ריבועים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| parabola/pəˈræbələ/ | פרבולה |
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | ריבועי |
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | השלמת ריבוע |
| vertex/ˈvɜːteks/ | קודקוד |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | דיסקרימיננטה |
המסלול של כדור שנזרק
- כאשר מזריקים כדור, הוא מצייר פרבולה — אותה עקומה המתוארת על ידי כל משוואה ריבועית.
- גלילאו הוכיח זאת בשנת 1638. היום, משוואות ריבועיות מופיעות בפיזיקה, כלכלה, הנדסה ואופטימיזציה.
- השליטה בהן מאפשרת לכם למצוא את הפסגה, השורשים והצורה של כל פרבולה.
השלמת ריבוע
- משוואה ריבועית היא $ax^2 + bx + c$ (עם $a \neq 0$).
- השלמת ריבוע כותבת מחדש את הביטוי כ-$a(x+p)^2 + q$.
- הדבר חושף את הקודקוד (נקודת ההפיכה) ב-$(-p,\ q)$.
- דוגמה: $x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$ → קודקוד $(3, -4)$.
השלמת ריבוח חושפת את הקודקוד ישירות: ל-$y = (x-3)^2 - 4$ יש מינימום ב-$(3, -4)$.
דוגמה מפורטת. השלימו ריבוע עבור $2x^2 + 8x + 3$: הוציאו גורם משותף $2$: $2(x^2 + 4x) + 3 = 2(x+2)^2 - 8 + 3 = 2(x+2)^2 - 5$. קודקוד: $(-2, -5)$.
בשלימת ריבוע, x² − 6x + 5 = (x − 3)² + q. מה הערך המינימלי של q?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4, לכן q = −4 (הערך המינימלי).
שלם ריבוע: 2x² + 8x + 3 = 2(x + p)² + q. מה ערך p?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2(x² + 4x) + 3 = 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5, לכן p = 2.
הדיסקרימיננטה
- הדיסקרימיננטה היא $\Delta = b^2 - 4ac$. היא קובעת את מספר השורשים הממשיים:
- $b^2 - 4ac > 0$ → שני שורשים ממשיים שונים,
- $b^2 - 4ac = 0$ → שורש חוזר אחד,
- $b^2 - 4ac < 0$ → אין שורשים ממשיים.
- נוסחת השורשים: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
סימן הדיסקרימיננטה קובע כמה פעמים הפרבולה חותכת את ציר ה-x: שתי פעמים, פעם אחת או כלל לא
הדיסקרימיננטה נמצאת מתחת לסמן השורש. אם $b^2 - 4ac < 0$, יהיה צורך ב$\sqrt{\text{negative}}$, שאינו בעל ערך ממשי — ולכן הפרבולה לעולם אינה חוצה את ציר ה$x$.
גשר תלוי: הכבל הראשי תלוי בצורת פרבולה
חקור את הפרבולה
y = ax² + bx + c
שנוי a, b וc כדי לעצב מחדש את העקומה — וצפי בקודקוד, שורשים ובנקודות חיתוך נעים.
למשוואה x² + 4x + 1 = 0, מהי הדיסקרימיננטה b² − 4ac?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
b² − 4ac = 4² − 4(1)(1) = 16 − 4 = 12 (> 0, ולכן יש שורשים ממשיים נפרדים).
אם b² − 4ac < 0, למשוואה הריבועית יש:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
דיסקרימיננטה שלילית מעידה על כך שהפרבולה לעולם אינה חוצה את ציר ה-x — אין שורשים ממשיים.
למשוואה x² + 2x + 5 = 0 יש שני שורשים ממשיים נפרדים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הדיסקרימיננטה היא 2² − 4(1)(5) = 4 − 20 = −16 < 0, ולכן אין שורשים ממשיים.
פתרון משוואות ריבועיות
- פירוק לגורמים: השיטה המהירה ביותר כשהיא אפשרית. $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2$ או $x = 3$.
- השלמה לריבוע מושלם: תמיד עובדת, חושפת את הקודקוד.
- נוסחת השורשים: תמיד עובדת, יש להשתמש בה כאשר פירוק לגורמים הוא מורכב.
פתור את x² − 5x + 6 = 0. מה השורש הקטן יותר?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0, לכן x = 2 או x = 3; הקטן מביניהם הוא 2.
מערכות משוואות מקושרות ומודלים
- משוואות ריבועיות מדמות: מסלולי ירי, עקומי רווח, קשתות גשרים, קערות לוויין.
- הקודקוד נותן את הערך המקסימלי (אם $a < 0$) או המינימלי (אם $a > 0$).
- דוגמה: פונקציית רווח $P = -2x^2 + 40x - 150$. מקסימום ב$x = \dfrac{-40}{2(-2)} = 10$.
- עליך לפתור משוואות ריבועיות ואי-שוויונים ריבועיים, כמו גם זוג של מערכות משוואות (אחת ליניארית ואחת ריבועית).
הבנתך מושלמת
- השלמה לריבוע: $a(x+p)^2 + q$, קודקוד ב-$(-p, q)$
- ה-דיסקרימיננט $b^2 - 4ac$ סופר שורשים ממשיים (+ שניים, 0 אחד, − אף אחד)
- פתרון על ידי פירוק לגורמים, השלמה לריבוע, או נוסחת השורשים
- הקודקוד נותן את הערך ה-מקסימלי או ה-מינימלי של המשוואה הריבועית