Circles — parts and theorems · Cercles — parties et théorèmes
| English | Français |
|---|---|
| radius/ˈreɪdɪəs/ | rayon |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | diamètre |
| circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ | circonférence |
| chord/kɔːd/ | corde |
| tangent/ˈtændʒənt/ | tangente |
| arc/ɑːk/ | arc |
| sector/ˈsektə/ | sectoriel |
| segment/ˈseɡmənt/ | segment |
| cyclic quadrilateral/ˈsaɪklɪk ˌkwɒdrɪˈlætərəl/ | quadrilatère cyclique |
The wheel that changed the world
- The circle is the most perfect shape in nature — every point on its edge is the same distance from the centre.
- Ancient mathematicians discovered remarkable properties hidden in this simple shape.
La roue qui a changé le monde
- Le cercle est la forme la plus parfaite de la nature — chaque point sur son bord est à égale distance du centre.
- Les anciens mathématiciens ont découvert des propriétés remarquables cachées dans cette forme simple.
The parts of a circle
- Radius 半径: centre to edge. Diameter 直径: right across ($= 2r$). Circumference 圆周: the distance round.
- Chord 弦: a line joining two points on the circle. Tangent 切线: touches at exactly one point.
- Arc 弧: part of the circumference. Sector 扇形: a slice between two radii. Segment 弓形: the region cut off by a chord.
A diameter is a special chord — the longest possible one, passing through the centre.
Les parties d'un cercle
- Rayon : du centre au bord. Diamètre : tout droit à travers ($= 2r$). Circonférence : la distance autour.
- Corde : une ligne reliant deux points sur le cercle. Tangente : touche à exactement un point.
- Arc : partie de la circonférence. Secteur : une tranche entre deux rayons. Segment : la région délimitée par une corde.
Un diamètre est une corde spéciale — la plus longue possible, passant par le centre.
Arc and sector · Arc et secteur
Drag the angle and radius to see the arc (part of the circumference) and the sector (pie slice) it cuts off. · Faites glisser l'angle et le rayon pour voir l'arc (partie de la circonférence) et le secteur (tranche de gâteau) qu'il coupe.
Match each circle part to its meaning. · Reliez chaque partie du cercle à sa signification.
A chord joins two points; a tangent touches once; a sector is a slice between radii. · Une corde joint deux points ; une tangente touche une fois ; un secteur est une tranche entre des rayons.
Circle theorems (Core)
- The angle in a semicircle is $90^{\circ}$ (an angle standing on a diameter).
- The angle between a tangent and a radius is $90^{\circ}$.
The main parts of a circle; a chord joins two points, a tangent touches at just one
Théorèmes sur le cercle (Fondamental)
- L'angle dans un demi-cercle est $90^{\circ}$ (un angle inscrit dans un demi-cercle).
- L'angle entre une tangente et un rayon est $90^{\circ}$.
Les principales parties d'un cercle ; une corde relie deux points, une tangente touche en un seul point
The angle in a semicircle is how many degrees? · L'angle dans un demi-cercle mesure combien de degrés ?
An angle standing on a diameter is always 90°. · Un angle inscrit dans un demi-cercle (sur un diamètre) est toujours de 90°.
A tangent to a circle meets the radius at 90°. · Une tangente à un cercle rencontre le rayon à 90°.
The tangent is always perpendicular to the radius at the point of contact. · La tangente est toujours perpendiculaire au rayon au point de contact.
Circle theorems (Extended)
- The angle at the centre is twice the angle at the circumference (same arc).
- Angles in the same segment are equal.
- Opposite angles of a cyclic quadrilateral 圆内接四边形 add up to $180^{\circ}$.
The angle at the centre is always twice the angle at the circumference for the same arc.
Same arc only. The "angle at centre = 2 × angle at circumference" rule only works when both angles subtend the same arc. Different arcs don't follow this rule.
Théorèmes sur le cercle (Étendu)
- L'angle au centre est le double de l'angle à la circonférence (même arc).
- Les angles dans le même segment sont égaux.
- Les angles opposés d'un quadrilatère cyclique s'additionnent pour faire $180^{\circ}$.
