Indices in algebra · Indices en algèbre
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|---|---|
| indices/ˈɪndɪsiːz/ | indices |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | coefficient |
| index equations/ˈɪndeks ɪˈkweɪʒnz/ | équations exponentielles |
The tower of powers
- How many times can you double a grain of rice before it fills a room? About 40 doublings — that's $2^{40} \approx 10^{12}$ grains.
- Index laws let you tame these enormous numbers, working with the powers instead of computing the values.
La tour des puissances
- Combien de fois pouvez-vous doubler un grain de riz avant qu'il ne remplisse une pièce ? Environ 40 doublages — c'est $2^{40} \approx 10^{12}$ grains.
- Les lois des indices permettent de dominer ces énormes nombres, en travaillant avec les puissances plutôt que de calculer les valeurs.
Algebraic index law lab · Lab sur les lois des indices algébriques
Classify index-law examples by the rule being used. · Classer les exemples de loi des indices selon la règle utilisée.
The three core rules
- Multiply same-base powers → add indices 指数: $\;a^m \times a^n = a^{m+n}$.
- Divide same-base powers → subtract indices: $\;a^m \div a^n = a^{m-n}$.
- Power of a power → multiply indices: $\;(a^m)^n = a^{mn}$.
$(5x^3)^2 = 5^2 \times (x^3)^2 = 25x^6$. Apply the power to every factor — the coefficient 系数 and the letter.
Les trois règles fondamentales
- Multiplier des puissances de même base → additionner les indices 指数 : $\;a^m \times a^n = a^{m+n}$.
- Diviser des puissances de même base → soustraire les indices : $\;a^m \div a^n = a^{m-n}$.
- Puissance d'une puissance → multiplier les indices : $\;(a^m)^n = a^{mn}$.
$(5x^3)^2 = 5^2 \times (x^3)^2 = 25x^6$. Appliquer la puissance à chaque facteur — le coefficient 系数 et la lettre.
(5x³)² = k·x⁶. What is the coefficient k? · (5x³)² = k·x⁶. Quelle est le coefficient k ?
(5x³)² = 5² × (x³)² = 25x⁶, so k = 25. · (5x³)² = 5² × (x³)² = 25x⁶, donc k = 25.
a³ × a⁴ = a⁷.
Same base: add indices. a³ × a⁴ = a^(3+4) = a⁷. · Même base : additionner les indices. a³ × a⁴ = a^(3+4) = a⁷.
Complete the rule: (a^m)^n = a^(). · Compléter la règle : (a^m)^n = a^().
Power of a power: multiply the indices. (a^m)^n = a^(mn). · Puissance d'une puissance : multiplier les indices. (a^m)^n = a^(mn).
Working with coefficients
- Separate the number part from the letter part, simplify each, then recombine.
- $12a^5 \div 3a^{-2}$: numbers $12 \div 3 = 4$; letters $a^5 \div a^{-2} = a^{5-(-2)} = a^7$. Answer: $4a^7$.
- $6x^7y^4 \times 5x^{-5}y = 30x^{7+(-5)}y^{4+1} = 30x^2y^5$.
Subtracting a negative. $a^5 \div a^{-2} = a^{5 - (-2)} = a^{5+2} = a^7$. Subtracting a negative is adding.
Travailler avec les coefficients
- Séparer la partie nombre de la partie lettre, simplifier chacune, puis recombiner.
- $12a^5 \div 3a^{-2}$ : nombres $12 \div 3 = 4$ ; lettres $a^5 \div a^{-2} = a^{5-(-2)} = a^7$. Réponse : $4a^7$.
- $6x^7y^4 \times 5x^{-5}y = 30x^{7+(-5)}y^{4+1} = 30x^2y^5$.
Soustraire un négatif. $a^5 \div a^{-2} = a^{5 - (-2)} = a^{5+2} = a^7$. Soustraire un négatif, c'est additionner.
Simplify 12a⁵ ÷ 3a⁻². · Simplifier 12a⁵ ÷ 3a⁻².
12/3 = 4 and a⁵ ÷ a⁻² = a^(5−(−2)) = a⁷, so 4a⁷. · 12/3 = 4 et a⁵ ÷ a⁻² = a^(5−(−2)) = a⁷, donc 4a⁷.
Index equations 指数方程
- Write both sides with the same base, then equate the powers.
- Solve $2^x = 32$: since $32 = 2^5$, we get $x = 5$.
- Solve $3^{2x} = 81$: since $81 = 3^4$, $2x = 4$, so $x = 2$.
Équations exponentielles 指数方程
- Écrire les deux côtés avec la même base, puis égaliser les puissances.
- Résoudre $2^x = 32$ : puisque $32 = 2^5$, nous obtenons $x = 5$.
- Résoudre $3^{2x} = 81$ : puisque $81 = 3^4$, $2x = 4$, donc $x = 2$.
Solve 2^x = 32. · Résoudre 2^x = 32.
32 = 2⁵, so x = 5. · 32 = 2⁵, donc x = 5.
Solve 3^(2x) = 81. · Résoudre 3^(2x) = 81.
81 = 3⁴, so 2x = 4, giving x = 2. · 81 = 3⁴, donc 2x = 4, ce qui donne x = 2.
Where index laws appear
- Scientific notation relies on $10^a \times 10^b = 10^{a+b}$.
- Compound interest uses $(1+r)^n$ — a power of a real-world multiplier.
- Computer science: memory sizes are powers of 2 (KB $= 2^{10}$, MB $= 2^{20}$, GB $= 2^{30}$).
Powers and roots are inverses: the area of a square is $s^2$, and its side is $\sqrt{\text{area}}$.
Où apparaissent les lois des indices
- La notation scientifique repose sur $10^a \times 10^b = 10^{a+b}$.
- Les intérêts composés utilisent $(1+r)^n$ — une puissance d'un multiplicateur réel.
- Informatique : les tailles de mémoire sont des puissances de 2 (Ko $= 2^{10}$, Mo $= 2^{20}$, Go $= 2^{30}$).
Les puissances et racines sont des inverses : l'aire d'un carré est $s^2$, et son côté est $\sqrt{\text{area}}$.
You've got it
- multiply → add indices; divide → subtract; power of a power → multiply
- handle coefficients and letters separately, then recombine
- solve index equations by writing both sides with the same base
- $(5x^3)^2 = 25x^6$; $\;12a^5 \div 3a^{-2} = 4a^7$; $\;2^x = 32 \Rightarrow x = 5$
Vous avez compris
- multiplier → additionner les indices ; diviser → soustraire ; puissance d'une puissance → multiplier
- gérer les coefficients et les lettres séparément, puis recombiner
- résoudre les équations exponentielles en écrivant les deux côtés avec la même base
- $(5x^3)^2 = 25x^6$; $\;12a^5 \div 3a^{-2} = 4a^7$; $\;2^x = 32 \Rightarrow x = 5$