ניתוח מעגלים II (AC)

זהו הקורס הרביעי בהנדסת חשמל באוניברסיטה: ניתוח מעגלי AC — מעגלים המופעלים על ידי סינוסים, כך כמעט כל האנרגיה החשמלית מיוצרת ומוזזת. ניתוח — מעגלים המונעים על ידי פונקציות סינוסואידליות, כך כמעט כל האנרגיה החשמית מופקת ומועברת. גל 1 פתר DC; הכלים של EE02 (מספרים מרוכבים, משוואות דיפרנציאליות, ללפלאס) כעת משתלמים.

• יחידה 4.1 הופכת סינוסים לחשבון: ה-פזור וה-התנגדות.
• יחידות 4.2–4.4 מיישמות זאת: הספק AC, תלת-פאזי, תגובה מסדר שני ו- תהודה.
• יחידות 4.5–4.7 רחבות את המבט: מסננים וגרפי בוד, ניתוח מעגלים בתחום s, ומערכים דו-פורטיים.

כל יחידה נפתחת בעלילה, מציגה תמונה לפני הרעיון הפורמלי, מגדירה מונחים בדיוק, עובדים שני דוגמאות מתגבשות שהמספרים שלהן מאושר על ידי מכונה, מפרט את השגיאות הקלאסיות, ומסתיים בתקציר של שלושה שורות. ההרגל לבדיקה בקורס זה: כל תשובה בוליאנית מאושרת על ידי סיכום. הרגל הבדיקה: כל תשובה פאזורית מאמתה בשנייה ייצוג — מקוטבי מול מרובעי, או בתחום הזמן מול ה חישוב מרוכב. חישוב מרוכב הוא רק רשימות; הבדיקות שומרות את הכנות.

מתח הרשת חוצה אפס מאה פעמים בשנייה, ועם זאת נורת ונגר בה מפזרת הספק יציב — כי המשרעת והפאזה מתקבעות למחזור חוזר דוגמה. סינוסואיד $v(t) = V_{m}\cos(\omega t + \varphi)$ הופך לפאזור $V = V_{m}\angle\varphi$ — המשרעת והפאזה, עם התדר הבנה. גזירה כופלת ב-$j\omega$; לכן בתדר יחיד לכל אלמנט יש אימפדנס:

כל שיטות DC — מחלקי מתח, נקודה/רשת, טוונין — עוברות ללא שינוי עם complex numbers. The inductor's impedance grows with frequency (+90°); the קבל קטנה (−90°); הנגד הוא שטוח (0°).

דוגמה פתורה 1 (שתי ההצגות מסכימות). $R = 30\ \Omega$ בסדרה עם $L$ כך ש$\omega L = 40\ \Omega$, מופעל על ידי $V = 100\angle 0^{\circ}$ V באותו תדר. $Z = 30 + j40 = 50\angle 53.13^{\circ}\ \Omega$; $I = V/Z = (100/50)\angle(0 - 53.13^{\circ}) = 2\angle -53.13^{\circ}$ A. בדוק ברקט ריבועית: $I = 100(30 - j40)/2500 = 1.2 - j1.6$ A; $|I| = \sqrt{1.44 + 2.56} = 2$ ✓ and $\text{atan2}(-1.6, 1.2) = -53.13^{\circ}$ ✓. המשמעות בזמן: $i(t) = 2\cos(\omega t - 53.13^{\circ})$ A — ה זרם מאחר כי הסולנוide מתנגד לשינוי.

דוגמה פתורה 2 (שילוב מקביל, מורחב). אותו $R = 30\ \Omega$ עכשיו ב-מקביל לסולנוide $\omega L = 40\ \Omega$: $Z = \frac{30 \times j40}{30 + j40} = \frac{30 \times j40 \times (30 - j40)}{2500} = \frac{48\,000 + j36\,000}{2500} = 19.2 + j14.4 = 24\angle 36.87^{\circ}\ \Omega$ (verified: $|Z| = \sqrt{19.2^{2} + 14.4^{2}} = 24$ ✓, ו-$\cos 36.87^\circ = 0.8$ ✓). שים לב שהעכבה המקבילה קטנה מגודל כל ענף בנפרד. (24 < 30 < 40) וזוויתו (36.87°) נמצאת מתחת לזווית של ה-90° של הסליל, נמשכת לעבר ההתנגדות — לכל זוג מקביל מתחלפים הגודל והזווית בכיוון זה.

