משתנים מקריים רציפים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| continuous random variable/kənˈtɪnjuːəs ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | משתנה אקראי רציף |
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | פונקציית צפיפות הסתברות |
| area/ˈeərɪə/ | שטח |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | פונקציית התפלגות מצטברת |
העקומה שמציגה הסתברויות
- משתנה מקרי רציף יכול לקבל כל ערך בטווח – כמו הזמן המדויק שהאוטובוס מגיע, או הגובה המדויק של אדם.
- בניגוד למשתנים בדידים, אין לספור הסברויות לכל ערך. במקום זאת, פונקציית צפיפות הסתברות (pdf) מתארת את הצורה, וההסתברויות הן שטחים מתחת לעקומה.
פונקציית צפיפות ההסתברות
- משתנה מקרי רציף יכול לקבל כל ערך בטווח, המתואר על ידי פונקציית צפיפות הסתברות $f(x)$:
דוגמה מופעלת. $f(x) = \dfrac{x}{8}$ עבור $0 \leq x \leq 4$, אחרת אפס. בדיקה: $\int_0^4 \dfrac{x}{8}\,dx = \left[\dfrac{x^2}{16}\right]_0^4 = \dfrac{16}{16} = 1$. ✓
$f(x)$ אינו הסתברות. הערך של $f(x)$ בנקודה מסוימת יכול להיות גדול מ-1. רק ה-שטח מתחת לעקומה בין שתי נקודות נותן הסתברות.
למשתנה רציף, ההסתברות היא השטח מתחת לפונקציית הצפיפות f(x)
שטח = הסתברות
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
עבור משתנה רציף, הסתברות היא שטח מתחת לעקומת הצפיפות בין שני ערכים.
פונקציית צפיפות ההסתברות חייבת לקיים ∫f(x)dx לכל x שווה לערך מה?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
השטח הכולל מתחת לפונקציית צפיפות הוא תמיד 1.
ערך ה-f(x) בנקודה הוא ההסתברות ש-X שווה לערך זה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
f(x) היא צפיפות ולא הסתברות. רק השטח מתחת ל-f נותן הסתברות. גם ערך של f(x) יכול לעלות על 1.
עבור f(x) = x/8 בטווח 0 ≤ x ≤ 4, הוכיחו כי ∫₀⁴ (x/8) dx = [x²/16]₀⁴. מה התוצאה?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
[x²/16]₀⁴ = 16/16 − 0 = 1. השטח הכולל הוא 1, מה שמאשר כי זהו פונקציית צפיפות סבירות תקינה.
מציאת הסתברויות
- הסתברות היא שטח מתחת ל$f$: $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
הסתברויות הן שטחים מתחת ל-f(x); השטח הכולל עבור כל x חייב להיות שווה ל-1.
עבור משתנה רציף, P(a < X < b) הוא השטח מתחת ל-f(x) בין a לבין b.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הסתברויות עבור משתנה רציף הן שטחים מתחת לפונקציית הצפיפות.
מציאת הממוצע והסטייה התקנית
- הממוצע הוא $E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx$.
- השונות היא $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$, כאשר $E(X^2) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x^2\,f(x)\,dx$.
עבור f(x) = ½x בטווח 0 ≤ x ≤ 2, E(X) = ∫₀² x(½x) dx = [x³/6]₀². מהו E(X)? (≈, 2 ספרות אחרי הנקודה)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
E(X) = ∫₀² ½x² dx = [x³/6]₀² = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33.
פונקציית ההתפלגות המצטברת
- פונקציית ההתפלגות המצטברת cdf $F(x) = P(X \leq x) = \displaystyle\int_{-\infty}^x f(t)\,dt$.
- $F(x)$ הוא השטח מתחת ל$f$ עד $x$. היא תמיד עולה מ-0 ל-1.
- השתמש בפונקציית הצפיפות כדי למצוא את המדiane ואת אחוזים אחרים.
פונקציית ההתפלגות הצוברית F(x) נותנת:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
F(x) = P(X ≤ x) = השטח מתחת ל-f עד x.
הבנתך מושלמת
- פונקציית צפיפות pdf יש לה $f(x) \geq 0$ ושטח כולל $\int f = 1$
- הסתברות היא השטח מתחת ל$f$ בין הגבולות
- הממוצע $E(X) = \int x\,f(x)\,dx$