פרי-קלקולוס - AP

מטרות לימוד 1.1.A: לתאר כיצד ערכי הקלט והיציאה של פונקציה משתנים יחד על ידי השוואת ערכי פונקציה.

• 1.1.A.1 פונקציה היא קשר מתמטי שמפתח קבוצה של ערכי קלט לקבוצה של ערכי יציאה כך שכל ערך קלט מופקד בדיוק לערך יציאה אחד. קבוצת ערכי הקלט נקראת תחום ההגדרה של הפונקציה, וקבוצת ערכי היציאה נקראת תחום הערכים של הפונקציה. המשתנה המייצג ערכי קלט נקרא משתנה עצמאי, והמשתנה המייצג ערכי יציאה נקרא משתנה תלוי.
• 1.1.A.2 ערכי הקלט והיציאה של פונקציה משתנים במקביל לפי חוק הפונקציה, שיכול להתבטא גרפית, מספרית, אנליטית או מילולית.
• 1.1.A.3 פונקציה היא עולה בעברן בתחום ההגדרה שלה אם, ככל שערכי הקלט גדלים, ערכי היציאה תמיד גדלים. כלומר, עבור כל $a$ ו-$b$ בעברן, אם $a < b$, אזי $f(a) < f(b)$.
• 1.1.A.4 פונקציה היא יורדת בעברן בתחום ההגדרה שלה אם, ככל שערכי הקלט גדלים, ערכי היציאה תמיד יורדים. כלומר, עבור כל $a$ ו-$b$ בעברן, אם $a < b$, אזי $f(a) > f(b)$.

מטרות לימוד 1.1.B: לבנות גרף המייצג שני גדלים המשתנים זה ביחס לזה בתרחיש הקשרי.

• 1.1.B.1 הגרף של פונקציה מציג סדרת זוגות קלט-יציאה ומראה כיצד ערכי הקלט והיציאה של הפונקציה משתנים.
• 1.1.B.2 תיאור מילולי של אופן השינוי המקביל של היבטים של תופעות יכול לשמש בסיס לבניית גרף.
• 1.1.B.3 הגרף של פונקציה הוא קעור כלפי מעלה בתחומים שבהם קצב השינוי עולה.
• 1.1.B.4 הגרף של פונקציה הוא קעור כלפי מטה בתחומים שבהם קצב השינוי יורד.
• 1.1.B.5 הגרף חותך את ציר ה-$x$ כאשר ערך הפלט הוא אפס. ערכי הקלט המתאימים נקראים אפסים של הפונקציה.

מטרות למידה 1.2.A: השוואת קצבי שינוי בשתי נקודות באמצעות קצבי שינוי ממוצעים בסמוך לנקודות.

• 1.2.A.1 קצב השינוי הממוצע של פונקציה על מרווח בתחום ההגדרה שלה הוא קצב השינוי הקבוע שמייצר את אותו שינוי בערכי הפלט כמו שהפונקציה ייצרה על מרווח זה בתחום ההגדרה שלה. הוא היחס בין השינוי בערכי הפלט לשינוי בערכי הקלט על מרווח זה.
• 1.2.A.2 קצב השינוי של פונקציה בנקודה מכמת את הקצב בו ערכי הפלט היו משתנים אילו ערכי הקלט היו משתנים בנקודה זו. קצב השינוי בנקודה ניתן לקירוב על ידי קצבי השינוי הממוצעים של הפונקציה על מרווחים קטנים המכילים את הנקודה, אם ערכים אלו קיימים.
• 1.2.A.3 ניתן להשוות בין קצבי שינוי בשתי נקודות באמצעות קירובי קצב שינוי ממוצע על מרווחים מספיק קטנים המכילים כל נקודה, אם ערכים אלו קיימים.

מטרות למידה 1.2.B: תיאור כיצד שתי כמויות משתנות יחד בנקודות שונות ועל מרווחים שונים בפונקציה.

• 1.2.B.1 קצבי שינוי מכמתים כיצד שתי כמויות משתנות יחד.
• 1.2.B.2 קצב שינוי חיובי מצביע על כך שכאשר אחת הממויות עולה או יורדת, הממויה האחרת עושה זאת גם כן.
• 1.2.B.3 קצב שינוי שלילי מצביע על כך שכאשר אחת הממויות עולה, הממויה האחרת יורדת.

מטרות למידה 1.3.A: קביעת קצבי השינוי הממוצעים לסדרות ופונקציות, כולל סוגי פונקציות ליניאריות, ריבועיות ואחרות.

• 1.3.A.1 עבור פונקציה ליניארית, קצב השינוי הממוצע על כל מרווח ערך-כניסה בעל אורך הוא קבוע.
• 1.3.A.2 עבור פונקציה ריבועית, קצבי השינוי הממוצעים על מרווחי ערך-כניסה שווי-אורך ברצף יכולים להיות נתונים על ידי פונקציה ליניארית.
• 1.3.A.3 הקצב הממוצע בשיפוע הקטע הסגור $[a, b]$ הוא השיפוע של הקטע המיישר הנמשך מהנקודה $(a, f(a))$ ל-$(b, f(b))$.

מטרת למידה 1.3.B: לקבוע את השינוי בקצבי השינוי הממוצעים עבור פונקציות ליניאריות, ריבועיות וסוגים נוספים של פונקציות.

• 1.3.B.1 עבור פונקציה ליניארית, מכיוון שקצבי השינוי הממוצעים על מרווחי ערך-כניסה שווי-אורך ברצף ניתנים על ידי פונקציה קבועה, קצבי השינוי הממוצעים הללו לפונקציה ליניארית משתנים בקצב של אפס.
• 1.3.B.2 עבור פונקציה ריבועית, מכיוון שקצבי השינוי הממוצעים על מרווחי ערך-כניסה שווי-אורך ברצף ניתנים על ידי פונקציה ליניארית, קצבי השינוי הממוצעים הללו לפונקציה ריבועית משתנים בקצב קבוע.
• 1.3.B.3 כאשר קצב השינוי הממוצע על מרווחי ערך-כניסה שווי-אורך עולה לכל מרווחי האורך הקטנים, הגרף של הפונקציה הוא קעור כלפי מעלה. כאשר קצב השינוי הממוצע על מרווחי ערך-כניסה שווי-אורך יורד לכל מרווחי האורך הקטנים, הגרף של הפונקציה הוא קעור כלפי מטה.

מטרת למידה 1.4.A: לזהות מאפיינים מרכזיים של פונקציות פולינומיאליות הקשורים לקצבי שינוי.

• 1.4.A.1 פונקציית פולינום לא-קבועה בדרגה $x$ היא כל צורה נציגה של פונקציה השווה לצורה האנליטית $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$, כאשר $n$ הוא מספר שלם חיובי, $a_i$ הוא מספר ממשי לכל $i$ בין $1$ ל-$n$, ו-$a_n$ אינו אפס. הפולינום הוא בדרגה $n$, האיבר המוביל הוא $a_n x^n$, והמקדם המוביל הוא $a_n$. קבוע הוא גם פונקציית פולינום בדרגה אפס.
• 1.4.A.2 במקום בו פונקציית פולינום מתחלפת בין עלייה לירידה, או בקצה המכלול הנכלל בפולינום בעל תחום מוגבל, לפונקציית הפולינום יהיה ערך-יציאה מקסימלי או מינימלי מקומי או יחסי. מבין כל המקסימומים המקומיים, הגדול ביותר נקרא גלובלי, או מוחלט. באופן דומה, הקטן מבין כל המינימומים המקומיים נקרא המינימום הגלובלי או המוחלט.
• 1.4.A.3 בין כל שני אפסים ממשיים נפרדים של פונקציית פולינום לא-קבועה, חייב להיות לפחות ערך כניסה אחד המתאים למקסימום מקומי או למינימום מקומי.
• 1.4.A.4 פונקציות פולינומיאליות בדרגה זוגית יהיו להן או מקסימום גלובלי או מינימום גלובלי.
• 1.4.A.5 נקודות קימור (נקודות היפוך) של פונקציית פולינום מתרחשות בערכי כניסה בהם קצב השינוי של הפונקציה משתנה מעלייה לירידה או מירידה לעלייה. הדבר מתרחש כאשר הגרף של פונקציית הפולינום משתנה מקעור כלפי מעלה לקעור כלפי מטה או מקעור כלפי מטה לקעור כלפי מעלה.

מטרת למידה 1.5.A: לזהות מאפיינים מרכזיים של פונקציית פולינום הקשורים לאפסים שלה כאשר מפעילים פירוקים מתאימים או טכנולוגיה.

• 1.5.A.1 אם $a$ הוא מספר מרוכב ו-$p(a) = 0$, אזי $a$ נקרא אפס של פונקציית הפולינום $p$, או שורש של $p(x) = 0$. אם $a$ הוא מספר ממשי, אזי $(x - a)$ הוא גורם ליניארי של $p$ אם ורק אם $a$ הוא אפס של $p$.
• 1.5.A.2 אם גורם ליניארי $(x - a)$ חוזר על עצמו $n$ פעמים, האפס המתאים של פונקציית הפולינום יש לו כפליות $n$. פונקציית פולינום ב-דרגה $n$ יש לה בדיוק $n$ אפסים מרוכבים כאשר סופרים בכפליות.
• 1.5.A.3 אם $a$ הוא שורש אמיתי של פונקציית פולינום $p$,那么 גרף $y = p(x)$ חותך את ציר ה-$x$ בנקודה $(a, 0)$. כתוצאה מכך, שורשים אמיתיים של פולינום יכולים לשמש כנקודות קצה לרוחות המקיימות אי-שוויונים של פולינומים.
• 1.5.A.4 אם $a + bi$ הוא אפס שאינו ממשי של פונקציית פולינום $p$, אזי ה-מרוכב המצומד שלו $a - bi$ הוא גם כן אפס של $p$.
• 1.5.A.5 אם האפס הממשי, $a$, של פונקציה פולינומיאלית בעל ריבוי זוגי, אז סימני ערכי הפלט זהים עבור ערכי קלט בסמוך ל-$x = a$. לפונקציות פולינומיאליות אלו, הגרף יהיה מגע עם ציר ה-$x$ בנקודה $x = a$.
• 1.5.A.6 ניתן למצוא את הדרגה של פונקציה פולינומיאלית על ידי בדיקת ההפרשים העוקבים של ערכי הפלט עבור ערכי קלט במרווחים שווים. הדרגה של הפונקציה הפולינומיאלית שווה לערך הקטן ביותר $n$ עבורו ההפרשים העוקבים בדרגת $n$ הם קבועים.

מטרות למידה 1.5.B: לקבוע האם פונקציה פולינומיאלית היא זוגית או אי-זוגית.

• 1.5.B.1 פונקציה זוגית היא סימטרית גרפית ביחס לקו ה-$x = 0$ ובעלת תכונה אנליטית של $f(-x) = f(x)$. אם $n$ היא זוגית, אז פולינום בצורת $p(x) = a_n x^n$, כאשר $n \geq 1$ ו-$a_n \neq 0$, הוא פונקציה זוגית.
• 1.5.B.2 פונקציה אי-זוגית היא סימטרית גרפית ביחס לנקודה $(0, 0)$ ובעלת תכונה אנליטית של $f(-x) = -f(x)$. אם $n$ היא אי-זוגית, אז פולינום בצורת $p(x) = a_n x^n$, כאשר $n \geq 1$ ו-$a_n \neq 0$, הוא פונקציה אי-זוגית.

מטרות למידה 1.6.A: לתאר התנהגות בקצה של פונקציות פולינומיאליות.

• 1.6.A.1 כשערכי הקלט של פונקציית פולינום לא-קבועה מתגברים ללא גבול, ערכי הפלט יתגברו או יורדו ללא גבול. הסימון המתמטי המתאים הוא $\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty$ או $\lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty$.
• 1.6.A.2 כשערכי הקלט של פונקציית פולינום לא-קבועה יורדים ללא גבול, ערכי הפלט יתגברו או יורדו ללא גבול. הסימון המתמטי המתאים הוא $\lim_{x \to -\infty} p(x) = \infty$ או $\lim_{x \to -\infty} p(x) = -\infty$.
• 1.6.A.3 הדרגה והסימן של האיבר המוביל בפולינום קובעים את התנהגות הקצה של הפונקציה הפולינומיאלית, משום שכשערכי הקלט מתגברים או יורדים ללא גבול, ערכי האיבר המוביל דומיננטיים על ערכי כל האיברים בדרגה נמוכה יותר.