שגיאות נפוצות. חיבור גודלים של עכבות מקבילות (רק חיבור מרוכב מוותר). מערבול בין הגדרות מחשבון בזוויות לנוסחאות ברדיאנים. שכחה שהפאזור כולל משרעת (או RMS — בחר שיטה אחת ונצמד לה באופן עקבי עבור V ו-I).

סיכום: תדר אחד → פאזורים; $Z_R$ אופקי, $Z_L$ עולה ב-90°, $Z_C$ יורד ב-90°; כל שיטת DC חלה כאן; בדוק כל תשובה בייצוג השני.

חימום בהספק 1 kW ומתנע קיבולי בהספק 1 kVA שואבים משני הקו "1 קילו-משהו", אולם רק חלקו של החימום מוכר כחשמל. עם פאזור מתח $V$ וזרם $I$, הספק מרוכב $S = V\cdot I^{*}$:

כאשר $\theta$ היא הזווית בין V ל-I. גורם ההספק $\cos\theta$ הוא החלק מההספק הנראה $|S| = VI$ שמבצע עבודה אמיתית.

דוגמה פותרת 1 (עומס RL, נבדק בשתי דרכים). העומס למעלה: $P = 100 \times 2 \times \cos 53.13^{\circ} = 120$ W, $Q = 100 \times 2 \times \sin 53.13^{\circ} = 160$ var, $|S| = 200$ VA, pf = 0.6 lagging. בדוק: $P = |I|^{2}R = 4 \times 30 = 120$ ✓ ו-$Q = |I|^{2}X = 4 \times 40 = 160$ ✓ — בדיקת נוסחת ההפסד. תיקון גורם ההספק מוסיף מקביל קיבול כדי לספק את ההספק הריאקטיבי מקומית: כדי לתקן 160 var ב-100 V (50 Hz) נדרש $C = Q/(\omega V^{2}) = 160/(2\pi \cdot 50 \cdot 10^{4}) = 50.9\ \mu F$.

לכל פאזה. מתח פאזה 2 V; זרם פאזה מנוע על ספק ⎡415 V⎤ (קו), בתדר 50 Hz, בעל עכבה פאזית $10 + j10\ \Omega$ לכל פאזה. מתח פאזה $= 415/\sqrt{3} = 239.6$ V; זרם פאזה $= 239.6/\sqrt{10^{2} + 10^{2}} = 239.6/14.14 = 16.94$ A (שווה לזרם זרם בכוכב); זווית פאז 45° איחור. הספק כולל $P = 3 \times 239.6 \times 16.94 \times \cos 45^{\circ} = 8611$ W — וה- נוסחת קו $\sqrt{3} \times 415 \times 16.94 \times 0.7071 = 8611$ W ✓ ה- two routes agree. The per-phase route also gives the missing pieces: $Q = 3 \times 239.6 \times 16.94 \times \sin 45^{\circ} = 8611$ var, pf 0.707 lagging, and (for a delta-connected motor of the same impedance) the phase הזרם יהיה $415/14.14 = 29.3$ A עם זרם קו $\sqrt{3} \times 29.3 = 50.8$ A — the star/delta factor is exactly the $\sqrt{3}$ חשבונאות.

Common mistakes. Using line voltage in the per-phase formula (divide by מקומית; ניתוח פאז יחיד תלת-פאזי עם $\sqrt{3}$ תיקון גורם הכוח במתח הלא נכון — הקבל רואה את המתח בנקודת החיבור שלו.

סיכום: $S = VI^{*}$ מתפרק ל-P (נחשב) ול-Q (מלווה); נוסחי הפסדים $|I|^{2}R$, $|I|^{2}X$ הם הבדיקה; תיקון קבלית מספק Q locally; three-phase per-phase analysis with $V_{line} = \sqrt{3}V_{phase}$ (כוכב) הוא הכלי העובד.