L'angle au centre est toujours double de l'angle à la circonférence pour le même arc.
Même arc seulement. La règle « angle au centre = 2 × angle à la circonférence » ne fonctionne que lorsque les deux angles sous-tendent le même arc. Des arcs différents ne suivent pas cette règle.
The angle at the circumference is 40°. The angle at the centre on the same arc is how many degrees? · L'angle à la circonférence est de 40°. L'angle au centre sur le même arc mesure combien de degrés ?
Angle at centre = 2 × angle at circumference = 2 × 40 = 80°. · Angle au centre = 2 × angle à la circonférence = 2 × 40 = 80°.
In a cyclic quadrilateral one angle is 85°. Its opposite angle is how many degrees? · Dans un quadrilatère cyclique, un angle est de 85°. Son angle opposé mesure combien de degrés ?
Opposite angles add to 180°: 180 − 85 = 95°. · Les angles opposés s'additionnent à 180° : 180 − 85 = 95°.
Angles in the same segment are ______. · Les angles dans le même segment sont ______.
Any two angles subtended by the same arc in the same segment are equal. · Tout angle inscrit dans le même segment sur le même arc est égal.
Worked example
- Angle at circumference $= 40^{\circ}$ → angle at centre $= 2 \times 40 = 80^{\circ}$.
- In a cyclic quadrilateral, one angle $= 85^{\circ}$ → opposite angle $= 180 - 85 = 95^{\circ}$.
A sector is a slice between two radii; a segment is cut off by a chord; an arc is part of the circumference
Exemple résolu
- Angle à la circonférence $= 40^{\circ}$ → angle au centre $= 2 \times 40 = 80^{\circ}$.
- Dans un quadrilatère cyclique, un angle $= 85^{\circ}$ → angle opposé $= 180 - 85 = 95^{\circ}$.
Un secteur est une tranche entre deux rayons ; un segment est délimité par une corde ; un arc est une partie de la circonférence
The missing Extended circle facts
- Alternate segment theorem: the angle between a tangent and a chord equals the angle at the circumference in the opposite segment. If that tangent-chord angle is $52^{\circ}$, the matching circumference angle is $52^{\circ}$.
- The perpendicular bisector of a chord passes through the centre; equal chords are equally far from it. Tangents PA and PB from the same outside point P have equal lengths, so $PA=7$ cm implies $PB=7$ cm.
Les faits manquants avancés sur le cercle
- Théorème de la tangente et de la corde : l'angle entre une tangente et une corde est égal à l'angle à la circonférence dans le segment opposé. Si cet angle tangente-corde est $52^{\circ}$, l'angle correspondant à la circonférence est $52^{\circ}$.
- La médiatrice d'une corde passe par le centre ; des cordes égales sont également éloignées de celui-ci. Les tangentes PA et PB issues du même point extérieur P ont des longueurs égales, donc $PA=7$ cm implique $PB=7$ cm.
A tangent-chord angle is 52°. Find the angle in the alternate segment in degrees. · Un angle formé par une tangente et une corde mesure 52°. Trouver l'angle dans le segment alternatif en degrés.
The alternate segment theorem makes these two angles equal. · Le théorème du segment alternatif rend ces deux angles égaux.
PA and PB are tangents from the same external point P. PA is 7 cm. Find PB in cm. · PA et PB sont des tangentes issues d'un même point extérieur P. PA mesure 7 cm. Trouver PB en cm.
Tangents from the same external point have equal lengths. · Les tangentes issues d'un même point extérieur ont des longueurs égales.
You've got it
- angle in a semicircle $= 90^{\circ}$; tangent meets radius at $90^{\circ}$
- angle at centre $= 2 \times$ angle at circumference (same arc)
- cyclic quadrilateral: opposite angles add to $180^{\circ}$
Vous avez compris
- angle dans un demi-cercle $= 90^{\circ}$ ; tangente rencontre le rayon à $90^{\circ}$
- angle au centre $= 2 \times$ angle à la circonférence (même arc)
- quadrilatère cyclique : angles opposés totalisent $180^{\circ}$