משוואות דיפרנציאליות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| decay/dɪˈkeɪ/ | דעיכה |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | משוואה דיפרנציאלית |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | קצב שינוי |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | תנאי התחלה |
| separable/ˈsepərəbl/ | ניתן להפרדה |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | קבוע אינטגרציה |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | פתרון פרטי |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | פתרון כללי |
המשוואה שמנבאת את העתיד
- איך מהירה אוכלוסייה גדלה? איזו מהירות חומר רדיואקטיבי דועך? איך כוס קפה מתקררת?
- כל השאלות הללו מובילות למשוואות דיפרנציאליות — משוואות המקשרות גודל לקצב השינוי שלו. פתרון שלהן נבא את העתיד.
מהי משוואה דיפרנציאלית?
- משוואה דיפרנציאלית מקשרת גודל לקצב השינוי שלו.
- דוגמה: $\dfrac{dy}{dx} = ky$ אומר שקצב הגידול פרופורציונלי לערך הנוכחי — גידול אקספוננציאלי.
דוגמה מעולם אמיתי. חוק הקירור של ניוטון: $\dfrac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{room}})$. קצב הקירור פרופורציונלי לכמה שהגוף חם יותר מהסביבה.
הקבוע נותן משפחה של עקומות; תנאי התחתי בוחר אחת מהן
שדה השיפועים
dy/dx = a y
משוואה דיפרנציאלית מספקת את השיפוע בכל מקום — ה-פתרון הוא העקומה העוקבת אחר שיפועים אלו החל מ-y₀.
משוואה דיפרנציאלית מקשרת בין כמות לבין קצב השינוי שלה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זוהי התכונה המאפיינת: המשוואה כוללת גם את y וגם את dy/dx (או נגזרות גבוהות יותר).
משוואות ניתנות להפרדה
- עבור משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון ניתנת להפרדה: שים את כל האיברים עם $y$ בצד אחד, את כל האיברים עם $x$ בצד השני, ואז אינטגרל שני הצדדים.
- דוגמה: $\dfrac{dy}{dx} = xy \Rightarrow \dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx \Rightarrow \ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$.
אל תשכח את קבוע האינטגרציה. כאשר אינטגרלים את שני הצדדים, הוסף $+C$ לצד אחד. קבוע זה קובע איזה פתרון ספציפי תקבל.
כדי לפתור משוואה דיפרנציאלית ריבועית נפרדת, עליך:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
להפריד בין המשתנים, ולאחר מכן לבצע אינטגרציה בכל צד.
פתרון כללי לעומת פתרון פרטי
- הפתרון הכללי מכיל קבוע (משפחה שלמה של עקומות).
- תנאי התחתי (ערך ידוע) קובע את הקבוע → הפתרון הפרטי.
תנאי התחלה משמש ל:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ערך ידוע קובע את הקבוע הארביטרי, וממיר את הפתרון הכללי לספציפי.
הפתרון הכללי של משוואה דיפרנציאלית מכיל קבוע ארביטרי.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אינטגרציה מציאה קבוע, ולכן הפתרון הכללי הוא עדר שלם של עקומות.
דוגמה מפורשת
- פתור $\dfrac{dy}{dx} = xy$ עם $y = 1$ ב$x = 0$.
- הפרדה: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$. אינטגרציה: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$.
- יישום $y(0) = 1$: $\ln 1 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
- ולכן $\ln y = \dfrac{x^2}{2} \Rightarrow y = e^{x^2/2}$.
allow_no_figure: משוואות דיפרנציאליות נפתרות אלגברית — תהליך הפתרון (הפרדת משתנים, אינטגרציה) הוא התוכן המרכזי, ולא גרף.
- פתור משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון כדי לדגם קצבי שינוי בעולם האמיתי.
פתרו dy/dx = xy עם תנאי ההתחלה y(0) = 1. ב-x = 2, מתקיים y = e^(x²/2). מצאו את ערך y (2 dp).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
y = e^(x²/2). ב-x = 2: y = e² ≈ 7.39.
אם ln y = x²/2 + C ו-y(0) = 1, מהו ערך C?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ln 1 = 0 + C, ולכן C = 0.
הבנתך מושלמת
- פתור משוואה ניתנת להפרדה על ידי פירוד משתנים ואינטגרציה בשני האגפים
- הפתרון הכללי מכיל קבוע; תנאי התחלה מספק את הפתרון הספציפי
- משוואה דיפרנציאלית מקשרת כמות לקצב השינוי שלה