מטרות למידה 1.7.A: לתאר התנהגות בקצה של פונקציות רציונליות.

• 1.7.A.1 פונקציה רציונלית מייצגת אנליטית כמנה של שתי פונקציות פולינומיאליות ומספקת מדד לגודל היחסי של הפונקציה הפולינומיאלית שבמונה בהשוואה לפונקציה הפולינומיאלית במכנה עבור כל ערך בתחום ההגדרה של הפונקציה הרציונלית.
• 1.7.A.2 התנהגות הקצה של פונקציה רציונלית תושפע מהפולינום בעל הדרגה הגבוהה ביותר, מכיוון שערכיו ידומינוטו על ערכי הפונקציה הרציונלית עבור ערכי קלט בגודל גדול. עבור ערכי קלט בגודל גדול, פולינום נשלט על ידי האיבר המוביל שלו. לכן, ניתן להבין את התנהגות הקצה של פונקציה רציונלית על ידי בדיקת המנה המתאימה של האיברים המובילים.
• 1.7.A.3 אם הפולינום במונה דומיננטי על הפולינום במכנה עבור ערכי קלט בגודל גדול, אז המנה של האיברים המובילים היא פולינום לא-קבוע, והפונקציה הרציונלית המקורית יש את התנהגות הקצה של פולינום זה. אם פולינום זה הוא ליניארי, אז לגרף הפונקציה הרציונלית יש אסימפטוטה אלכסונית מקבילה לגרף הישר.
• 1.7.A.4 אם אף אחד מפולינומים בפונקציה רציונלית אינו דומיננטי על השני עבור ערכי קלט בגודל גדול, אז המנה של האיברים המובילים היא קבועה, והקבוע הזה מצביע על מיקום האסימפטוטה האופקית של גרף הפונקציה הרציונלית המקורית.
• 1.7.A.5 אם הפולינום במכנה דומיננטי על הפולינום במונה עבור ערכי קלט בגודל גדול, אז המנה של האיברים המובילים היא פונקציה רציונלית עם קבוע במונה ופולינום לא-קבוע במכנה, וגרף הפונקציה הרציונלית המקורית יש אסימפטוטה אופקית ב-$y = 0$.
• 1.7.A.6 כאשר לגרף של פונקציה רציונלית $r$ יש אסימפטוטה אופקית ב-$y = b$, כאשר $b$ הוא קבוע, ערכי הפלט של הפונקציה הרציונלית מתקרבים באופן שרירותי ל-$b$ ונשארים בקרבה שרירותית ל-$b$ כשערכי הקלט מתגברים או יורדים ללא גבול. הסימון המתמטי המתאים הוא $\lim_{x \to \infty} r(x) = b$ או $\lim_{x \to -\infty} r(x) = b$.

מטרות למידה 1.8.A: לקבוע את האפסים של פונקציות רציונליות.

• 1.8.A.1 האפסים הממשיים של פונקציה רציונלית מתאימים לאפסים הממשיים של המונה עבור ערכים אלו בתחום ההגדרה שלה.
• 1.8.A.2 האפסים הממשיים של שתי הפונקציות הפולינומיאליות של פונקציה רציונלית $r$ הם קצוות או אסימפטוטות לתחומים המקיימים אי-שוויונות של פונקציה רציונלית $r(x) \geq 0$ או $r(x) \leq 0$.

מטרות למידה 1.9.A: קביעת אסימפטוטות אנכיות בגרפים של פונקציות רציונליות.

• 1.9.A.1 אם הערך $a$ הוא אפס ממשי של הפונקציה הפולינומיאלית במכנה של פונקציה רציונלית ואינו גם אפס ממשי של הפונקציה הפולינומיאלית במונה, אזי לגרף של הפונקציה הרציונלית יש אסימפטוטה אנכית בנקודה $x = a$. כמו כן, אסימפטוטה אנכית מתקיימת גם בנקודה $x = a$ אם הרבבות של $a$ כאפס ממשי במכנה גדולה מהרבבות שלה כאפס ממשי במונה.
• 1.9.A.2 בסמוך לאסימפטוטה אנכית $x = a$ של פונקציה רציונלית, הערכים של הפונקציה הפולינומיאלית במכנה נמצאים בקרבה שרירותית לאפס, ולכן ערכי הפונקציה הרציונלית $r$ גדלים או קטנים ללא גבול. הסימון המתמטי המתאים הוא $\lim_{x \to a^+} r(x) = \infty$ או $\lim_{x \to a^+} r(x) = -\infty$ לערכי קלט סמוכים לנקודה $a$ וגדולים מנקודה $a$, וכן $\lim_{x \to a^-} r(x) = \infty$ או $\lim_{x \to a^-} r(x) = -\infty$ לערכי קלט סמוכים לנקודה $a$ וקטנים מנקודה $a$.

מטרת למידה 1.10.A: זיהוי חורים בגרפים של פונקציות רציונליות.

• 1.10.A.1 אם הרבות של אפס אמיתי במכנה היא גדולה או שווה לרבותו במכנה, אזי לגרף הפונקציה הרציונלית יש חור בערך הקלט המתאים.
• 1.10.A.2 אם לגרף של פונקציה רציונלית $r$ יש חור ב-$x = c$, ניתן לקבוע את מיקום החור על ידי בדיקת ערכי הפלט המתאימים לערכי קלט הקרובים מספיק ל-$c$. אם ערכי קלט הקרובים מספיק ל-$c$ מקבלים ערכי פלט הקרובים באופן שרירותי ל-$L$, אזי החור ממוקם בנקודה עם הקואורדינטות $(c, L)$. סימון מתמטי המתאים הוא $\lim_{x \to c} r(x) = L$. יש לציין כי $\lim_{x \to c^-} r(x) = \lim_{x \to c^+} r(x) = \lim_{x \to c} r(x) = L$.

מטרת למידה 1.11.A: כתיבת ביטויים פולינומיאליים ורציונליים בצורות שוות.

• 1.11.A.1 מכיוון שהצורה המופרדת לפולינום או לפונקציה רציונלית מספקת מידע קל על אפסים אמיתיים, היא יכולה לחשוף מידע על חיתוכים עם ציר ה-$x$, אסימפטוטות, חורים, תחום ההגדרה והטווח.
• 1.11.A.2 הצורה הסטנדרטית של פולינום או פונקציה רציונלית יכולה לחשוף מידע על התנהגות הקצה של הפונקציה.
• 1.11.A.3 המידע שמופק מהצגות אנליטיות שונות של אותה פונקציה פולינומיאלית או רציונלית יכול לשמש לתשובה לשאלות בהקשר נתון.

מטרת למידה 1.11.B: חישוב המנה של שתי פונקציות פולינומיאליות באמצעות חילוק ארוך.

• 1.11.B.1 חלוקה ארוכה של פולינומים היא תהליך אלגברי דומה לחלוקה ארוכה מספרית המערבבת מנה ומישאר. אם הפולינום $f$ מחולק בפולינום $g$, אזי $f$ ניתן לכתיבה מחדש כ$f(x) = g(x)q(x) + r(x)$, כאשר $q$ הוא המנה, $r$ הוא המישאר, והדרגה של $r$ קטנה מהדרגה של $g$.
• 1.11.B.2 התוצאה של חילוק ארוך של פולינומים עוזרת במציאת משוואות האסימפטוטות המשופעות עבור גרפים של פונקציות רציונליות.

מטרת למידה 1.11.C: כתיבת כפל חוזר של בינומים באמצעות משפט הבינום.

• 1.11.C.1 משפט הבינום משתמש ברשומות בשורה אחת במשולש פסק להפשטת ביטויים בצורת $(a + b)^n$, כולל פונקציות פולינומיאליות בצורת $p(x) = (x + c)^n$, כאשר $c$ הוא קבוע.

מטרת למידה 1.12.A: בניית פונקציה שהיא טרנספורמציה סכמית ו/או כפלית של פונקציה אחרת.

• 1.12.A.1 הפונקציה $g(x) = f(x) + k$ היא טרנספורמציה סכמית של הפונקציה $f$ המובילה להזזה אנכית של גרף ה-$f$ ב-$k$ יחידות.
• 1.12.A.2 הפונקציה $g(x) = f(x + h)$ היא טרנספורמציה אדיטיבית של הפונקציה $f$ המובילה להזזה אופקית של גרף $f$ ב-$-h$ יחידות.
• 1.12.A.3 הפונקציה $g(x) = a f(x)$, כאשר $a \neq 0$, היא טרנספורמציה כפלית של הפונקציה $f$ המובילה להרחבה אנכית של גרף $f$ בגורם של $|a|$. אם $a < 0$, הטרנספורמציה כוללת סימטריה ביחס לציר ה-$x$.
• 1.12.A.4 הפונקציה $g(x) = f(bx)$, כאשר $b \neq 0$, היא טרנספורמציה כפלית של הפונקציה $f$ המובילה להרחבה אופקית של גרף $f$ בגורם של $\left| \dfrac{1}{b} \right|$. אם $b < 0$, הטרנספורמציה כוללת סימטריה ביחס לציר ה-$y$.
• 1.12.A.5 ניתן לשלב טרנספורמציות אי-אדיטיביות ואי-אדיטיביות, מה שמוביל לשילובים של הזזות אופקיות ואנכיות והרחבות.
• 1.12.A.6 התחום והטווח של פונקציה שהיא טרנספורמציה של פונקציית אם עשויים להיות שונים מאלה של פונקציית אם.

מטרת למידה 1.13.A: זיהוי סוג פונקציה מתאים לבניית דגם פונקציונלי לתרחיש נתון.

• 1.13.A.1 פונקציות ליניאריות מדגמות קבוצות נתונים או היבטים בתרחישים הקשריים המראים קצבי שינוי קבועים לערך.
• 1.13.A.2 פונקציות ריבועיות מדגמות קבוצות נתונים או היבטים בתרחישים הקשריים המראים קצבי שינוי ליניאריים לערך, או קבוצות נתונים המדומות בערך סימטריות עם ערך מקסימום או מינימום ייחודי.
• 1.13.A.3 תרחישים גיאומטריים המעורבים בשטח או בממדים כפולים יכולים לעיתים קרובות להיות מודלים על ידי פונקציות ריבועיות. תרחישים גיאומטריים המעורבים בנפח או בממדים תלת-ממדיים יכולים לעיתים קרובות להיות מודלים על ידי פונקציות קוביות.
• 1.13.A.4 פונקציות פולינומיות מדגמות קבוצות נתונים או תרחישים הקשריים עם מספר רב של אפסים ממשיים או מספר רב של מקסימומים או מינימומים.
• 1.13.A.5 פונקציה פולינומית בדרגה $n$ מדגמת קבוצות נתונים או תרחישים הקשריים המראים הפרשי $n$ מעריכים קבועים לערך שאינם אפס.
• 1.13.A.6 פונקציה פולינומית בדרגה $n$ או פחות יכולה לשמש כדי לדגם גרף של $n + 1$ נקודות עם ערכי קלט שונים זה מזה.
• 1.13.A.7 פונקציה מוגדרת בקטעים מורכבת מאוסף של פונקציות המוגדרות על קטעי תחום שאינם חופפים, והיא שימושית לדגום קבוצת נתונים או תרחיש הקשרי המראה מאפיינים שונים על קטעים שונים.

מטרת למידה 1.13.B: תיאור הנחות ומגבלות הקשורות לבניית דגם פונקציונלי.

• 1.13.B.1 לדגם עשויה להיות הנחות בסיסיות לגבי מה שקבוע בדגם.
• 1.13.B.2 לדגם עשויה להיות הנחות בסיסיות לגבי כיצד כמות משתנה ביחד עם אחרת.
• 1.13.B.3 לדגם עשויה לדרוש מגבלות תחום בהתבסס על רמזים מתמטיים, רמזים הקשריים או ערכים קיצוניים בקבוצת הנתונים.
• 1.13.B.4 לדגם עשויה לדרוש מגבלות טווח, כמו עיגול ערכים, בהתבסס על רמזים מתמטיים, רמזים הקשריים או ערכים קיצוניים בקבוצת הנתונים.

מטרות למידה 1.14.A: בניית מודל פולינומי ליניארי, ריבועי, קובי, רביעי או של מעלה $n$, או מודל פונקציה מוגדרת בקטעים.