לסגור מתג על קבל טעון בסדרה עם סליל ואת הזרם לא יכול לקפוץ — וגם לא להגיע מיד — כך שהתגובה מתכופפת בעוד פחות נגזרת אחת מאשר RC דרש. RLC סריתי יש את differential equation $L\,d^{2}i/dt^{2} + R\,di/dt + i/C = 0$, with natural frequency $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$ and damping $\alpha = R/(2L)$. שלושה מצבים:

• ריכוך יתר ($\alpha > \omega_{0}$): שני דעיכות ממשיות, ללא תנודות.
• Critically damped ($\alpha = \omega_{0}$): fastest non-oscillating return.
• ריכוך מופחת ($\alpha < \omega_{0}$): תנודה דועכת ב- $\omega_{d} = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \alpha^{2}}$.

Worked example 1 (regime arithmetic). $R = 4\ \Omega$, $L = 0.2$ H, $C = 0.05$ — ריכוך קריטי ($\omega_{0} = 1/\sqrt{0.2 \times 0.05} = 10$). $\alpha = 4/(2 \times 0.2) = 10$ — critically damped ($\alpha = \omega_{0}$). Change $R$ to 2 Ω: $\alpha = 5 < 10$, underdamped with $\omega_{d} = \sqrt{100 - 25} = 8.66$ rad/s. The regime test is one comparison; the Q factor $Q = \omega_{0}/(2\alpha)$ is 0.5 at critical damping and 1 ב-$R = 2\ \Omega$ — רינגים בעלי הריגון הקל (Q גבוה) מחזיקים זמן רב יותר.

דוגמה מופעלת 2 (מעריכי הריכוך המרובה, מאומת על ידי מחשב, מורחבת). עם $R = 8\ \Omega$ (אותו $L$, $C$): $\alpha = 20 > 10$ — ריכוך מרובה, וה two decay exponents are $s = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^{2} - \omega_{0}^{2}} = -20 \pm \sqrt{300}$, i.e. $-2.68$ and $-37.32$ s⁻¹ (אומת על ידי מחשב). ה מתח הקבל ששוחרר מ-1 V הוא $v_{C}(t) = A e^{-2.68t} + B e^{-37.32t}$ with $A + B = 1$ and $dv_{C}/dt(0) = 0$ (ללא זרם מונע), מה שמוביל ל-$A = 37.32/(37.32 - 2.68) = 1.077$, $B = -0.077$: ירידה תחילה מהירה לעבר הריכוך האיטי. הקריאה: השורש המהיר קובע רק את הרגעים הראשונים; השורש האיטי ($-2.68$, זה הקרוב יותר לאפס) אחראי על זנב התגובה — בדיוק כפי שנוסחת הקוטב הדומיננטי EE02 מופיעה ב-Laplace.

טעויות נפוצות. השוואת $R$ עם $2\sqrt{L/C}$ במקום להשוות $\alpha$ עם $\omega_{0}$ — אותה בדיקה, אך יש לכתוב אותה כפי שהיא מצוינת. שימוש ב-$\omega_{0}$ שבו $\omega_{d}$ צריך להיות (התנודות שאתה רואה הן תדירות הריכוך). שכחון בתנאי ההתחלה השני: שני מאגרי אנרגיה מספקים שני קבועים.

סיכום: $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$, $\alpha = R/2L$, שלושה מצבים באמצעות השוואה אחת; $\omega_{d}$ היא התנודה הנראית; השורש האיטי אחראי על הזנב; שני מאגרים → שני קבועים → בדיקות שתי קצוות.

מעגל ההתאמה של רדיו מבדיל תחנה אחת מתוך פס עמוס על ידי הפיכת תדר למיוחד: ב-תהודה החלקים המרוכבים ביטול, $\omega_{0}L = 1/(\omega_{0}C)$, כלומר $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$. שם $Z = R$ (עומס טהור, מינימום), הזרם מקסימלי, וה רוחב הפס $BW = R/L = \omega_{0}/Q$. חצאי ההתנגדות מתאפסים גם אם כל אחד מהם בנפרד יכול להיות גדול — $V_{L}$ ו-$V_{C}$ יכולים לעלות על מתח המקור בגורם Q.

