אינטגרציה (Pure 3)
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| standard integral/ˈstændəd ˈɪntɪɡrəl/ | אינטגרל סטנדרטי |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | מונה |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | מכנה |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | שוברים חלקיים |
| integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | אינטגרציה בחלקים |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | הצבה |
| change of variable/tʃeɪndʒ ɒv ˈveərɪəbl/ | החלפת משתנה |
האינטגרל שמניב זוויות
- ניתן לאינטגרל $\dfrac{1}{x^2+1}$ כדי לקבל $\tan^{-1}x$ — פונקציה המחזירה זוויות.
- קשר זה בין אלגברה לגיאומטריה הוא אחד התוצאות היפות ביותר בחשבון אינפיניטסימלי.
אינטגרלים סטנדרטיים חדשים
- אינטגרל סטנדרטי חדש: $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$.
- הדפוס $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$ → $k\ln|f(x)| + C$, לדוגמה: $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \ln(x^2+1) + C$.
דוגמה מופתרת. $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + 4}\,dx = \dfrac{1}{2}\tan^{-1}\dfrac{x}{2} + C$ (כאן $a = 2$).
זהה את הדפוס. $\displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C$. המונה חייב להיות (כפולה של) הנגזרת של המכנה. אם לא, תצטרך שיטה אחרת.
המקום הגיאומטרי |z - a| = r הוא עיגול ברדיוס r שמרכזו בנקודה a
השטח תחת העקומה
שטח = ∫ f(x) dx
כל שיטת אינטגרציה מדד בעצם שטח זה — גרור את הגבולות כדי לחשב אותו כולו.
מהו ∫ 2x/(x²+1) dx?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המונה הוא הנגזרת של המכנה (בצורת k f′/f), לכן האינטגרל הוא ln(x²+1) + C.
∫ 1/(x²+a²) dx = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זוהי אינטגרל סטנדרטי מPure 3 הקשור לגזרת הפונקציה טנגנס הופך.
∫ 1/(x²+9) dx = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C. מהי ערך a?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
a² = 9, ולכן a = 3.
∫ 1/(x²+1) dx = ln(x²+1) + C.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המונה אינו הגזרת של המכנה. האינטגרל הנכון הוא tan⁻¹x + C.
שברים חלקיים לאינטגרציה
- שברים חלקיים: פצל פונקציה רציונלית, ואז אינטגרל כל חלק כלוגריתם.
- דוגמה: $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2-1}\,dx = \int\left(\dfrac{1}{2(x-1)} - \dfrac{1}{2(x+1)}\right)dx = \dfrac{1}{2}\ln|x-1| - \dfrac{1}{2}\ln|x+1| + C$.
אינטגרציה בחלקים
- אינטגרציה בחלקים (למכפלה): $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$.
- בחר $u$ להיות החלק שמצטמצם כאשר נגזרים אותו.
נוסחת האינטגרציה בחלקים היא ∫ u dv =:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אינטגרציה בחלקים: ∫ u dv = uv − ∫ v du.
אינטגרציה בהצבה
- אינטגרציה בהצבה: שינוי משתנה הופך אינטגרל קשה לאינטגרל קל.
- תן $u = g(x)$, ולאחר מכן $du = g'(x)\,dx$, ואתחל מחדש את האינטגרל במונחי $u$.
allow_no_figure: טכניקות אינטגרציה (בחלקים, הצבה, שברים חלקיים) — התוכן הוויזואלי הוא העיבוד האלגברי, ולא דיאגרמה.
- אינטגרציה היא נגזירה הפוכה.
באמצעות הצבה u = x²+1, חשב את ∫₀² 2x/(x²+1) dx (2 נקודות).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
∫₀² 2x/(x²+1) dx = [ln(x²+1)]₀² = ln 5 − ln 1 = ln 5 ≈ 1.61.
הבנתך מושלמת
- $\displaystyle\int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac1a\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$; $\displaystyle\int\frac{k f'(x)}{f(x)}dx = k\ln|f(x)| + C$
- בחלקים: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ (למכפלות)
- בהצבה: שינה את המשתנה כדי לפשט