• 1.14.A.1 ניתן לבנות מודל על בסיס הגבלות שזוהו בתרחיש מתמטי או בהקשר נתון.
• 1.14.A.2 ניתן לבנות מודל לערכי נתונים או לתרחיש הקשרי באמצעות טרנספורמציות של הפונקציה ההורה.
• 1.14.A.3 ניתן לבנות מודל לערכי נתונים באמצעות טכנולוגיה ושיטות התאמה (regressions), כולל התאמה ליניארית, ריבועית, קובית ורביעית.
• 1.14.A.4 ניתן לבנות מודל פונקציה מוגדרת בקטעים באמצעות שילוב של טכניקות דגום.

מטרות למידה 1.14.B: בניית מודל פונקציה רציונלית על בסיס הקשר נתון.

• 1.14.B.1 ערכי נתונים והיבטים של תרחישים הקשריים המעורבים בכמויות פרופורציוניות הפוכות יכולים לעיתים קרובות להיות מדומים על ידי פונקציות רציונליות. לדוגמה, גדלים של כוח כבידה וכוח אלקטרומגנטי בין גופים הם פרופורציוניים הפוכים לריבוע המרחק ביניהם.

מטרות למידה 1.14.C: יישום מודל פונקציה כדי לענות על שאלות לגבי ערכי נתונים או תרחיש הקשרי.

• 1.14.C.1 ניתן להשתמש במודל כדי להסיק מסקנות לגבי ערכי הנתונים המדומים או התרחיש ההקשרי, כולל מענה לשאלות מרכזיות ולחזות ערכים, קצבי שינוי, קצבי שינוי ממוצעים וקצבי שינוי משתנים. יש לחלץ או להסיק יחידות מידה מתאימות מההקשר הנתון.

מטרות למידה 2.1.A: ביטוי סדרות חשוניות הנמצאות בתרחישים מתמטיים ובתרחישים קונטקסטואליים כפונקציות של המספרים השלמים.

• 2.1.A.1 סדרה היא פונקציה מהמספרים השלמים אל המספרים הממשיים. כתוצאה מכך, הגרף של סדרה מורכב מנקודות בדידות ולא מעקומה.
• 2.1.A.2 איברים עוקבים בסדרה חשונית בעלי הפרש משותף, או קצב שינוי קבוע.
• 2.1.A.3 האיבר הכללי של סדרה חשונית עם הפרש משותף $d$ מסומן על ידי $a_n$ ונתון על ידי $a_n = a_0 + dn$, כאשר $a_0$ הוא הערך ההתחלתי, או על ידי $a_n = a_k + d(n - k)$, כאשר $a_k$ הוא האיבר ה$k$ בסדרה.

מטרות למידה 2.1.B: ביטוי סדרות גיאומטריות הנמצאות בתרחישים מתמטיים ובתרחישים קונטקסטואליים כפונקציות של המספרים השלמים.

• 2.1.B.1 איברים עוקבים בסדרה גיאומטרית בעלי יחס משותף, או שינוי פרופורציונלי קבוע.
• 2.1.B.2 האיבר הכללי של סדרה גיאומטרית עם יחס משותף $r$ מסומן על ידי $g_n$ ונתון על ידי $g_n = g_0 r^n$, כאשר $g_0$ הוא הערך ההתחלתי, או על ידי $g_n = g_k r^{(n-k)}$, כאשר $g_k$ הוא האיבר ה$k$ בסדרה.
• 2.1.B.3 סדרות חשוניות עולות גדלות באופן שווה בכל צעד, בעוד שסדרות גיאומטריות עולות גדלות בכמות גדולה יותר בכל צעד עוקב.

מטרות לימוד 2.2.A: בניית פונקציות של המספרים הממשיים השוות לסידורים אריתמטיים וגיאומטריים.

• 2.2.A.1 פונקציות ליניאריות בצורת $f(x) = b + mx$ דומות לסדרות אריתמטיות בצורת $a_n = a_0 + dn$, שכן שתיהן ניתנות לביטוי כערך התחלתי ($b$ או $a_0$) פלוס חיבור חוזר של קצב שינוי קבוע, השיפוע ($m$ או $d$).
• 2.2.A.2 בדומה לסדרות אריתמטיות בצורה $a_n = a_k + d(n - k)$, המבוססות על הפרש ידוע, $d$, ומונה $k$, פונקציות ליניאריות ניתן לבטא בצורה $f(x) = y_i + m(x - x_i)$ המבוססת על שיפוע ידוע, $m$, ונקודה, $(x_i, y_i)$.
• 2.2.A.3 פונקציות אקספוננציאליות בצורת $f(x) = ab^x$ דומות לסדרות גיאומטריות בצורת $g_n = g_0 r^n$, שכן שתיהן ניתנות לביטוי כערך התחלתי ($a$ או $g_0$) כפול כפל חוזר של פרופורציה קבועה ($b$ או $r$).
• 2.2.A.4 כפי שסדרות גיאומטריות של צורה $g_n = g_k r^{(n-k)}$, המבוססות על יחס ידוע, $r$, ומונע $k$-י, פונקציות מעריכיות יכולות להיות מיוצגות בצורה $f(x) = y_i r^{(x - x_i)}$ המבוססת על יחס ידוע, $r$, ונקודה, $(x_i, y_i)$.
• 2.2.A.5 לסדרות ולפונקציות המתאימות להן עשויה להיות תחום הגדרה שונה.

מטרת הלמידה 2.3.A: זיהוי מאפיינים מרכזיים של פונקציות מעריכיות.

• 2.3.A.1 הצורה הכללית של פונקציה מעריכית היא $f(x) = ab^x$, עם הערך ההתחלתי $a$, כאשר $a \neq 0$, והבסיס $b$, כאשר $b > 0$, ו$b \neq 1$. כאשר $a > 0$ ו$b > 1$, הפונקציה המעריכית נחשבת המדגימה צמיחה מעריכית. כאשר $a > 0$ ו$0 < b < 1$, הפונקציה המעריכית נחשבת המדגימה דעיכה מעריכית.
• 2.3.A.2 כאשר המספרים הטבעיים הם ערכי הקלט בפונקציה מעריכית, ערך הקלט קובע את מספר הגורמים מבסיס שהושתקו בערך ההתחלתי של הפונקציה. תחום ההגדרה של פונקציה מעריכית הוא כל המספרים הממשיים.
• 2.3.A.3 מכיוון שערכי הפלט של פונקציות מעריכיות בצורה הכללית פרופורציונליים על פני רווחי ערכי קלט בעלי אורך שווה, פונקציות מעריכיות תמיד עולות או תמיד יורדות, וגרפים שלהן תמיד קעורים כלפי מעלה או תמיד קעורים כלפי מטה. כתוצאה מכך, לפונקציות מעריכיות אין מקסים מינימלי/מקסימום מוחלט מלבד ברווח סגור, וגרפים שלהן אינם מכילים נקודות היפוך.
• 2.3.A.4 אם ערכי פונקציית ההמרה האדיטיבית $g(x) = f(x) + k$ של כל פונקציה $f$ הם פרופורציונליים על פני מרווחי ערכי קלט בעלי אורך שווה, אזי $f$ הוא מעריכי.

**מטרת הלמידה 2.4.A:**改写 פונקציות מעריכיות לצורות שקולות.

• 2.4.A.1 תכונת הכפלה למעריכים קובעת כי $b^m b^n = b^{(m+n)}$. גרפית, תכונה זו מצביעה על כך שכל הזזת אופקית של פונקציה מעריכית, $f(x) = b^{(x+k)}$, שקולה להרחבה אנכית, $f(x) = b^{(x+k)} = b^x b^k = ab^x$, כאשר $a = b^k$.
• 2.4.A.2 תכונת החזקה למעריכים קובעת כי $\left(b^m\right)^n = b^{(mn)}$. גרפית, תכונה זו מצביעה על כך שכל הרחבה אופקית של פונקציה מעריכית, $f(x) = b^{(cx)}$, שקולה לשינוי בבסיס של פונקציה מעריכית, $f(x) = \left(b^c\right)^x$, כאשר $b^c$ הוא קבוע ו$c \neq 0$.
• 2.4.A.3 תכונת המעריך השלילי קובעת כי $b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$.
• 2.4.A.4 הערך של ביטוי מעריכי המכיל שבר יחיד מעריכי, כמו $b^{(1/k)}$ כאשר $k$ הוא מספר טבעי, הוא השורש ה$k$-י של $b$, כאשר הוא קיים.

מטרת הלמידה 2.5.A: בניית מודל למצבים המכילים ערכי פלט פרופורציונליים על פני רווחי ערכי קלט בעלי אורך שווה.

• 2.5.A.1 פונקציות מעריכיות מדגשות דפוסי גידול שבהם ערכי פלט רצופים על פני רווחי ערכי קלט בעלי אורך שווה הם פרופורציונליים. כאשר ערכי הקלט הם מספרים שלמים, פונקציות מעריכיות מדגשות מצבים של הכפלה חוזרת של קבוע לערך התחלתי.
• 2.5.A.2 ייתכן שיש להוסיף קבוע לערכי משתנה התלוי במ数据集 כדי לחשוף דפוס גידול פרופורציונלי.
• 2.5.A.3 ניתן לבנות מודל פונקציה מעריכית מתוך יחס מתאים וערך התחלתי, או מתוך שני זוגות קלט-פלט. את הערך ההתחלתי והבסיס ניתן למצוא על ידי פתרון מערכת משוואות הנובעת משני זוגות הקלט-פלט.
• 2.5.A.4 ניתן לבנות מודלים לפונקציות מעריכיות על ידי יישום טרנספורמציות ל $f(x) = ab^x$ בהתבסס על מאפיינים של תרחיש רלוונטי או ערכי נתונים.
• 2.5.A.5 ניתן לבנות מודלים לפונקציות מעריכיות עבור סט נתונים באמצעות טכנולוגיה, על בסיס רגרסיה מעריכית.
• 2.5.A.6 הבסיס הטבעי $e$, השווה בקירוב ל $2.718$, משמש לעיתים קרובות כבסיס בפונקציות מעריכיות המדגמות תרחישים רלוונטיים.

מטרות לימוד 2.6.A: בניית מודלים ליניאריים, ריבועיים ומעריכיים על בסיס סט נתונים.

• 2.6.A.1 שני משתנים בסט נתונים המציגים קצב שינוי משתנה מעט יכולים להיות מדומים על ידי מודלים לפונקציות ליניאריות, ריבועיות ומעריכיות.
• 2.6.A.2 ניתן להשוות בין מודלים בהתבסס על רמזים מהתרחיש הרלוונטי וביצועיות כדי לקבוע איזה מודל הוא המתאים ביותר.

מטרות לימוד 2.6.B: אימות מודל שנבנה מסט נתונים.

• 2.6.B.1 מודל נחשב מתאים לסט נתונים אם גרף שאריות הרגרסיה, כלומר גרף האשריות, מוצג ללא דפוס.
• 2.6.B.2 ההפרש בין הערכים המנובאים לערכים האמיתיים הוא השגיאה במודל. בהתבסס על סט הנתונים והתרחיש, עשוי להיות יותר מתאים להשיג הערכת חיסרון או הערכת יתר לכל מרווח נתון.

מטרות לימוד 2.7.A: חישוב הרכבה של שתי פונקציות או יותר עבור ערכים נתונים.

• 2.7.A.1 אם $f$ ו $g$ הן פונקציות, הפונקציה המורכבת $f \circ g$ מפתחת סט של ערכי קלט לסט של ערכי פלט כך שערכי הפלט של $g$ משמשים כערכי קלט של $f$. מטעם זה, התחום של הפונקציה המורכבת מוגבל לערכי הקלט של $g$ עבורם ערך הפלט המתאים נמצא בתחום ההגדרה של $f$. $(f \circ g)(x)$ ניתן גם לייצג כ $f(g(x))$.
• 2.7.A.2 ניתן לחשב או להעריך ערכים עבור הפונקציה המורכבת $f \circ g$ מתוך הייצוג הגרפי, הדידקטי, האנליטי או הלקוני של $f$ ו $g$, על ידי שימוש בערכי הפלט של $g$ כערכי קלט עבור $f$.
• 2.7.A.3 הרכבת פונקציות אינה קומוטטיבית; כלומר, $f \circ g$ ו $g \circ f$ הן בדרך כלל פונקציות שונות; ולכן, $f(g(x))$ ו $g(f(x))$ הן בדרך כלל ערכים שונים.
• 2.7.A.4 אם הפונקציה $f(x) = x$ מורכבת עם כל פונקציה אחרת $g$, הפונקציה המורכבת התוצרת היא זהה ל $g$; כלומר, $g(f(x)) = f(g(x)) = g(x)$. הפונקציה $f(x) = x$ נקראת פונקציה זהות. כאשר מרכיבים שתי פונקציות, הפונקציה הזהות פועלת באותו אופן כמו $0$, המזהה החיובי, בהוספת שני מספרים, ו $1$, המזהה הכפילתי, בהכפלת שני מספרים.

