכפילים ב-$1 - 0.15 = 0.85$ בכל תקופה — גורם הירידה.
תחזית בתוך גבולות
- הצבת קלט בדגם כדי לחזות פלט.
- בחירת תחום הגדרה סביר: זמן שלילי או תוצאות מוגזמות מדי אינן בעלות משמעות.
- צמיחה אקספוננציאלית לא יכולה להימשך לנצח — המשאבים, המקום או הכסף ייגמו.
- דגם טוב כולל הערה על איפה הוא מפסיק להיות אמין.
מושבה פועלת לפי $P = 100 \cdot 2^{\,t}$ (עם $t$ בשעות). מהי $P$ ב-$t = 3$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$P = 100 \cdot 2^3 = 100 \cdot 8 = 800$. הצביעו את הקלט במודל כדי לבצע תחזית.
בחרו את כל הטענות הנכונות לגבי מודלים מעריכיים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
צמיחה אקספוננציאלית המופרצלת מדי הופכת לא ריאלית (כלום צומח לנצח). השלוש האחרות נכונות.
צמיחה אקספוננציאלית בלתי מוגבלת היא חלום. דגם שאומר שאלגות באגם מכפילות את עצמן כל יום יחזיט בקרוב יותר אלגות מאשר אטומים בכדור הארץ. כל צמיחה אקספוננציאלית אמיתית לבסוף תאטה — הסתמכו על הדגם רק בטווח בו ההנחות שלו תקפות.
דוגמא של $100$ תאים משלשת כל שעה: $P = 100 \cdot 3^{\,t}$.
- ערך התחלתי $a = 100$; גורם צמיחה $b = 3$ (שילוש).
- לאחר $2$ שעות: $P = 100 \cdot 3^2 = 900$ תאים.
- תחום הגדרה סביר: רק בזמן שקיים חומרים מזינים — אולי השעות הראשונות מספר.
דגם אקספוננציאלי $y = a\,b^x$ בעל ערך התחלתי $a$ ובסיס שהוא גורם צמיחה ($b>1$) או גורם דעיכה ($0<b<1$). מצאו אותו משני נקודות או מריגרסיה אקספוננציאלית, ולאחר מכן חזו בתוך תחום הגדרה סביר — לעולם אל תניחו שהצמיחה ממשיכה לנצח.