החלוקה הנורמלית
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | התפלגות נורמלית |
| continuous variable/kənˈtɪnjuːəs ˈveərɪəbl/ | משתנה רציף |
| standardize/ˈstændədaɪz/ | סטנדרטיזציה |
| approximate/əˈprɒksɪmət/ | קירוב |
| continuity correction/kɒntɪˈnjuːɪti kəˈrekʃn/ | תיקון רציפות |
העקום שמשלט בעולם
- גבהים, ציוני IQ, טעויות מדידה, תוצאות מבחנים — כולם עוקבים אחרי אותו עקום סימטרי בצורת פעמון.
- החלוקה הנורמלית היא החלוקה החשובה ביותר בסטטיסטיקה. תשלט בה ותוכל לדגם כמעט כל משתנה רציף.
החלוקה הנורמלית
- החלוקה הנורמלית מדגמת משתנה רציף בעל צורת פעמון סימטרית: $X \sim N(\mu, \sigma^2)$.
- הממוצע $\mu$ קובע את המרכז; סטיית התקן $\sigma$ קובעת את התפוצות.
כלל ה-68-95-99.7. כ-68% מהערכים נמצאים בתוך 1 סטיית תקן מהמוצע, 95% בתוך 2, וכ-99.7% בתוך 3.
עקום הנורמלי הוא סימטרי לגבי הממוצע; כ-68% מהשטח נמצא בתוך סטיית תקן אחת.
עקומת הנורמל
P(Z < z)
השטח מתחת לעקומת הפעמון עד לנקודה z הוא ה-סתברות P(Z < z) — הזז את z כדי לקרוא אותה מהטבלה.
עקומת החלוקה הנורמלית היא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זוהי עקומת פעמון סימטרית הממוקמת במרכז הממוצע μ.
כמה באחוזים בערך הערכים נמצאים בתוך 1 סטיית תקן מהממוצע?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כלל ה-68-95-99.7: ~68% בתוך 1σ, ~95% בתוך 2σ, ~99.7% בתוך 3σ.
השלימו את נוסחת הסטנדרטיזציה: Z = (X − μ) / ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Z = (X − μ)/σ ממיר כל משתנה נורמלי לנורמל סטנדרטי N(0, 1).
סטנדרטיזציה
- כדי להשתמש בטבלאות, יש לסטנדרטיזר ל$Z \sim N(0, 1)$:
- אז $P(X < x) = P\!\left(Z < \dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$, קריאה מטבלת $\Phi$.
לוח גלטון: כדורים נופלים דרך שורות פסיגים ועורמים לצורה בצורת פעמון של החלוקה הנורמלית
X ~ N(50, 4) פירושו μ = 50, σ = 2. סטנדרטיזציה של x = 56: מהי Z = (x − μ)/σ?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Z = (56 − 50)/2 = 6/2 = 3.
X ~ N(100, 25) פירושו μ = 100, σ = 5. סטנדרטיזציה של x = 90: Z = (90 − 100)/5. מצאו את Z.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Z = (90 − 100)/5 = −10/5 = −2.
דוגמה מפורשת
- $X \sim N(50, 16)$ (כך ש$\mu = 50$, $\sigma = 4$). מצאו את $P(X < 58)$.
- $Z = \dfrac{58 - 50}{4} = 2$.
- $P(Z < 2) = \Phi(2) = 0.9772$.
סטנדרטיזרו לפני השימוש בטבלאות. טבלת ה$\Phi$ עובדת רק עבור ה$Z \sim N(0, 1)$. עליכם להמיר את ה$X$ ל$Z$ תחילה באמצעות $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.
לוח גלטון מייצר את החלוקה הנורמלית בצורת פעמון
אם Z = 2, אז Φ(2) = 0.9772. מהי P(Z < 2) (עד 4 מקומות עשרוניים)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
P(Z < 2) = Φ(2) = 0.9772 לפי טבלת הנורמל הסטנדרטי.
קירוב הבינומי
- עבור ערכים גדולים של $n$, החלוקה הנורמלית מקרבת את הבינומית: $B(n, p) \approx N(np, np(1-p))$.
- מכיוון שאתה מחליף משתנה דיסקרטי באחד רציף, יש ליישם תיקון רציפות (התאמה של 0.5).
עבור n גדול, העמודיות הבינומיאליות עוקבות אחר עקומת הנורמל החלקה N(np, np(1−p))
התפלגות בינומיאלית B(10, 0.3); הממוצע שלה הוא np = 3
- הנורמל מדגם משתנה מקרי רציף; השתמש בסטנדרטיזציה $Z=(X-\mu)/\sigma$, ובכך גם כקירוב להתפלגות הבינומיאלית.
כאשר החלוקה הנורמלית משמשת להקריבה למשפחה דו-מונחאית, מיושמת תיקון רציפות של 0.5.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
החלפת משתנה דיסקרטי במשתנה רציף דורשת תיקון רציפות של ±0.5.
הבנתך מושלמת
- $X \sim N(\mu, \sigma^2)$; סטנדרטיזציה עם $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$
- קרא את ההסתברויות כשטחים מהטבלה $\Phi$ עבור $Z \sim N(0,1)$
- הנורמלי מקרבת את הבינומי עבור $n$ גדול (שתמש ב-תיקון רציפות)