מטרות לימוד 2.7.B: בניית ייצוג של הרכבה של שתי פונקציות או יותר.

• 2.7.B.1 הרכבת פונקציות שימושית לקישור בין שני גדלים שאינם קשורים ישירות באמצעות נוסחה קיימת.
• 2.7.B.2 כאשר ישנם ייצוגים אנליטיים של הפונקציות $f$ ו $g$, ניתן לבנות ייצוג אנליטי של $f(g(x))$ על ידי הצבת $g(x)$ בכל מקרה של $x$ ב $f$.
• 2.7.B.3 ניתן לבנות לעיתים קרובות נציגה מספרית או גרפית של $f \circ g$ על ידי חישוב או הערכת ערכים עבור $(x, f(g(x)))$.

מטרת למידה 2.7.C: לחדש פונקציה נתונה כהרכבה של שתי פונקציות או יותר.

• 2.7.C.1 פונקציות הנתונות אנליטית יכולות לעיתים להיפרד לפונקציות פשוטות יותר. כאשר הפירוק בוצע בצורה הנכונה, המשתנה בפונקציה אחת צריך להחליף כל מופע של הפונקציה שבה הוא הורכב.
• 2.7.C.2 טרנספורמציה אדיטיבית של פונקציה, $f$, המובילה לתרגול אנכי ואופקי, ניתנת להבנה כהרכבה של $g(x) = x + k$ עם $f$.
• 2.7.C.3 טרנספורמציה מכפלתיתית של פונקציה, $f$, המובילה לקפיאה ודילטציה אנכיים ואופקיים, ניתנת להבנה כהרכבה של $g(x) = kx$ עם $f$.

מטרת למידה 2.8.A: לקבוע זוגות קלט-פלט ההפוך של פונקציה.

• 2.8.A.1 בתחום מוגדר ספציפי, לפונקציה, $f$, יש פונקציה הפוכה, או שהיא הופכת, אם כל ערך פלט של $f$ מקודד מערך קלט ייחודי. ניתן להגביר את תחום הפונקציה בדרכים רבות כדי להפוך אותה להפכה.
• 2.8.A.2 פונקציה הפוכה ניתן לחשוב עליה כהפך הקידוד של הפונקציה. פונקציה הפוכה, $f^{-1}$, מקידדת את ערכי הפלט של פונקציה, $f$, בתחומה ההפוך, לערכי הקלט המתאימים שלהן; כלומר, אם $f(a) = b$, אז $f^{-1}(b) = a$. חלופתית, בתחומה ההפוך, אם פונקציה מורכבת מזוגות קלט-פלט $(a, b)$, אזי הפונקציה ההפוכה מורכבת מזוגות קלט-פלט $(b, a)$.

מטרת למידה 2.8.B: לקבוע את ההפוך של פונקציה בתחום הפוך.

• 2.8.B.1 ההרכבה של פונקציה, $f$, והפונקציה ההפוכה שלה, $f^{-1}$, היא הפונקציה הזהות; כלומר, $f\left(f^{-1}(x)\right) = f^{-1}(f(x)) = x$.
• 2.8.B.2 בתחום ההפוך של פונקציה, התחום והטווח שלה הם, בהתאמה, הטווח והתחום של הפונקציה ההפוכה. ניתן למצוא את ההפוך של טבלת הערכים של $y = f(x)$ על ידי הפיכת זוגות הקלט-פלט; כלומר, $(a, b)$ מתאים ל$(b, a)$.
• 2.8.B.3 ניתן למצוא את ההפוך של הגרף של הפונקציה $y = f(x)$ על ידי הפיכת התפקידים של ציר ה-$x$ וציר ה-$y$; כלומר, על ידי השתקפות הגרף של הפונקציה לאורך גרף הפונקציה זהות $h(x) = x$.
• 2.8.B.4 ניתן למצוא את ההפוך של הפונקציה על ידי קביעת הפעולות ההפוכות להפוך את הקידוד. שיטה אחת למצוא את ההפוך של הפונקציה $f$ היא להפוך את התפקידים של $x$ ו$y$ במשוואה $y = f(x)$, ולאחר מכן לפתור עבור $y = f^{-1}(x)$.
• 2.8.B.5 בנוסף להגבלת תחום הפונקציה כדי לקבל פונקציה הפוכה, הגבלות הקשרי גם הן עשויות להגביל את הרלוונטיות של פונקציה הפוכה.

מטרת למידה 2.9.A: לחשב ביטויים לוגריתמיים.

• 2.9.A.1 הביטוי הלוגריתמי $\log_b c$ שווה, או מייצג, את הערך שבו הבסיס $b$ חייב להיות מוגבה בחזקה אקספוננציאלית כדי לקבל את הערך $c$. כלומר, $\log_b c = a$ אם ורק אם $b^a = c$, כאשר $a$ ו$c$ הם קבועים, $b > 0$, ו$b \neq 1$. (כאשר הבסיס של ביטוי לוגריתמי אינו מצוין, הוא נחשב כלוגריתם רגיל עם בסיס של $10$)
• 2.9.A.2 ערכים של כמה ביטויים לוגריתמיים נגישים בקלות באמצעות אריתמטיקה בסיסית, בעוד שערכים אחרים יכולים להתערכה באמצעות שימוש בטכנולוגיה.
• 2.9.A.3 בקנה מידה לוגריתמי, כל יחידה מייצגת שינוי מכפלתיתית של בסיס הלוגריתם. לדוגמה, בקנה מידה סטנדרטי, היחידות עשויות להיות $0, \; 1, \; 2, \; \ldots$, בעוד שבקנה מידה לוגריתמי, בשימוש בבסיס לוגריתם $10$, היחידות עשויות להיות $10^0, \; 10^1, \; 10^2, \; \ldots$.

מטרות למידה 2.10.A: בניית תمثילים של ההפוך של פונקציה אקספוננציאלית עם ערך התחלתי של 1.

• 2.10.A.1 הצורה הכללית של פונקציה לוגריתמית היא $f(x) = a\log_b x$, עם בסיס $b$, כאשר $b > 0$, $b \neq 1$ ו$a \neq 0$.
• 2.10.A.2 האופן שבו ערכי קלט וערכי פלט משתנים יחדיו הוא יחס הפוך בפונקציות אקספוננציאליות ולוגריתמיות. ערכי הפלט של פונקציות אקספוננציאליות בצורה כללית משתנים פרופורציונלית כאשר ערכי הקלט גדלים בטווחים בעלי אורך שווה. עם זאת, ערכי הקלט של פונקציות לוגריתמיות בצורה כללית משתנים פרופורציונלית כאשר ערכי הפלט גדלים בטווחים בעלי אורך שווה. לחלופין, צמיחה אקספוננציאלית מאופיינת בערכי פלט המשנים את עצמם כפילתית כאשר ערכי הקלט משנים את עצמם באופן אדיטיבי, בעוד שצמיחה לוגריתמית מאופיינת בערכי פלט המשנים את עצמם אדיטיבית כאשר ערכי הקלט משנים את עצמם כפילתית.
• 2.10.A.3 $f(x) = \log_b x$ ו$g(x) = b^x$, כאשר $b > 0$ ו$b \neq 1$, הן פונקציות הפוכות זו לזו. כלומר, $g(f(x)) = f(g(x)) = x$.
• 2.10.A.4 הגרף של הפונקציה הלוגריתמית $f(x) = \log_b x$, כאשר $b > 0$ ו-$b \neq 1$, הוא השתקפות הגרף של הפונקציה האקספוננציאלית $g(x) = b^x$, כאשר $b > 0$ ו-$b \neq 1$, ביחס לגרף פונקציית הזהות $h(x) = x$.
• 2.10.A.5 אם $(s, \; t)$ הוא זוג מסודר של הפונקציה האקספוננציאלית $g(x) = b^x$, כאשר $b > 0$ ו-$b \neq 1$, אזי $(t, \; s)$ הוא זוג מסודר של הפונקציה הלוגריתמית $f(x) = \log_b x$, כאשר $b > 0$ ו-$b \neq 1$.

מטרות לימוד 2.11.A: זיהוי מאפיינים מרכזיים של פונקציות לוגריתמיות.

• 2.11.A.1 תחום ההגדרה של פונקציה לוגריתמית בצורה כללית הוא כל המספרים הממשיים הגדולים מאפס, והטווח שלה הוא כל המספרים הממשיים.
• 2.11.A.2 מכיוון שפונקציות לוגריתמיות הן ההופכות של פונקציות אקספוננציאליות, פונקציות לוגריתמיות הן גם תמיד עולות או תמיד יורדות, וגרפים שלהן הם או תמיד קעורים כלפי מעלה או תמיד קעורים כלפי מטה. כתוצאה מכך, לפונקציות לוגריתמיות אין נקודות קיצון אלא בתחום סגור, וגרפים שלהן אינם כוללים נקודות חילוף.
• 2.11.A.3 פונקציית ההמרה האדיטיבית $g(x) = f(x + k)$, כאשר $k \neq 0$, של פונקציה לוגריתמית $f$ בצורה כללית אינה בעלת ערכי קלט פרופורציונליים על פני רווחי ערך יציאת באורך שווה. עם זאת, אם ערכי הקלט של פונקציית ההמרה האדיטיבית, $g(x) = f(x + k)$, של כל פונקציה $f$ הם פרופורציונליים על פני רווחי ערך יציאה באורך שווה, אזי $f$ היא לוגריתמית.
• 2.11.A.4 עם תחום הגדרה מוגבל, פונקציות לוגריתמיות בצורה כללית הן אספטוטיות אנכית ל-$x = 0$, עם התנהגות בסיום שאינה מוגבלת. כלומר, עבור פונקציית לוגריתם בצורה כללית, $\lim\limits_{x \to 0^+} a\log_b x = \pm\infty$ ו-$\lim\limits_{x \to \infty} a\log_b x = \pm\infty$.

מטרות לימוד 2.12.A: כתיבת ביטויים לוגריתמיים בצורות שקולות.

• 2.12.A.1 משפט המכפלה ללוגריתמים קובע כי $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$. גרפית, משפט זה מצביע על כך שכל הרחבה אופקית של פונקציה לוגריתמית, $f(x) = \log_b(kx)$, שקולה להזזה אנכית, $f(x) = \log_b(kx) = \log_b k + \log_b x = a + \log_b x$, כאשר $a = \log_b k$.
• 2.12.A.2 משפט החזקה ללוגריתמים קובע כי $\log_b x^n = n\log_b x$. גרפית, משפט זה מצביע על כך שהרמת הקלט של פונקציה לוגריתמית לחזקה, $f(x) = \log_b x^k$, מובילה להרחבה אנכית, $f(x) = \log_b x^k = k\log_b x$.
• 2.12.A.3 משפט שינוי הבסיס ללוגריתמים קובע כי $\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$, כאשר $a > 0$ ו-$a \neq 1$. משפט זה מצביע על כך שכל הפונקציות הלוגריתמיות הן הרחבות אנכיות זו של זו.
• 2.12.A.4 הפונקציה $f(x) = \ln x$ היא פונקציה לוגריתמית עם בסיס טבעי $e$; כלומר, $\ln x = \log_e x$.

מטרות לימוד 2.13.A: פתרון משוואות ואי-שוויונות אקספוננציאליים ולוגריתמיים.

• 2.13.A.1 ניתן להשתמש במאפייני חזקות, מאפייני לוגריתמים ובקשר ההופכי בין פונקציות אקספוננציאליות ולוגריתמיות כדי לפתור משוואות ואי-שוויונים המכילים חזקות ולוגריתמים.
• 2.13.A.2 בפתרון משוואות אקספוננציאליות ולוגריתמיות שמצאו דרך שיטות אנליטיות או גרפיות, יש לבדוק את התוצאות בנוגע לפתרונים חיצוניים שנשללו בגלל מגבלות מתמטיות או קונטקסטואליות.
• 2.13.A.3 לוגריתמים יכולים לשמש כדי לקבוע מחדש ביטויים המכילים פונקציות אקספוננציאליות בדרכים שונות שעשו לחשוף מידע מועיל. ספציפית, $b^x = c^{(\log_c b)(x)}$.

מטרות לימוד 2.13.B: בניית פונקציית ההופך לפונקציות אקספוננציאליות ולוגריתמיות.