צד של 1; בדיוק, $R = 5\ \Omega$ (סימטרי על $L = 0.1$ H, $C = 10\ \mu F$: $\omega_{0} = 1/\sqrt{0.1 \times 10^{-5}} = 1000$ rad/s; $Q = \omega_{0}L/R = 1000 \times 0.1/5 = 20$. במקור של 10 V, the current at resonance is $10/5 = 2$ A, and $V_{L} = \omega_{0}LI = 200$ V — twenty times the source. Check: $V_{C} = I/(\omega_{0}C) = 2/0.01 = 200$ V ✓; שניהם שווים ל-200 V, במרחק זווית 180°, הסכמם אפס.

דוגמה מופרזת 2 (פס הכוח המחציתי, מורחב). מעגל זהה רוחב הפס שלו: $BW = \omega_{0}/Q = 1000/20 = 50$ rad/s, ותדרי הכוח המחציתי מחושבים ל-$\omega_{1} = 975.3$, $\omega_{2} = 1025.3$ rad/s — הפרשם הוא 50.0 ✓ (נבדק על ידי מכונה). הם ממוקמים כמעט באופן שווה משני צדי side of 1000; exactly, $\omega_{1}\omega_{2} = \omega_{0}^{2}$ (symmetric on a לוגריתמי). בקצוות הפס $|Z| = \sqrt{2}R = 7.07\ \Omega$, הזרם הוא $1/\sqrt{2}$ ממקסימום, ולכל אלמנט ריאקטיבי יש $Q/\sqrt{2} \approx 14$ פעמים מתח המקור — עדיין הגברה, אך מעבר לשיאו. זוהי הבחירה שהטיונר מציע: ב-900 רדיאן/שנייה (תחנה שכנה במרחק של פס תדר אחד) הזרם יורד ל- תחנה שכנה בשני רוחבי פס מהם, הזרם יורד ל- $10/\sqrt{R^{2} + (\omega L - 1/\omega C)^{2}} = 10/|5 + j(90 - 111.1)| = 10/21.7 = 0.46$ A — פחות של רבע מהזרם התהודתי 2 A.

$Q$). האמונה שרזוננס מקסימיזציה הספק לכל עומס מקור — היא אלמנט (שניהם חייבים להתאים). שימוש ב-$f_{0}$ במקום $\omega_{0}$ (גורם $2\pi$). האמינו שתהודה מקסימלית את ההספק בכל עומס מקור — היא מינימלית את |Z|, מה שממקסימל את הזרם רק עבור מקור קשיח.

סיכום: $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$, |Z| = R שם, BW = ω₀/Q בין ה הגברת בס היא מסנן: פס אחד מוגבה, שאר הפסים אינם משונים. מסנן על שני האלמנטים.

הגברת בס היא מסנן: רצועה אחת למעלה, השאר ללא שינוי. מסנן עובר רצועה ומעניין את השאר; פונקציית ההעברה שלו $H(j\omega)$ יש גודל ופאזה. הגרף של בודה מציג $20\log_{10}|H|$ ב-dB מסנן RC נמוך עם קצה ב-20 רדיאן/שנייה: העקומות המדויקות נגד האסימפטורות הישרות תדר** $\omega_{c} = 1/(RC)$; כל אפס +20 dB/דקיידה.

*מסנן נמוך RC עם תדר סף ב-6250 rad/s: עקומות מדויקות מול האסימפטורות הקויות

דוגמה פותרת 1 (המסנן הנמוך, קצוות נבדקו). מסנן נמוך RC עם $R = 1.6$ kΩ, $C = 0.1\ \mu F$: $\omega_{c} = 1/(1600 \times 10^{-7}) = 6250$ rad/s (995 Hz). At $\omega_{c}$ the gain is $1/\sqrt{2} = -3$ dB וה פאזה −45°; ב-$10\omega_{c}$ הקירוב הקווי קורא −20 dB (מדויק −20.04). בדוק את הקצוות: בתדר נמוך $H = 1$ (0 dB), ב $100\omega_{c}$ ≈ −40 dB — כל עשור אחרי הנקודה החוצה מאבד 20 dB, שזה האריתמטיקה של דציבלים $20\log_{10}10 = 20$.

