הסתברות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | בלתי תלוי |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | באי-התאמה הדדית |
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | הסתברות מותנעת |
| tree diagram/triː ˈdaɪəɡræm/ | תרשים עץ |
| without replacement/wɪˈðaʊt rɪˈpleɪsmənt/ | ללא החזרה |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | תרשים ון |
| two-way table/tuː weɪ ˈteɪbl/ | טבלה דו-כיוונית |
פרדוקס יום ההולדת
- בחדר של רק 23 אנשים, יש סיכוי גדול מ-50% שאישהם יחלקו את אותו תאריך יום הולדת.
- הסיכוי הוא נגד האינטואיציה. הכללים פשוטים, אך התוצאות עשויות להפתיע.
שילוב סיכויים
- חיבור ("או"): $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
- כפל ("וגם", אם עצמאים): $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$.
- אירועים בלתי תואמים לא יכולים לקרות בו-זמנית; אירועים עצמאיים אינם משפיעים זה על זה.
דוגמה מפורטת. P(גשם) = 0.3, P(אוטובוס מאחר) = 0.2, עצמאיים. P(גשם או אוטובוס מאחר) = 0.3 + 0.2 − 0.3 × 0.2 = 0.44.
בלתי תואם ≠ עצמאי. בלתי תואם פירושו שהם לא יכולים לקרות יחד (כלומר $P(A \cap B) = 0$). עצמאי פירושו שאחד לא משפיע על השני (כלומר $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$). אלו מושגים שונים לחלוטין.
כובע: נקודת התחלה להסתברות
הסתברות מותנית
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)
מודל השטח מדגים כיצד הסתברויות מותנות מצטברות — וכיצד בייס מוצא את P(A | B).
P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 ו-P(A∩B) = 0.2. האם A ו-B בלתי תלויות?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
P(A)×P(B) = 0.5 × 0.4 = 0.2, מה ששווה ל-P(A∩B), ולכן הן בלתי תלויות.
P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A∩B) = 0.2. מהי P(A∪B)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
P(A∪B) = 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7.
אם A ו-B בלתי תואמות, אזי P(A∩B) = 0.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אירועים בלתי תואמים לא יכולים לקרות יחד, ולכן לחצייתם יש הסתברות של 0.
אירועים בלתי תואמים הם תמיד בלתי תלויות.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אם A ו-B בלתי תואמים (וגם שניהם P > 0), אזי P(A∩B) = 0 ≠ P(A)×P(B), ולכן הם אינם עצמאיים.
הסתברות תנאית
- תנאית: הסיכון ל$A$ נתון שהיארע $B$:
- בדיקת עצמאות: לבדוק האם $P(A \cap B) = P(A)\times P(B)$.
העקומה הנורמלית: הסתברות היא השטח מתחתיה, הממוקמת סביב הממוצע
P(A∩B) = 0.2 ו-P(B) = 0.4. מהי P(A | B)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 0.2/0.4 = 0.5.
דוגמה מפורטת — דיאגרמות עץ
- שקית מכילה 3 כדורים אדומים ו-2 כדורים כחולים. נשלפים שניים ללא החזרה.
- P(שניהם אדומים) = $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20} = 0.3$.
- P(אחד מכל צבע) = $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} + \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{20} + \dfrac{6}{20} = 0.6$.
על דיאגרמת עץ, מכפילים את ההסתברותים לאורך הענפים, ואז מחברים את המסלולים הרצויים.
תיק מכיל 3 אדומים ו-2 כחולים. נגררים שניים ללא החזרה. P(שניהם אדומים) = (3/5)(2/4). מצאו זאת.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(3/5) × (2/4) = 6/20 = 0.3.
בשק יש 3 אדומים ו-2 כחולים, נשלפים ללא החזרה. סדרו את השלבים עבור P(שניהם אדומים).
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
בעץ הסתברות, כפלו את ההסתברותים לאורך הענף הנבחר, ואז צמצמו.
דיאגרמות ון טבלאות דו-צדדיות
- דיאגרמות ון מציגות אירועים חופפים ויזואלית — החיתוך הוא $A \cap B$.
- טבלאות דו-צדדיות מארגנות נתונים לפי שתי קטגוריות — לקרוא הסתברויות תנאיות מהשורה או העמודה הרלוונטית.
- לספור סידורים עם פרמוטציות (סדר חשוב) וקומבינציות (סדר לא חשוב).
הבנתך מושלמת
- חיבור (או): $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$
- כפל (וגם, עצמאי): $P(A\cap B) = P(A)P(B)$
- תנאי: $P(A\mid B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$; לבדוק עצמאות באמצעות $P(A\cap B) = P(A)P(B)$