• 2.13.B.1 הפונקציה $f(x) = ab^{(x-h)} + k$ היא שילוב של תמורות חיבוריות לפונקצייה אקספוננציאלית בצורה כללית. ההופך של $y = f(x)$ ניתן למצוא על ידי קביעת הפעולות ההופכות כדי להפיך את ההתאמה.
• 2.13.B.2 הפונקציה $f(x) = a\log_b(x - h) + k$ היא שילוב של תמורות חיבוריות לפונקצייה לוגריתמית בצורה כללית. ההופך של $y = f(x)$ ניתן למצוא על ידי קביעת הפעולות ההופכות כדי להפיך את ההתאמה.

מטרות לימוד 2.14.A: בניית דגם פונקציה לוגריתמית.

• 2.14.A.1 פונקציות לוגריתמיות הן הופכים של פונקציות אקספוננציאליות ויכולות לשמש לדגום מצבים המעורבים בצמיחה פרופורציונלית, או כפל חוזר, כאשר ערכי הכניסה משתנים פרופורציונלית בתוך מרווחים בעלי אורך שווה של ערכי התוצאה. לחלופין, אם ערך התוצאה הוא מספר שלם, הוא מעיד על כמה פעמים הערך ההתחלתי הוכפל בפרופורציה.
• 2.14.A.2 דגם פונקציה לוגריתמית ניתן לבנות מהפרופורציה המתאימה ואפס אמיתי, או מזוג זוגות כניסה-תוצאה.
• 2.14.A.3 דגמי פונקציות לוגריתמיות יכולים לבנות על ידי יישום תמורות ל-$f(x) = a\log_b x$ בהתבסס על מאפיינים של הקשר או סט נתונים.
• 2.14.A.4 דגמי פונקציות לוגריתמיות יכולים לבנות עבור סט נתונים באמצעות טכנולוגיה, בעזרת רגרסיה לוגריתמית.
• 2.14.A.5 פונקציית הלוגריתם הטבעי לעיתים קרובות שימושית בדגום תופעות בעולם האמיתי.
• 2.14.A.6 דגמי פונקציות לוגריתמיים יכולים לשמש לחיזוי ערכים למשתנה התלוי.

מטרות לימוד 2.15.A: קביעה האם דגם אקספוננציאלי מתאים על ידי בדיקת גרף סמי-לוגריתמי של סט נתונים.

• 2.15.A.1 במגרע סמי-לוגריתמי, אחד הצירים מדורג לוגריתמית. כאשר ציר ה-$y$ במגרע סמי-לוגריתמי מדורג לוגריתמית, נתונים או פונקציות המראות מאפיינים אקספוננציאליים ייראו כקוויים.
• 2.15.A.2 יתרון הגרפים הסמי-לוגריתמיים הוא שאינו נדרש להוסיף קבוע לערכי המשתנה התלוי כדי לגלות שהדגם האקספוננציאלי מתאים.

מטרות לימוד 2.15.B: בניית ליניארית של נתונים אקספוננציאליים.

• 2.15.B.1 טכניקות המשמשות לדגום פונקציות ליניאריות יכולות להיות מיושמות על גרף סמי-לוגריתמי.
• 2.15.B.2 עבור דגם אקספוננציאלי בצורת $y = ab^x$, הדגם הליניארי המתאים לגרף הסמי-לוגריתמי הוא $y = (\log_n b)x + \log_n a$, כאשר $n > 0$ ו-$n \neq 1$. במיוחד, קצב השינוי הליניארי הוא $\log_n b$, והערך ההתחלתי הליניארי הוא $\log_n a$.

מטרת הלמידה 3.1.A: בניית גרפים של קשרים מחזוריים על בסיס ייצוגים מילוליים.

• 3.1.A.1 ניתן לזהות קשר מחזורי בין שני היבטים של הקשר אם, כאשר ערכי הקלט עולים, ערכי הפלט מראים דפוס חוזר בתוך פרקי אורך שווה רצופים.
• 3.1.A.2 ניתן לבנות את הגרף של קשר מחזורי מתוך הגרף של מחזור אחד בלבד של הקשר.

מטרת הלמידה 3.1.B: תיאור מאפיינים מרכזיים של פונקציה מחזורית על בסיס ייצוג מילולי.

• 3.1.B.1 התקופה של הפונקציה היא הערך החיובי הקטן ביותר $k$ כך ש$f(x + k) = f(x)$ לכל $x$ בתחום ההגדרה. מכאן, התנהגותה של פונקציה מחזורית נקבעת במלואה על ידי כל פרק בעל רוחב $k$.
• 3.1.B.2 ניתן להעריך את התקופה על ידי בדיקת ערכי פלט רצופים בעלי אורך שווה וזיהוי הנקודה בה הדפוס מתחיל לחזור על עצמו.
• 3.1.B.3 פונקציות מחזוריות לוקחות מאפיינים של פונקציות אחרות, כמו פרקי עלייה וירידה, קמבויות שונות ומשכי שינוי מגוונים. עם זאת, בפונקציות מחזוריות, כל המאפיינים שנמצאים במחזור אחד של הפונקציה יהיו קיימים בכל מחזור של הפונקציה.

מטרת למידה 3.2.A: לקבוע את הסינוס, הקוסינוס והטנגנס של זווית באמצעות המעגל היחידתי.

• 3.2.A.1 במישור הקואורדינטי, זווית נמצאת במיקום סטנדרטי כאשר הצומת חופף עם הראשית וקרין אחד חופף עם הציר החיובי $x$. הקרין השני נקרא הקרין הסופי. מידות זווית חיוביות ושליליות מציינות סיבובים מהציר החיובי $x$ בכיוון נגד כיוון השעון ובכיוון השעון בהתאמה. זוויות במיקום סטנדרטי השונות בקרין הסופי שלהן נבדלות במספר שלם של סיבובים.
• 3.2.A.2 מידת הרדיאן של זווית במיקום סטנדרטי היא היחס בין אורך הקשת של מעגל הממוקם במרכזו הראשית ומותח על ידי הזווית לבין הרדיוס של אותו מעגל. עבור מעגל יחידתי, שרדיוסו $1$, מידת הרדיאן זהה לאורך הקשת המותחת.
• 3.2.A.3 נתונה זווית במיקום סטנדרטי ומעגל הממוקם במרכזו הראשית, קיים נקודה, $P$, בה הקרין הסופי חותך את המעגל. הסינוס של הזווית הוא היחס בין ההזזה האנכית של $P$ מהציר $x$ לבין המרחק בין הראשית לנקודה $P$. לכן, עבור מעגל יחידתי, הסינוס של הזווית הוא הקואורדינטה ה-$y$ של הנקודה $P$.
• 3.2.A.4 נתונה זווית במיקום סטנדרטי ומעגל הממוקם במרכזו הראשית, קיים נקודה, $P$, בה הקרין הסופי חותך את המעגל. הקוסינוס של הזווית הוא היחס בין ההזסה האופקית של $P$ מהציר $y$ לבין המרחק בין הראשית לנקודה $P$. לכן, עבור מעגל יחידתי, הקוסינוס של הזווית הוא הקואורדינטה ה-$x$ של הנקודה $P$.
• 3.2.A.5 נתונה זווית במיקום סטנדרטי, הטנגנס של הזווית הוא השיפוע, אם קיים, של הקרין הסופי. מכיוון ששיפוע הקרין הסופי הוא היחס בין ההזסה האנכית להזסה האופקית בכל תחום, הטנגנס של הזווית הוא היחס בין הקואורדינטה ה-$y$ לקואורדינטה ה-$x$ של הנקודה בה הקרין הסופי חותך את המעגל היחידתי; לחלופין, הוא היחס בין הסינוס של הזווית לקוסינוס שלה.

מטרת למידה 3.3.A: לקבוע קואורדינטות של נקודות במעגל הממוקם במרכזו הראשית.

• 3.3.A.1 נתונה זווית במידה $\theta$ במיקום סטנדרטי ומעגל ברדיוס $r$ הממוקם במרכזו הראשית, קיים נקודה, $P$, בה הקרין הסופי חותך את המעגל. הקואורדינטות של הנקודה $P$ הן $(r\cos\theta, r\sin\theta)$.
• 3.3.A.2 גיאומטריה של משולשים שווים-שוקיים ושווי-צדדים, תוך התחשבות בסימני הערכים בהתבסס על הרביע בו נמצא הזווית, יכולה לשמש למציאת ערכים מדויקים לקוסינוס ולסינוס של זוויות שהן כפלות של $\dfrac{\pi}{4}$ ו$\dfrac{\pi}{6}$ רדיאנים, כאשר הקרניים הסופיות שלהן אינן נמצאות על ציר.

מטרות לימוד 3.4.A: בניית מייצוגים לפונקציית הסינוס והקוסינוס באמצעות המעגל היחידתי.

• 3.4.A.1 נתונה זווית בגודל $\theta$ במיקום סטנדרטי ומעגל יחידתי שמרכזו בראשית, קיים נקודה, $P$, בה הקרן הסופית חוצה את המעגל. פונקציית הסינוס, $f(\theta) = \sin\theta$, נותנת את הקואורדינטה ה$y$, או ההזזה האנכית מה$x$-ציר, של הנקודה $P$. תחום ההגדרה של פונקציית הסינוס הוא כל המספרים הממשיים.
• 3.4.A.2 כאשר ערכי הקלט, או מידות הזווית, של פונקציית הסינוס עולים, ערכי הפלט מתנודדים בין $-1$ ל$1$, לוקחים כל ערך ביניהם ועוקבים אחרי המרחק האנכי של נקודות על המעגל היחידתי מה$x$-ציר.
• 3.4.A.3 נתונה זווית בגודל $\theta$ במיקום סטנדרטי ומעגל יחידתי שמרכזו בראשית, קיים נקודה, $P$, בה הקרן הסופית חוצה את המעגל. פונקציית הקוסינוס, $f(\theta) = \cos\theta$, נותנת את הקואורדינטה ה$x$, או ההזזה האופקית מה$y$-ציר, של הנקודה $P$. תחום ההגדרה של פונקציית הקוסינוס הוא כל המספרים הממשיים.
• 3.4.A.4 כאשר ערכי הקלט, או מידות הזווית, של פונקציית הקוסינוס עולים, ערכי הפלט מתנודדים בין $-1$ ל$1$, לוקחים כל ערך ביניהם ועוקבים אחרי המרחק האופקי של נקודות על המעגל היחידתי מה$y$-ציר.

מטרות לימוד 3.5.A: זיהוי מאפיינים מרכזיים של פונקציית הסינוס והקוסינוס.

• 3.5.A.1 פונקציה סינוסואידלית היא כל פונקציה המכילה טרנספורמציות חיבוריות וכפליות של $f(\theta) = \sin\theta$. פונקציית הסינוס והקוסינוס הן שתי פונקציות סינוסואידליות, עם $\cos\theta = \sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$.
• 3.5.A.2 התקופה והתדר של פונקציה סינוסואידלית הם הדדיים. התקופה של $f(\theta) = \sin\theta$ ו$g(\theta) = \cos\theta$ היא $2\pi$, והתדר הוא $\dfrac{1}{2\pi}$.
• 3.5.A.3 המשרעת של פונקציה סינוסואידלית היא חצי ההפרש בין ערכיה המקסימלי למינימלי. המשרעת של $f(\theta) = \sin\theta$ ו$g(\theta) = \cos\theta$ היא $1$.
• 3.5.A.4 הקו האמצעי של הגרף של פונקציה סינוסואידלית נקבע על ידי הממוצע האריתמטי של ערכיה המקסימלי והמינימלי. הקו האמצעי של גרפי $y = \sin\theta$ ו$y = \cos\theta$ הוא $y = 0$.
• 3.5.A.5 כאשר ערכי הקלט עולים, גרפי פונקציות סינוסואידליות מתנודדים בין קעורה כלפי מטה לקעורה כלפי מעלה.
• 3.5.A.6 לגרף של $y = \sin\theta$ יש סימטריה סיבובית סביב הראשית ולכן זוהי פונקציה זוגית. לגרף של $y = \cos\theta$ יש סימטריה השתקפותית סביב ה$y$-ציר ולכן זוהי פונקציה זוגית.

מטרות לימוד 3.6.A: זיהוי המשרעת, ההזזה האנכית, התקופה וההזזה הפאזית של פונקציה סינוסואידלית.