דוגמה מופת 2 (המראה מעבר-גבוה, מאומתת על ידי מכונה, מוגברת). החלפת יציאה לנגד יוצרת מעבר-גבוה עם אותו $\omega_{c} = 6250$ רדיון/שנייה: $H(j\omega) = (j\omega/\omega_{c})/(1 + j\omega/\omega_{c})$. At $0.1\omega_{c}$: $-20.04$ dB at $+84.3^{\circ}$; ב $\omega_{c}$: $-3.01$ dB ב-$+45^{\circ}$; ב-$10\omega_{c}$: $-0.04$ dB ב $+5.7^{\circ}$ (כולם מאומתות על ידי מכונה) — המראה המדויק של מעבר-נמוך, עם פאזה קדומה וסרט העיצור מתחת במקום למעלה. קריאת העיצוב: ירידה תלולה יותר של 40 dB/דקיידה דורשת שני מקטעים מחוברים ברצף, וב-(עם ה עומס ביניהם מחושב) הרצף מכפיל את העוצמות, לכן ה-dB מתחברים — אותו לוגיקת שרשרת כמו מטריצות ה-ABCD של יחיד 4.7.

שגיאות נפוצות. קריאת −3 dB כ"חצי הספק אבוד במסנן" ב הנקודה החוצה (זה חצי הספק המועבר לעומס בהשוואה לתדר האמצעי). ערבול $\omega$ ו-$f$ על ציר אחד. שכח פאזה: מסנן שהמגנוטוד שלו שטוח עדיין יכול להרוס פולס בזכות שיפוע הפאזה שלו.

סיכום: קוטבים −20 dB/עשור מעל הנקודה החוצה, אפסים +20; −3 dB ו-±45° ב הפינה; האסימפטוטות הן כלי העיצוב, והעקומה המדויקת היא בדיקת התוצאה.

מכונת לאפלאס של EE02 הופכת לשיטת מעגל: לכל רכיב מוגדר מודל בתחום s עם תנאי ההתחלה כמקורות —

• נגד: $Z = R$.
• סליל: $Z = sL$ בנוסף למתח סדרתי $Li(0^{-})$ (או מקור זרם מקבילי $i(0^{-})/s$).
• קבל: $Z = 1/(sC)$ בנוסף למקור זרם מקבילי $Cv(0^{-})$ (או מתח סדרתי $v(0^{-})/s$).

אז כל שיטת DC חלה ב$s$. הקוטבים של התגובה מייצגים את המעבר; קוטבי הקלט מייצגים את המצב היציב.

דוגמה פותרת 1 (ה-RC גלי-1, על ידי אלגברה). צעד ה-RC גלי-1 עם מתח התחלתי: $R = 10$ kΩ, $C = 100\ \mu F$ ($\tau = 1$ s), מקור 9 V, $v_{C}(0) = 1$ V. KVL בתחום s: $9/s = IR + v_{C}(0)/s + I/(sC)$ → $I = 8/(R(s + 1/(RC))) = 8/(10^{4}(s+1))$; $V_{C} = v_{C}(0)/s + I/(sC) = 1/s + 8/(s(s+1)) = 9/s - 8/(s+1)$, לכן $v_{C}(t) = 9 - 8e^{-t}$ V — בדיוק התשובה לגלי-1, כעת נגזרת על ידי אלגברה. הבדיקה: $v_{C}(0) = 9 - 8 = 1$ ✓, $v_{C}(\infty) = 9$ ✓.

דוגמה פותרת 2 (RLC חסר מקור, קוטבים מותאמים, היסק.). ה-RLC הסדרתי בעל יחידות 4.3 עם $R = 2\ \Omega$, $L = 0.2$ H, $C = 0.05$ F, שחרר עם $i(0) = 1$ A, $v_{C}(0) = 0$. mesh בתחום s (אימפדנסים בנוסף למקור הסליל $Li(0)$): $(0.2s + 2 + 20/s)I = 0.2$, ולכן $I(s) = s/(s^{2} + 10s + 100)$ והקוטבים הם $-5 \pm j8.66$ — בדיוק ה $\alpha = 5$, $\omega_{d} = 8.66$ תחום הזמן החישוב האריתמטי נתן ✓. שתי הדרך הן אותו פיזיקה בשני סימונים; דרך תחום ה-s מספקת את המעריכים ללא צורך בשינון נוסחה, ושבר חלקי (כמו ב EE02) מסיימים את הגל.

