אלגברה (ערך מוחלט ופולינומים)
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | ערך מוחלט |
| remainder theorem/rɪˈmeɪndə ˈθɪərəm/ | משפט שארית |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | פולינום |
| degree/dɪˈɡriː/ | דרגה |
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | משפט גורמים |
הערך המוחלט שמציל גשרים
- מהנדסים המתכננים כבלים תלויים צריכים לדעת את סטיית המקסימום מהאידיאל – בין אם מעלה או מטה.
- מודולוס (ערך מוחלט) מדוד מרחק מאפס, בלי לקחת בחשבון כיוון. הוא מופיע בכל מקום: גבולי שגיאה, סטיות סבירות ואי-שוויונות.
פונקציית הערך המוחלט
- הערך המוחלט $|x|$ הוא הגודל של מספר, ללא הסימן ($|x| \geq 0$). הגרף שלו הוא בצורת "V".
- כללי שימוש:
- $|a| = |b| \Leftrightarrow a^2 = b^2$,
- $|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b$.
פונקציית הערך המוחלט $y = |x - 2|$ יוצרת צורת V: כל מה שמתחת לציר משתקף מעליו.
דוגמה מופת. פתור $|2x - 3| = 7$. או $2x - 3 = 7 \Rightarrow x = 5$, או $2x - 3 = -7 \Rightarrow x = -2$. הפתרונות הם: $x = 5$ או $x = -2$.
פונקציית הערך המוחלט
y = a|x − b| + c
הערך המוחלט יוצר צורת V. הזיזו את הראש עם b ו-c; שינו את הזווית של הזרועות עם a.
פתרו |x − 2| < 3. הפתרון הוא −1 < x < ? מה הגבול העליון?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
|x − 2| < 3 פירושו 2 − 3 < x < 2 + 3, כלומר −1 < x < 5.
פתרו |2x − 3| = 7. מה הפתרון הגדול יותר?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2x − 3 = 7 → x = 5; או 2x − 3 = −7 → x = −2. הגדול ביותר הוא 5.
משארי ומשוואות משפט הגורם ומשפט השארית
- פולינום הוא סכום של חזקות של $x$; ה-מעלה שלו היא החזקה הגבוהה ביותר.
- משפט השארית: השארית כאשר $p(x) \div (x - a)$ מחולק ב-$p(a)$.
- משפט הגורם: $(x - a)$ הוא גורם אם ורק אם $p(a) = 0$.
אל תבלב בין שני המשמטים. משפט השארית נותן את השארית לכל מחלק $(x - a)$. משפט הגורם הוא מקרה פרטי: כאשר השארית היא אפס, $(x - a)$ הוא גורם.
חישוב ערך מוחלט מקפל את החלק השלילי של הישר כלפי מעלה ליצירת צורת V
על פי משפט השארית, מה השארית כאשר p(x) = x² + 3x + 2 מחולק ב-(x − 1)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שארית = p(1) = 1 + 3 + 2 = 6.
(x − a) הוא גורם של p(x) בדיוק כאשר:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
משפט הגורמים: (x − a) הוא גורם אם ורק אם p(a) = 0.
דוגמה מופת – משפט הגורם
- הראי כי $(x - 2)$ הוא גורם של $p(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 8$.
- $p(2) = 8 - 20 + 4 + 8 = 0$. מכיוון ש-$p(2) = 0$, אזי $(x - 2)$ הוא גורם.
- חלוקה: $x^3 - 5x^2 + 2x + 8 = (x - 2)(x^2 - 3x - 4) = (x - 2)(x - 4)(x + 1)$.
סימנים הפוכים של f(a) ו-f(b) לכידו שורש בין a לבין b
אם p(3) = 0, אז (x − 3) הוא גורם של p(x).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
על פי משפט הגורמים, p(a) = 0 אומר ש-(x − a) הוא גורם.
נתון p(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 ו-p(1) = 0. פצו: p(x) = (x − 1)(x² + bx + c). מהי הערך של c?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
חלוקת ביטוי x³ − 6x² + 11x − 6 ב-(x − 1) נותנת x² − 5x + 6, ולכן c = 6.
פתרון משוואות פולינומיות
- השתמש במשפט הגורם למציאת שורש אחד, ולאחר מכן חלק כדי להוריד את המעלה.
- למשולשי יש עד 3 שורשים מציאיים; למרובעי יש עד 4.
- צייר גרף כדי לבדוק: מספר חיתוך ה$x$-ציר תואם למספר השורשים המציאיים.
- גזור שבר באמצעות כלל המנה.
הבנתך מושלמת
- $|x|$ מסיר את הסימן; $|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b$
- שארית כאשר $p(x) \div (x-a)$ הוא $p(a)$
- משפט הגורמים: $(x-a)$ הוא גורם $\Leftrightarrow p(a) = 0$
- מצא שורש אחד, חלק, ואז פתור את המשולשת שנותרה