• 3.6.A.1 פונקציות שניתן לכתוב בצורה $f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ או $g(\theta) = a\cos(b(\theta + c)) + d$, כאשר $a, b, c,$ ו$d$ הם מספרים ממשיים ו$a \neq 0$, הן פונקציות סינוסואידליות והן טרנספורמציות של פונקציית הסינוס והקוסינוס. טרנספורמציות חיבוריות וכפליות זהות עבור שתי הפונקציות מכיוון שפונקציית הקוסינוס היא הזזת פאזה של פונקציית הסינוס ב$-\dfrac{\pi}{2}$ יחידות.
• 3.6.A.2 הגרף של הטרנספורמציה החיבורית $g(\theta) = \sin\theta + d$ של פונקציית הסינוס $f(\theta) = \sin\theta$ הוא העתקה אנכית של הגרף של $f$, כולל הקו האמצעי שלו, ב$d$ יחידות. אותה טרנספורמציה של פונקציית הקוסינוס מניבה את אותו תוצאה.
• 3.6.A.3 הגרף של הטרנספורמציה החיבורית $g(\theta) = \sin(\theta + c)$ של פונקציית הסינוס $f(\theta) = \sin\theta$ הוא העתקה אופקית, או הזזת פאזה, של הגרף של $f$ ב$-c$ יחידות. אותה טרנספורמציה של פונקציית הקוסינוס מניבה את אותו תוצאה.
• 3.6.A.4 הגרף של ההכפלה המכפלת $g(\theta) = a\sin\theta$ של פונקציית הסינוס $f(\theta) = \sin\theta$ הוא הרחבה אנכית של הגרף של $f$ ונבדל בהתאמה (אמפליטודה) בגורם של $|a|$. אותה הכפלה של פונקציית הקוסינוס נותנת את אותו תוצאה.
• 3.6.A.5 הגרף של ההכפלה המכפלת $g(\theta) = \sin(b\theta)$ של פונקציית הסינוס $f(\theta) = \sin\theta$ הוא הרחבה אופקית של הגרף של $f$ ונבדל בתקופה בגורם של $\left|\dfrac{1}{b}\right|$. אותה הכפלה של פונקציית הקוסינוס נותנת את אותו תוצאה.
• 3.6.A.6 לגרף של $y = f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ יש אמפליטודה של $|a|$ יחידות, תקופה של $\left|\dfrac{1}{b}\right|2\pi$ יחידות, הזזה אנכית לקו האמצע של $d$ יחידות מ-$y = 0$, והזזת פאזה של $-c$ יחידות. אותי שינויים בפונקציית הקוסינוס נותנים אותן תוצאות.

מטרות למידה 3.7.A: בניית דגמי פונקציות סינוסואידליות לתופעות מחזוריות.

• 3.7.A.1 התחום הקטן ביותר של ערכי קלט שבו ערכי הפלט המקסימום או המינימום מתחילים לחזור על עצמם, כלומר, תחום ערכי הקלט בין מקסימומים או מינימום עוקבים, יכול לשמש לקביעה או להערכת התקופה והתדר עבור דגם פונקציה סינוסואידלי.
• 3.7.A.2 ערכי הפלט המקסימום והמינימום יכולים לשמש לקביעה או להערכת ההתאמה (אמפליטודה) וההזזה האנכית עבור דגם פונקציה סינוסואידלי.
• 3.7.A.3 זוג מעשי של ערכי קלט-פלט ניתן להשוואה לזוגות קלט-פלט שנוצרו על ידי דגם פונקציה סינוסואידלי כדי לקבוע או להעריך הזזת פאזה לדגם.
• 3.7.A.4 ניתן לבנות דגמי פונקציות סינוסואידליים לערכי נתונים באמצעות טכנולוגיה על ידי הערכת ערכים מפתח או השימוש בריגרסיה סינוסואידלית.
• 3.7.A.5 פונקציות סינוסואידליות שמדגמות ערכי נתונים משמשות לעיתים רק בתחום ההקשר שלהן וניתן להשתמש בהן לחישוב ערכים של המשתנה התלוי מהערכים של המשתנה החופשי.

מטרות למידה 3.8.A: בניית נציגויות לפונקציית הטנג'נט באמצעי מעגל היחידה.

• 3.8.A.1 נתון זווית בעלת מידה $\theta$ במיקום סטנדרטי ומעגל יחידה שמרכזו בראשית, קיים נקודה, $P$, שבה הקרן הסופית חותכת את המעגל. פונקציית הטנג'נט, $f(\theta) = \tan\theta$, נותנת את השיפוע של הקרן הסופית.
• 3.8.A.2 מכיוון ששיפוע הקרן הסופית הוא היחס בין השינוי ב-$y$ לשינוי ב-$x$ בין שתי נקודות כלשהן בקרן, פונקציית הטנג'נט היא גם היחס בין פונקציית הסינוס לפונקציית הקוסינוס. לכן, $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, כאשר $\cos\theta \neq 0$.

מטרות למידה 3.8.B: תיאור מאפיינים מפתח של פונקציית הטנג'נט.

• 3.8.B.1 מכיוון שערכי השיפוע של הקרן הסופית חוזרים על עצמם בכל מחצית סיבוב של המעגל, לפונקציית הטנג'נט יש תקופה של $\pi$.
• 3.8.B.2 פונקציית הטנג'נט מציגה התנהגות אסימפטוטית מחזורית בערכי קלט $\theta = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, עבור ערכים שלמים של $k$, מכיוון ש-$\cos\theta = 0$ בערכים אלו.
• 3.8.B.3 פונקציית הטנג'נט עולה וגרף שלה משתנה מקעור כלפי מטה לקעור כלפי מעלה בין אסימפטוטות עוקבות.

מטרות למידה 3.9.A: בניית נציגויות אנליטיות וגרפיות של ההפוך של פונקציית הסינוס, הקוסינוס והטנג'נט בתחום מוגבל.

• 3.9.A.1 עבור פונקציות טריגונומטריות הפוכות, ערכי הקלט והפלט מתחלפים ביחס לפונקציות הטריגונומטריות המקוריות, ולכן ערך הפלט של פונקציה טריגונומטרית הפוכה מופרש לעיתים קרובות כמידת זווית, בעוד שקלט הוא ערך בטווח של הפונקציה הטריגונומטרית המתאימה.
• 3.9.A.2 הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות נקראות סינוס הפוך, קוסין הפוך ו-טנגנס הפוך (נציגות גם ב$\sin^{-1}x, \cos^{-1}x,$ וב$\tan^{-1}x$). מכיוון שהפונקציות הטריגונומטריות המקוריות הן מחזוריות, הן הפוכות רק אם התחום שלהן מוגבל.
• 3.9.A.3 כדי להגדיר את הפונקציות ההפוכות הרלוונטיות, תחום הפונקציה סינוס מוגבל ל$\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$, תחום הפונקציה קוסין ל$[0, \pi]$, ותחום הפונקציה טנגנס ל$\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$.

מטרת הלמידה 3.10.A: פתרון משוואות ואי-שוויונים הכוללים פונקציות טריגונומטריות.

• 3.10.A.1 פונקציות טריגונומטריות הפוכות שימושיות בפתרון משוואות ואי-שוויונים הכוללים פונקציות טריגונומטריות, אך ייתכן שהפתרונים יצטרכו לשנוי בשל הגבלות תחום.
• 3.10.A.2 מכיוון שפונקציות טריגונומטריות הן מחזוריות, לעיתים קרובות ישנם אינסוף פתרונות למשוואות טריגונומטריות.
• 3.10.A.3 במשוואות ואי-שוויונים טריגונומטריים הנובעים ממסגרת קונטקסטואלית, לעיתים קרובות קיימת הגבלת תחום שניתן להסיק מהקונטקסט, דבר המגביל את מספר הפתרונים.

מטרת הלמידה 3.11.A: זיהוי מאפיינים מרכזיים של פונקציות הכוללות מנה של פונקציית הסינוס והקוסינוס.

• 3.11.A.1 פונקציית הסקנט, $f(\theta) = \sec\theta$, היא ההופך לפונקציית הקוסינוס, כאשר $\cos\theta \neq 0$.
• 3.11.A.2 פונקציית הקוסקנט, $f(\theta) = \csc\theta$, היא ההופך לפונקציית הסינוס, כאשר $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.3 לגרפי פונקציית הסקנט והקוסקנט ישנן אסימפטורות אנכיות כאשר הקוסינוס והסינוס שווים לאפס בהתאמה, ולטווח ערכים של $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
• 3.11.A.4 פונקציית הקוטנג'נט, $f(\theta) = \cot\theta$, היא ההופכת לפונקציית הטנג'נט, כאשר $\tan\theta \neq 0$. באופן שקול, $\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$, כאשר $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.5 לגרף פונקציית הקוטנג'נט ישנן אסימפטורות אנכיות עבור ערכי תחום שבהם $\tan\theta = 0$ והוא יורד בין אסימפטורות רצופות.

מטרת למידה 3.12.A: לחזור כתיבות טריגונומטריות לצורות שקולות באמצעות זהות פיthagorean.

• 3.12.A.1 ניתן להשתמש במשפט פיתגורס משולשים ישרי זווית עם נקודות על המעגל היחידה בנקודות $(\cos\theta, \sin\theta)$, מה שמוביל לזהות הפיתגורס: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
• 3.12.A.2 את זהות הפיתגורס ניתן לעבד אלגברית לצורות אחרות המכילות פונקציות טריגונומטריות, כמו $\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1$, וניתן להשתמש בה כדי להוכיח קשרים טריגונומטריים נוספים, כמו $\arcsin x = \arccos\left(\sqrt{1 - x^2}\right)$, עם הגבלות תחום מתאימות.

מטרת למידה 3.12.B: לחזור כתיבות טריגונומטריות לצורות שקולות באמצעות זהויות סכום של סינוס וקוסינוס.

• 3.12.B.1 זהות הסכום עבור סינוס היא $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.2 זהות הסכום עבור קוסינוס היא $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.3 גם זהויות הסכום עבור סינוס וקוסינוס יכולות לשמש כזהויות הפרש וזווית כפולה.
• 3.12.B.4 ניתן להשתמש בתכונות של פונקציות טריגונומטריות, זהויות טריגונומטריות ידועות ותכונות אלגבריות אחרות כדי לאמת זהויות טריגונומטריות נוספות.

מטרת למידה 3.12.C: לפתור משוואות באמצעות נציגויות אנליטיות שקולות של פונקציות טריגונומטריות.

• 3.12.C.1 נציגות שקולה ספציפית הכוללת ביטויים טריגונומטריים עשויה להקל על גישה למידע.
• 3.12.C.2 נציגויות טריגונומטריות שקולות עשויות להיות שימושיות בפתרון משוואות ואי-שוויונים טריגונומטריים.

מטרת למידה 3.13.A: לקבוע את מיקום הנקודה במישור באמצעות קואורדינטות רקטינגולריות וקואורדינטות קוטביות.

• 3.13.A.1 מערכת הקואורדינטות הקוטבית מבוססת על רשת של מעגלים הממוקמים במרכז הראשית ועל קווים העוברים דרכה. הקואורדינטות הקוטביות מוגדרות כזוג מסודר, $(r, \theta)$, כאשר $|r|$ מייצג את הרדיוס של המעגל עליו הנקודה שוכנת, ו$\theta$ מייצג את מידת הזווית במיקום תקני שערוך הסופי שלה מכילה את הנקודה. במערכת הקואורדינטות הקוטבית, אותו נקודה יכולה להיות מוצגת בדרכים רבות.
• 3.13.A.2 ניתן להמיר את הקואורדינטות של נקודה במערכת הקואורדינטות הקוטבית, $(r, \theta)$, לקואורדינטות במערכת הקואורדינטות הרקטינגולרית, $(x, y)$, באמצעות $x = r\cos\theta$ ו$y = r\sin\theta$.
• 3.13.A.3 ניתן להמיר את הקואורדינטות של נקודה במערכת הקואורדינטות הרקטינגולרית, $(x, y)$, לקואורדינטות במערכת הקואורדינטות הקוטבית, $(r, \theta)$, באמצעות $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ ו$\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$ עבור $x > 0$ או $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) + \pi$ עבור $x < 0$.
• 3.13.A.4 מספר מרוכב ניתן להבין כנקודה במישור המרוכב וניתן לקבועו באמצעות הקואורדינטות הרקטינגולריות או הקוטביות המתאימות לו. כאשר למספר המרוכב יש קואורדינטות רקטינגולריות $(a, b)$, ניתן לבטא אותו כ$a + bi$. כאשר למספר המרוכב יש קואורדינטות קוטביות $(r, \theta)$, ניתן לבטא אותו כ$(r\cos\theta) + i(r\sin\theta)$.

