מספרים מרוכבים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | מספר מרוכב |
| real part/rɪəl pɑːt/ | חלק ממשי |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | חלק מדומה |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | מרוכב מרוכב |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | ערך מוחלט |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | ארגומנט |
| Argand diagram/ˈɑːɡænd ˈdaɪəɡræm/ | דיאגרמת ארגנד |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | צורה קוטבית |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | דיסקרימיננטה |
המספר שלא קיים
- מהו $\sqrt{-1}$? במשך מאות שנים, מתמטיקאים טענו שהוא לא קיים. לאחר מכן, הם גילו שהדמיין כי הוא קיים — בכינויו $i$ — פותח פתרונות למשוואות שאחרת לא היו להן פתרון.
- מספרים מרוכבים מרחיבים את קו המספרים למישור, והם חיוניים בהנדסת חשמל, מכניקה קוונטית ובעיבוד אותות.
מספרים מרוכבים
- מספר מרוכב הוא $z = x + iy$, כאשר $i^2 = -1$ — $x$ הוא החלק הממשי, ו$y$ החלק הדמיוני.
- המ-queryate $z^* = x - iy$. פולינומים בעלי מקדמים ממשיים ישנם שורשים לא-ממשיים בזוגות מ-queryate.
- המודולוס $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$; הארגומנט הוא הזווית מהציר הממשי החיובי.
דוגמה מופתרת. $z = 3 + 4i$. מודולוס $= \sqrt{9 + 16} = 5$.-queryate $= 3 - 4i$.
$i^2 = -1$, לא $1$. כאשר כופלים מספרים מרוכבים, זכור ש$i^2 = -1$. לדוגמה, $(2+i)(3+i) = 6 + 2i + 3i + i^2 = 6 + 5i - 1 = 5 + 5i$.
דפוסים דמויי-עצמי כמו רומנסקו נובעים מחזרה במישור המרוכב
דיאגרמת ארגנד
z = x + yi
לשחרט מספר מרוכב כ-נקודה: המרחק שלו מ-O הוא ה-מודולוס, והזווית היא ה-ארגומנט.
מהו המודולוס של המספר המרוכב 3 + 4i?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
|z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
המספר המרוכב ההיפוך של z = 5 + 2i הוא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ההיפוך הופך את סימן החלק המדומה: z* = 5 − 2i.
מהו הערך של i²?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
על פי הגדרת היחידה המדומה, i² = −1.
(2 + i)(3 + i) = a + bi. מהו ערך a (החלק הממשי)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(2+i)(3+i) = 6 + 2i + 3i + i² = 6 + 5i − 1 = 5 + 5i. החלק הממשי = 5.
דיאגרמת ארגנד וצורה קוטבית
- שרטט את $z$ כנקודה על דיאגרמת ארגנד (ציר ממשי אופקי, ציר מדומה אנכי).
על דיאגרמת ארגנד, המודולוס |z| הוא המרחק מהראשית והארגומנט הוא הזווית θ.
- צורה פולרית: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ — הכפלה מכפילה מודולוסים ומוסיפה ארגומנטים.
חילוק באמצעות המספר המרוכב ההתאום
- כדי חלק, כפול את המונה והמכנה בהתאם של המכנה.
- דוגמה: $\dfrac{3+i}{1-i} = \dfrac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{3+3i+i+i^2}{1+1} = \dfrac{2+4i}{2} = 1 + 2i$.
(3+i)/(1−i) = a + bi. מהו ערך b (החלק המדומה)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
כפול ב-(1+i)/(1+i): (3+i)(1+i)/2 = (3+3i+i−1)/2 = (2+4i)/2 = 1+2i. החלק המדומה = 2.
פתרון משוואות עם שורשים מרוכבים
- למשוואה ריבועית עם דיסקרימיננט שלילית ישנם שורשים מרוכבים: $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2i$.
- פולינומים בעלי מקדמים ממשיים תמיד כוללים שורשים לא-ממשיים ב-זוגות התאומים: אם $a + bi$ הוא שורש, גם $a - bi$ הוא שורש.
allow_no_figure: חישובים עם מספרים מרוכבים ודיאגרמת ארגנד הם מושגים אלגבריים/גיאומטריים המועברים בצורה יעילה דרך סימונים ותרגילים פתורים.
- מעבר לצורות הקרטוזיות והפולרית, מצאו שורשים ריבועיים של מספר מרוכב ושרטטו מקומות גיאומטריים (למשל $|z-a|=r$).
אם לפולינום בעל מקדמים ממשיים יש שורש 2 + 3i, אזי חייב להיות לו גם שורש 2 − 3i.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פולינומים עם מקדמים ממשיים תמיד כוללים שורשים לא-ממשיים בזוגות היפוכים.
הבנתך מושלמת
- $z = x + iy$, $i^2 = -1$; התאם $z^* = x - iy$; מודולוס $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$
- שרטטו על דיאגרמת ארגנד; צורה פולרית $z = re^{i\theta}$
- חלקו על ידי כפילת המונה והמכנה בהתאם של המכנה