טעויות נפוצות. השמדת מקורות התנאים ההתחלתיים — התשובה אז טוענת שהמעגל מתחיל רגוע. ביטול $s$ בעיוורים (גורם של $s$ ב מונה ומכנה יכול להסתיר אימפולסה). שכחת תנאי משפט הערך הסופי (קוטב במרחב שמאלי סגור לחלוטין).

סיכום: זמינויות הופכות ל$R$, $sL$, $1/sC$ בתוספת מקורות התנאים ההתחלתיים; שיטות DC ב$s$; הקוטבים הם $\alpha$ ו$\omega_{d}$; בדיקות קצוות עדיין חופשיות.

מודול מגבר, רשת התאמה, קטע כבל — כל אחד הוא תיבה עם זוגות חוטים כפולים, והמעצב זקוק רק לכך שהתיבה עושה בקצוות היא. דו-פורט יש לו זוגות קצוות כניסה ויציאה; ה עולם החיצוני רואה רק התנהגות הפורט. סטיות פרמטרים מקשרות בין משתני הפורט:

המרה היא אלגברה (למשל מז-פרמטרים: $A = z_{11}/z_{21}$, $B = (z_{11}z_{22} - z_{12}z_{21})/z_{21}$). חיבור קסקדה מכפיל מטריצות ABCD — הסיבה שקווי שידור ושרשראות מסננים משתמשים בסט זה.

דוגמה פתורה 1 (הערבת L-סדרתית, נבדק הקובעת). ה-Z הסדרתי $Z$ מכיל $ABCD = (1, Z; 0, 1)$; ה-Y המקביל $Y$ מכיל $(1, 0; Y, 1)$. חיבור רצף של מקביל-$Y$ ולאחר מכן סדרתי-$Z$: $(1,0;Y,1)(1,Z;0,1) = (1, Z; Y, 1+YZ)$. בדיקה עם $Z = j10$, $Y = -j0.1$ (חלק L בתדר אחד): $1 + YZ = 1 + (-j0.1)(j10) = 2$, $B = j10$ — והקובעת $AD - BC = 2 - j10 \cdot (-j0.1) = 1$ שווה ל1, כפי ש- כל מטריצת ABCD של רשת הדדית צריכה לעשות.

דוגמה פתורה 2 (מרתק ל-m-פרמטרים, מאומת במחשב, מורחב). ה-m פרמטרים זהים לחלק L מההמרה $z_{11} = A/C$, $z_{12} = \Delta/C$, $z_{21} = 1/C$, $z_{22} = D/C$ with $C = Y = -j0.1$: $z_{11} = z_{12} = z_{21} = 1/(-j0.1) = j10\ \Omega$, $z_{22} = 2/(-j0.1) = j20\ \Omega$ (machine-verified). The symmetry $z_{12} = z_{21}$ היא תנאי הדדיה – נראה במספרים, לא מוסכם – ו-$z_{22} \neq z_{11}$ מעיד על הא-א-סימטריה של החלק L (Y במקום הכניסה). קרא חזרה: כאשר פורט 2 פתוח ($I_{2} = 0$), $V_{1} = j10 I_{1}$ – הזרוע הסדרתית אינה מעבירה זרם, ולכן הכניסה רואה רק את הזרוע המקבילה, $1/Y = 1/(-j0.1) = j10\ \Omega$.

שגיאות נפוצות. סימן של $I_{2}$: ל-ABCD משמש $-I_{2}$ (זרם יוצא מ- כניסת 2); ל-m-פרמטרים משמש הוא נכנס לכניסה — בחר את הקונבנציה והיצמד אליה. כפל קסקדי במסלול שגוי (מכפלת מטריצות אינה קומוטטיבית). ציפייה ל-$z_{12} = z_{21}$ ברשת עם מקורות נשלטים בפנים — הדדיות דורשת ליניאריות ללא מקורות תלויים.

סיכום: הפורטים מסתרים את הפנים; ה-ABCD מתחבר ברצף על ידי כפל (הדדי הדדיות כ-$AD - BC = 1$; הופכה רק באמצעות אלגברה, בדיקה על ידי נקודת הדדיה כ$z_{12} = z_{21}$; להמיר רק על ידי אלגברה, לבדוק על ידי אחת מיומנות ליבה היא מודלינג: בחירת המודל הפשוט ביותר שמענה על