מטרת למידה 3.14.A: לבנות גרפים של פונקציות קוטביות.

• 3.14.A.1 הגרף של הפונקציה $r = f(\theta)$ בקואורדינטות קוטביות מורכב מזוגות ערכים קלט-יציאה, כאשר הערכים הקולטים הם מידות זווית והערכים המקבלים הם רדיוסים.
• 3.14.A.2 תחום ההגדרה של הפונקציה הקוטבית $r = f(\theta)$, המוצג גרפית, ניתן לצמצם לחלק רצוי מהפונקציה על ידי בחירת נקודות קצה המתאימות לזווית ולרדיוס הרצויים.
• 3.14.A.3 בעת ציור פונקציות קוטביות בצורה של $r = f(\theta)$, שינויים בערכים הקולמים מתאימים לשינויים במידת הזווית מהציר החיובי $x$, ושינויים בערכים המקבלים מתאימים לשינויים במרחק מהראשית.

מטרת למידה 3.15.A: לתאר מאפיינים של גרף של פונקציה קוטבית.

• 3.15.A.1 אם פונקציה קוטבית, $r = f(\theta)$, חיובית ועולה או שלילית ויורדת, אז המרחק בין $f(\theta)$ לבין הראשית גדל.
• 3.15.A.2 אם פונקציה קוטבית, $r = f(\theta)$, חיובית ויורדת או שלילית ועולה, אז המרחק בין $f(\theta)$ לבין הראשית קטן.
• 3.15.A.3 עבור פונקציה קוטבית, $r = f(\theta)$, אם הפונקציה משנה כיוון מעלייה לירידה או מירידה לעלייה בתחום מסוים, אז לפונקציה יש אקסטרום מקומי בתחום זה המתאים לנקודה הקרובה ביותר או הרחוקה ביותר יחסית מהראשית.
• 3.15.A.4 קצב השינוי הממוצע של $r$ ביחס ל-$\theta$ בתחום של $\theta$ הוא היחס בין השינוי בערכי הרדיוס לבין השינוי ב-$\theta$ בתחום של $\theta$. גרפית, קצב השינוי הממוצע מצביע על הקצב שבו הרדיוס משתנה לכל רדיאן.
• 3.15.A.5 קצב השינוי הממוצע של $r$ ביחס ל-$\theta$ בתחום של $\theta$ יכול לשמש להערכת ערכים של הפונקציה בתוך התחום.

מטרת הלמידה 4.1.A: לבנות גרף או טבלת ערכים לפונקציה פרמטרית המוצגת אנליטית.

• 4.1.A.1 פונקציה פרמטרית ב$\mathbb{R}^2$, קבוצת כל הזוגות הסדורים של שני מספרים ממשיים, מורכבת מאוסף של שתי משוואות פרמטריות שבהם שני משתנים תלויים, $x$ ו$y$, תלויים במשתנה חופשי יחיד, $t$, הנקרא פרמטר.
• 4.1.A.2 מכיוון שמשתנים $x$ ו$y$ תלויים במשתנה החופשי, $t$, הקואורדינטות $(x_i,\, y_i)$ בזמן $t_i$ ניתנות לכתיבה כפונקציות של $t$ וניתנות לביטוי כפונקציה פרמטרית אחת, $f(t) = (x(t),\, y(t))$, כאשר במקרה זה $x$ ו$y$ הן שמותיהם של שתי פונקציות.
• 4.1.A.3 ניתן ליצור טבלת ערכים מספרית לפונקציה הפרמטרית $f(t) = (x(t),\, y(t))$ על ידי חישוב ערכי $x_i$ ו$y_i$ עבור מספר ערכים של $t_i$ בתחום.
• 4.1.A.4 ניתן לשרטט גרף של פונקציה פרמטרית על ידי חיבור מספר נקודות מטבלת הערכים המספרית בסדר ערכים עולים של $t$.
• 4.1.A.5 תחום הפונקציה הפרמטרית $f$ מוגבל לעיתים קרובות, מה שגורם לקיומו של נקודת התחלה ונקודת סיום בגרף של $f$.

מטרת הלמידה 4.2.A: זיהוי מאפיין מרכזיים של פונקציית תנועה פרמטרית במישור הקשורים למיקום.

• 4.2.A.1 פונקציה פרמטרית נתונה על ידי $f(t) = (x(t),\, y(t))$ יכולה לשמש כדי לדמות תנועת חלקיק במישור. הגרף של פונקציה זו מראה את מיקום החלקיק בזמן $t$.
• 4.2.A.2 האקסטרום האופקי והאנכי של תנועת חלקיק ניתן לקביעה על ידי זיהוי הערכים המקסימליים והמינימליים של הפונקציות $x(t)$ ו-$y(t)$ בהתאמה.
• 4.2.A.3 האפסים הממשיים של הפונקציה $x(t)$ מתאימים לחיתוך עם ציר ⟨$y$⟩, והאפסים הממשיים של $y(t)$ מתאימים לחיתוך עם ציר ⟨$x$⟩.

מטרת הלמידה 4.3.A: זיהוי מאפיין מרכזיים של פונקציית תנועה פרמטרית במישור הקשורים לכיוון ולקצב השינוי.

• 4.3.A.1 ככל שהפרמטר גדל, ניתן לנתח את כיוון התנועה במישור של חלקיק בתלות ב-$x$ וב-$y$ בצורה עצמאית. אם $x(t)$ עולה או יורד, כיוון התנועה הוא ימינה או שמאלה בהתאמה. אם $y(t)$ עולה או יורד, כיוון התנועה הוא למעלה או למטה בהתאמה.
• 4.3.A.2 בכל נקודה נתונה במישור, כיוון התנועה במישור עשוי להיות שונה עבור ערכים שונים של $t$.
• 4.3.A.3 אותו עקומה במישור ניתן לפרמטריזציה בדרכים שונות, וניתן לעבור עליה בכיוונים שונים עם פונקציות פרמטריות שונות.
• 4.3.A.4 על פני מרווח נתון $[t_1,\, t_2]$ בתחום ההגדרה, ניתן לחשב את קצב השינוי הממוצע עבור $x(t)$ ו-$y(t)$ בנפרד. היחס בין קצב השינוי הממוצע של $y$ לקצב השינוי הממוצע של $x$ נותן את שיפוע הגרף בין הנקודות על העקומה המתאימות ל-$t_1$ ול-$t_2$, כל עוד קצב השינוי הממוצע של $x(t) \neq 0$.

מטרת למידה 4.4.A: לבטא תנועה סביב מעגל או לאורך קטע ישר באופן פרמטרי.

• 4.4.A.1 סיבוב מלא נגד כיוון השעון סביב המעגל היחידה שמתחיל ומסתיים ב-$(1,\, 0)$ וממוקם במרכז הצירים ניתן לדגם על ידי $(x(t),\, y(t)) = (\cos t,\, \sin t)$ עם תחום הגדרה $0 \leq t \leq 2\pi$.
• 4.4.A.2 טרנספורמציות של הפונקציה הפרמטרית $(x(t),\, y(t)) = (\cos t,\, \sin t)$ יכולות לדגם כל מסלול עגול שעובר במישור.
• 4.4.A.3 מסלול ליניני לאורך קטע הישר מהנקודה $(x_1,\, y_1)$ לנקודה $(x_2,\, y_2)$ ניתן להזדקן בדרכים רבות, כולל השימוש במיקום התחלתי $(x_1,\, y_1)$ ובקצבי שינוי עבור $x$ ביחס ל-$t$ ועבור $y$ ביחס ל-$t$.

מטרת למידה 4.5.A: לבנות גרף של משוואה הכוללת שני משתנים.

• 4.5.A.1 משוואה הכוללת שני משתנים יכולה לתאר בפונקציות אינליציטיות אחת או יותר.
• 4.5.A.2 ניתן לגרף משוואה הכוללת שני משתנים על ידי מציאת פתרונות למשוואה.
• 4.5.A.3 פתרון אחד מהמשתנים במשוואה הכוללת שני משתנים יכול להגדיר פונקציה שהגרף שלה הוא חלק או כולו בגרף של המשוואה.

מטרת למידה 4.5.B: לקבוע כיצד שתי הכמויות הקשורות בפונקציה המוגדרת אינליציטית משתנות יחד.

• 4.5.B.1 עבור זוגות מסודרים על גרף של פונקציה המוגדרת אינליציטית הקרובים זה לזה, אם היחס בין השינוי בשני המשתנים הוא חיובי, אזי שני המשתנים גדלים בו-זמנית או שניהם קטנים; להפך, אם היחס שלילי, אזי כאשר משתנה אחד גדל, השני קטן.
• 4.5.B.2 קצב השינוי של $x$ ביחס ל-$y$ או של $y$ ביחס ל-$x$ יכול להיות אפס, מה שמעיד על מקטעים אנכיים או אופקיים בהתאמה.

מטרת למידה 4.6.A: לייצג קטעי חרוט בעל סימטריה אופקית או אנכית באופן אנליטי.

• 4.6.A.1 פרבולה עם קודקוד $(h,\, k)$ יכולה, אם $a \neq 0$, להיות מיוצגת אנליטית כ-$x - h = a(y - k)^2$ אם היא נפתחת שמאלה או ימינה, או כ-$y - k = a(x - h)^2$ אם היא נפתחת למעלה או למטה.
• 4.6.A.2 אלipse ממוקמת במרכז $(h,\, k)$ עם רדיוס אופקי $a$ ורדיו אנכי $b$ יכולה להתבטא אנליטית כ-$\dfrac{(x - h)^2}{a^2} + \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1$. עיגול הוא מקרה פרטי של אלipse כאשר $a = b$.
• 4.6.A.3 היפרבולה הממוקמת ב-$(h,\, k)$ עם צירי סימטריה אנכיים ואופקיים יכולה להיות מיוצגת אלגברית כ-$\dfrac{(x - h)^2}{a^2} - \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ עבור היפרבולה הנפתחת שמאלה וימינה, או כ-$\dfrac{(y - k)^2}{b^2} - \dfrac{(x - h)^2}{a^2} = 1$ עבור היפרבולה הנפתחת למעלה ולמטה. האסימפטוטות הן $y - k = \pm \dfrac{b}{a}(x - h)$.

מטרת הלמידה 4.7.A: נציג עקומה במישור באופן פרמטרי.

• 4.7.A.1 פאראמיטרציה $(x(t),\, y(t))$ לפונקציה המוגדרת אי-אקספליסיטית תענה, כאשר $x(t)$ ו$y(t)$ מוחלפים ב$x$ וב$y$ בהתאמה, במשוואה המתאימה עבור כל ערך של $t$ בתחום ההגדרה.
• 4.7.A.2 אם $f$ היא פונקציה של $x$, אזי ניתן לפארמיטר את $y = f(x)$ כ$(x(t),\, y(t)) = (t, f(t))$. אם $f$ מתהפכת, ניתן לפארמיטר את ההתהפכות שלה כ$(x(t),\, y(t)) = (f(t),\, t)$ עבור טווח מתאים של $t$.

מטרת הלמידה 4.7.B: נציג חתכי קonus באופן פרמטרי.

• 4.7.B.1 פרבולה ניתן לפארמיטר באותו אופן כמו כל משוואה שניתן לפתור עבורה ל$x$ או ל$y$. משוואות שניתן לפתור עבורה ל$x$ ניתן לפארמיטר כ$(x(t),\, y(t)) = (f(t),\, t)$ על ידי פתרון עבור$x$ והחלפת $y$ ב$t$. משוואות שניתן לפתור עבורה ל$y$ ניתן לפארמיטר כ$(x(t),\, y(t)) = (t, f(t))$ על ידי פתרון עבור$y$ והחלפת $x$ ב$t$.
• 4.7.B.2 אלipse ניתן לפארמיטר באמצעות הפונקציות הטריגונומטריות $x(t) = h + a\cos t$ ו$y(t) = k + b\sin t$ עבור$0 \leq t \leq 2\pi$.
• 4.7.B.3 היפרבולה ניתן לפארמיטר באמצעות פונקציות טריגונומטריות. עבור היפרבולה הנפתחת ימינה ושמאלה, הפונקציות הן $x(t) = h + a\sec t$ ו$y(t) = k + b\tan t$ עבור$0 \leq t \leq 2\pi$. עבור היפרבולה הנפתחת למעלה ולמטה, הפונקציות הן $x(t) = h + a\tan t$ ו$y(t) = k + b\sec t$ עבור$0 \leq t \leq 2\pi$.

מטרת הלמידה 4.8.A: זיהוי מאפיינים של וקטור.

• 4.8.A.1 וקטור הוא קטע ישר מכוון. כאשר וקטור ממוקם במישור, הנקודה בתחילת הקטע נקראת זנב, והנקודה בסוף הקטע נקראת ראש. אורך הקטע הוא הגודל (המגניטודה) של הוקטור.
• 4.8.A.2 וקטור $\overrightarrow{P_1 P_2}$ עם שני רכיבים ניתן לשרטט במישור $xy$ מ-$P_1 = (x_1, y_1)$ עד $P_2 = (x_2, y_2)$. הוקטור מזוהה על ידי $a$ ו-$b$, כאשר $a = x_2 - x_1$ ו-$b = y_2 - y_1$. הוקטור ניתן לבטא כ-$\langle a,\, b \rangle$. וקטור אפס $\langle 0,\, 0 \rangle$ הוא המקרה הפשוט כאשר $P_1 = P_2$.
• 4.8.A.3 הכיוון של הוקטור מקביל לקטע הישר מהראשית לנקודה עם קואורדינטות $(a,\, b)$. הגודל של הוקטור הוא השורש הריבועי של סכום ריבועי הרכיבים.
• 4.8.A.4 עבור וקטור המיוצג גיאומטרית במישור, ניתן למצוא את רכיבי הוקטור באמצעות טריגונומטריה.

מטרת הלמידה 4.8.B: חישוב סכמים ו מכפלות המעורבות בוקטורים.

• 4.8.B.1 הכפלת קבוע בוקטור מובילה לוקטור חדש שרכיביו מתקבלים על ידי הכפלת הקבוע בכל אחד מרכיבי הוקטור המקורי. הוקטור החדש מקביל לוקטור המקורי.
• 4.8.B.2 סכום של שני וקטורים ב$\mathbb{R}^2$ הוא וקטור חדש שרכיביו מתקבלים על ידי חיבור הרכיבים המתאימים של הוקטורים המקוריים. הוקטור החדש ניתן להצגה גרפית כוקטור שזנבו תואם לזנב של הוקטור הראשון וראשו תואם לראש של הוקטור השני כאשר זנב הוקטור השני ממוקם בראש של הוקטור הראשון.
• 4.8.B.3 מכפלת נקודתית של שני וקטורים היא סכום המכפלות של רכיביהם המתאימים. כלומר, $\langle a_1,\, b_1 \rangle \cdot \langle a_2,\, b_2 \rangle = a_1 a_2 + b_1 b_2$.

מטרת הלמידה 4.8.C: חישוב וקטור יחיד עבור וקטור נתון.

• 4.8.C.1 וקטור יחיד הוא וקטור בגודל $1$. וקטור יחיד באותו כיוון של וקטור לא-אפס נתון ניתן למצוא על ידי כפל סקלרי של הוקטור בהופכי הגודל שלו.
• 4.8.C.2 הוקטור $\langle a,\, b \rangle$ ניתן לבטוי כ$a\vec{i} + b\vec{j}$ ב$\mathbb{R}^2$, כאשר $\vec{i}$ ו$\vec{j}$ הם וקטורי יחיד בכיווני ה$x$ וה$y$ בהתאמה. כלומר, $\vec{i} = \langle 1,\, 0 \rangle$ ו$\vec{j} = \langle 0,\, 1 \rangle$.

מטרות למידה 4.8.D: חישוב מדידות זוויות בין וקטורים וגדלים של וקטורים המשתתפים בסכום וקטורי.

• 4.8.D.1 מכפלת נקודתית שווה גיאומטרית למוכפלים של הגדלים של שני הווקטורים ובקוסינוס הזווית ביניהם. לכן, אם מכפלת הנקודה של שני וקטורים אי-אפסיים היא אפס, הווקטורים מאונכים זה לזה.
• 4.8.D.2 ניתן להשתמש בחוק הסינוס וחוק הקוסינוס כדי לקבוע את אורכי הצלעות ומדידות הזוויות במשולשים שנוצרו מסכום וקטורי.

מטרות למידה 4.9.A: ייצוג תנועה במישור באמצעות פונקציות בעלות ערך וקטורי.

• 4.9.A.1 מיקום חלקיק הנע במישור והנתון על ידי הפונקציה הפרמטרית $f(t) = (x(t),\, y(t))$ יכול להיות מיוצג כפונקציה בעלת ערך וקטורי, $p(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j}$ או $p(t) = \langle x(t),\, y(t) \rangle$. הגודל של וקטור המיקום בזמן $t$ נותן את המרחק מהחלקיק למקור.
• 4.9.A.2 הפונקציה בעלת הערך הוקטורי $v(t) = \langle x(t),\, y(t) \rangle$ יכולה לשמש ליצוג מהירות החלקיק הנע במישור בזמנים שונים, $t$. בזמן $t$, סימן ה-$x(t)$ מצביע אם החלקיק נע מימינה או משמאלו, וסימן ה-$y(t)$ מצביע אם החלקיק נע למעלה או למטה. הגודל של וקטור המהירות בזמן $t$ נותן את המהירות (השגב) של החלקיק.

מטרת הלמידה 4.10.A: לחשב את המכפלה של שתי מטריצות.

• 4.10.A.1 מטריצה $n \times m$ היא מערך המורכב מ$n$ שורות ו$m$ עמודות.
• 4.10.A.2 ניתן להכפיל שתי מטריצות רק אם מספר העמודות במטריצה הראשונה שווה למספר השורות במטריצה השנייה. המכפלה של המטריצות היא מטריצה חדשה שבה רכיב בשורה ה$i$ ועמודה ה$j$ הוא מכפלת נקודתית של השורה ה$i$ של המטריצה הראשונה ועמודת ה$j$ של המטריצה השנייה.

מטרת הלמידה 4.11.A: לחשב את ההפוך של מטריצה $2 \times 2$.

• 4.11.A.1 המטריצה היחידה, $I$, היא מטריצה ריבועית המורכבת מ-$1$ים באלכסון משמאל למעלה לימין למטה ומ-$0$ים בכל מקום אחר.
• 4.11.A.2 הכפלת מטריצה ריבועית במטריצת היחידה המתאימה אליה מניבה את המטריצה הריבועית המקורית.
• 4.11.A.3 מכפלת מטריצה ריבועית בהפוכה שלה, כאשר זו קיימת, היא מטריצת היחידה באותו גודל.
• 4.11.A.4 ההפוך של מטריצה $2 \times 2$, כאשר הוא קיים, ניתן לחישוב עם או ללא שימוש בטכנולוגיה.

מטרת למידה 4.11.B: יישום ערך הדטרמיננטה לקיימות הפיכה ולווקטורים.

• 4.11.B.1 הדטרמיננטה של המטריצה $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ היא $ad - bc$. ניתן לחשב את הדטרמיננטה עם או ללא שימוש בטכנולוגיה, והיא מסומנת ב$\det(A)$.
• 4.11.B.2 אם מטריצה $2 \times 2$ מורכבת משני וקטורי עמודים או שורות מהמרחב $\mathbb{R}^2$, אזי הערך המוחלט הלא-אפסי של הדטרמיננטה שלה הוא השטח של המקבילית הנמתחת על ידי הווקטורים המיוצגים בעמודים או בשורות המטריצה. אם הדטרמיננטה שווה ל$0$, אזי הווקטורים מקבילים.
• 4.11.B.3 המטריצה המרובעת $A$ בעלת הפיכה אם ורק אם $\det(A) \neq 0$.

מטרת למידה 4.12.A: קביעת וקטורי היציאה של טרנספורמציה ליניארית באמצעות מטריצה $2 \times 2$.

• 4.12.A.1 טרנספורמציה ליניארית היא פונקציה הממפה וקטור כניסה לוקטור יציאה כך שכל רכיב של וקטור היציאה הוא סכום של מכפלים קבועים של רכיבי וקטור הכניסה.
• 4.12.A.2 טרנספורמציה ליניארית תמפה את הווקטור האפס לוקטור האפס.
• 4.12.A.3 וקטור יחיד במרחב $\mathbb{R}^2$ יכול להיות בלשון מטריצה בגודל $2 \times 1$. קבוצה של $n$ וקטורים במרחב $\mathbb{R}^2$ יכולה להיות בלשון מטריצה בגודל $2 \times n$.
• 4.12.A.4 עבור טרנספורמציה ליניארית $L$, מהמרחב $\mathbb{R}^2$ למרחב $\mathbb{R}^2$, קיימת מטריצה יחידה, $2 \times 2$, מסומנת ב$A$, כך ש$L(\vec{v}) = A\vec{v}$ עבור וקטורים במרחב $\mathbb{R}^2$. להפך, עבור מטריצה נתונה, $2 \times 2$, מסומנת ב$A$, הפונקציה $L(\vec{v}) = A\vec{v}$ היא טרנספורמציה ליניארית מהמרחב $\mathbb{R}^2$ למרחב $\mathbb{R}^2$.
• 4.12.A.5 כפל של מטריצת המרת $2 \times 2$, $A$, ומטריצת ⟨$2 \times n$⟩ של ⟨$n$⟩ וקטורי קלט נותן מטריצת ⟨$2 \times n$⟩ של ⟨$n$⟩ וקטורי הפלט עבור ההמרה הליניארית $L(\vec{v}) = A\vec{v}$.

מטרת למידה 4.13.A: קביעת הקשר בין טרנספורמציה ליניארית למטריצה.

• 4.13.A.1 ההמרה הליניארית המקשרת ⟨$\langle x,\, y \rangle$⟩ ל$\langle a_{11} x + a_{12} y,\, a_{21} x + a_{22} y \rangle$ מקושרת למטריצה $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$.
• 4.13.A.2 המיפוי של וקטורי היחיד בטרנספורמציה ליניארית מספק מידע חשוב לקביעת המטריצה הקשורה.
• 4.13.A.3 המטריצה $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ קשורה לטרנספורמציה ליניארית של וקטורים שמסובבת כל וקטור בזווית $\theta$ נגד כיוון השעון סביב הראשית.
• 4.13.A.4 הערך המוחלט של הדטרמיננטה של מטריצת טרנספורמציה $2 \times 2$ נותן את גודל ההתפשטות (dilation) של אזורות במרחב $\mathbb{R}^2$ תחת הטרנספורמציה.

מטרת למידה 4.13.B: קביעת הרכבה של שתי טרנספורמציות ליניאריות.

• 4.13.B.1 הרכבה של שתי טרנספורמציות ליניאריות היא טרנספורמציה ליניארית.
• 4.13.B.2 המטריצה הקשורה להרכבה של שתי טרנספורמציות ליניאריות היא מכפלת המטריצות הקשורות לכל טרנספורמציה ליניארית.

מטרת הלמידה 4.13.C: מציאת ההופך של טרנספורמציה ליניארית.

• 4.13.C.1 שתי טרנספורמציות ליניאריות הן הופכות זו לזו אם ההרכבה שלהן מפתחת כל וקטור לעצמו.
• 4.13.C.2 אם טרנספורמציה ליניארית, $L$, נתונה על ידי $L(\vec{v}) = A\vec{v}$, אזי הטרנספורמציה ההופכת שלה נתונה על ידי $L^{-1}(\vec{v}) = A^{-1}\vec{v}$, כאשר $A^{-1}$ הוא ההופך של המטריצה $A$.

מטרת הלמידה 4.14.A: בניית מודל של תרחיש המכיל מעברים בין שני מצבים באמצעות מטריצות.

• 4.14.A.1 תרחיש קונטקסטי יכול להצביע על קצב המעברים בין מצבים כשינויים אחוזיים. ניתן לבנות מטריצה על בסיס קצבים אלו כדי לדמות כיצד מצטים משתנים לאורך אינטרוולים דיסקרטיים.

מטרת הלמידה 4.14.B: יישום מודלי מטריצות לחיזוי מצבים עתידיים ועבריים עבור $n$ צעדים של מעבר.

• 4.14.B.1 מכפלה של מטריצה שמדמה מעברים בין מצבים עם וקטור מצב המתאים יכולה לחזות מצבים עתידיים.
• 4.14.B.2 כפל חוזר של מטריצה שמדמה מעברים בין מצסים עם וקטורי מצב תוצאתיים מתאימים יכול לחזות את המצב היציב, כלומר חלוקה בין מצסים שאינה משתנה משלב אחד למשנהו.
• 4.14.B.3 מכפלה של ההופך של מטריצה שמדמה מעברים בין מצסים עם וקטור מצב המתאים יכולה לחזות מצבים עבריים.