Algebraic fractions · Fractions algébriques
| English | Français |
|---|---|
| algebraic fractions/ˌældʒɪˈbreɪɪk ˈfrækʃnz/ | fractions algébriques |
| factorise/ˈfæktəraɪz/ | factoriser |
| cancel/ˈkænsl/ | s'annulent |
| common denominator/ˈkɒmən dɪˈnɒmɪneɪtə/ | dénominateur commun |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | réciproque |
When fractions have letters
- A baker halves a recipe, then thirds it again — that's $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ of the original.
- Algebraic fractions 代数分式 work exactly the same way, but the numbers are replaced by expressions. The rules don't change.
Quand les fractions ont des lettres
- Un boulanger réduit une recette de moitié, puis la réduit encore de tiers — c'est $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ de l'original.
- Les fractions algébriques fonctionnent exactement de la même manière, mais les nombres sont remplacés par des expressions. Les règles ne changent pas.
Algebraic fraction route · Chemin des fractions algébriques
Simplify algebraic fractions by factorising before cancelling. · Simplifier les fractions algébriques en factorisant avant d'annuler.
Simplifying algebraic fractions
- Factorise 因式分解 the numerator and denominator, then cancel 约分 any common factors.
- $\dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6} = \dfrac{x(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \dfrac{x}{x-3}$.
Factorise first, then cancel. You cannot cancel individual terms: $\dfrac{x+2}{x+3} \neq \dfrac{2}{3}$. The $+2$ and $+3$ are not factors — they are terms inside a sum.
Expanding a bracket with an area model
Simplifier les fractions algébriques
- Factoriser le numérateur et le dénominateur, puis simplifier tout facteur commun.
- $\dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6} = \dfrac{x(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \dfrac{x}{x-3}$.
Factoriser d'abord, puis simplifier. On ne peut pas simplifier des termes individuels : $\dfrac{x+2}{x+3} \neq \dfrac{2}{3}$. Les $+2$ et $+3$ ne sont pas des facteurs — ce sont des termes dans une somme.
Développer une parenthèse avec un modèle d'aire
Simplify (x² − 2x)/(x² − 5x + 6). · Simplifier (x² − 2x)/(x² − 5x + 6).
Factorise: x(x−2) / [(x−2)(x−3)], cancel (x−2) → x/(x−3). · Factoriser : x(x−2) / [(x−2)(x−3)], annuler (x−2) → x/(x−3).
(x + 2)/(x + 3) simplifies to 2/3. · (x + 2)/(x + 3) se simplifie en 2/3.
You can only cancel common FACTORS, not terms in a sum. x+2 and x+3 share no common factor. · On ne peut annuler que les FACTEURS communs, pas les termes dans une somme. x+2 et x+3 n'ont aucun facteur commun.
Adding and subtracting
- Find a common denominator 公分母, just as with ordinary fractions.
- $\dfrac{x}{3} + \dfrac{x-4}{2} = \dfrac{2x}{6} + \dfrac{3(x-4)}{6} = \dfrac{2x + 3x - 12}{6} = \dfrac{5x - 12}{6}$.
Expand carefully. $3(x-4) = 3x - 12$ (not $3x - 4$). Every term inside the bracket must be multiplied.
Addition et soustraction
- Trouver un dénominateur commun, comme avec les fractions ordinaires.
- $\dfrac{x}{3} + \dfrac{x-4}{2} = \dfrac{2x}{6} + \dfrac{3(x-4)}{6} = \dfrac{2x + 3x - 12}{6} = \dfrac{5x - 12}{6}$.
Développer soigneusement. $3(x-4) = 3x - 12$ (pas $3x - 4$). Chaque terme dans la parenthèse doit être multiplié.
Add x/3 + (x−4)/2 over a common denominator of 6. · Ajouter x/3 + (x−4)/2 sur un dénominateur commun de 6.
2x/6 + 3(x−4)/6 = (2x + 3x − 12)/6 = (5x − 12)/6.
To add algebraic fractions, you must first find a common ______. · Pour additionner des fractions algébriques, il faut d'abord trouver un ______ commun.
Just like with numeric fractions, you need a common denominator before adding or subtracting. · Tout comme pour les fractions numériques, il faut un dénominateur commun avant d'ajouter ou de soustraire.
Multiplying and dividing
- Multiply: tops × tops, bottoms × bottoms — same as ordinary fractions.
- Divide: multiply by the reciprocal 倒数 of the second fraction.
- $\dfrac{x+1}{x-2} \div \dfrac{x+3}{x} = \dfrac{x+1}{x-2} \times \dfrac{x}{x+3} = \dfrac{x(x+1)}{(x-2)(x+3)}$.
Multiplication et division
- Multiplier : haut × haut, bas × bas — comme avec les fractions ordinaires.
- Diviser : multiplier par l'inverse de la seconde fraction.
- $\dfrac{x+1}{x-2} \div \dfrac{x+3}{x} = \dfrac{x+1}{x-2} \times \dfrac{x}{x+3} = \dfrac{x(x+1)}{(x-2)(x+3)}$.
To divide algebraic fractions, multiply by the reciprocal of the second one. · Pour diviser des fractions algébriques, multiplier par l'inverse de la seconde.
Division by a fraction is multiplication by its reciprocal, just as with numbers. · La division par une fraction équivaut à la multiplication par son inverse, tout comme pour les nombres.
Worked example
- Simplify $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$.
- Factorise: numerator $= (x+3)(x-3)$, denominator $= (x+2)(x+3)$.
- Cancel $(x+3)$: result $= \dfrac{x-3}{x+2}$.
Factorising is the key to both solving quadratics and simplifying algebraic fractions.
Exemple résolu
- Simplifier $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$.
- Factoriser : numérateur $= (x+3)(x-3)$, dénominateur $= (x+2)(x+3)$.
- Simplifier $(x+3)$ : résultat $= \dfrac{x-3}{x+2}$.
Factoriser est la clé pour résoudre les quadratiques et simplifier les fractions algébriques.
Simplify (x² − 9)/(x² + 5x + 6). · Simplifier (x² − 9)/(x² + 5x + 6).
(x+3)(x−3) / [(x+2)(x+3)], cancel (x+3) → (x−3)/(x+2). · (x+3)(x−3) / [(x+2)(x+3)], annuler (x+3) → (x−3)/(x+2).
Keep the excluded values
- Cancelling a factor does not restore a forbidden input. $x(x-2)/((x-2)(x-3))=x/(x-3)$, but the original still excludes $x=2$ and $x=3$.
- For $(x+1)/(x-2)\div((x+3)/x)$, exclude $x=2,0$ because of denominators, and $x=-3$ because the divisor is zero. Write these restrictions before cancelling.
Conserver les valeurs exclues
- Simplifier un facteur ne restaure pas une entrée interdite. $x(x-2)/((x-2)(x-3))=x/(x-3)$, mais l'original exclut toujours $x=2$ et $x=3$.
- Pour $(x+1)/(x-2)\div((x+3)/x)$, exclure $x=2,0$ à cause du dénominateur, et $x=-3$ parce que le diviseur est zéro. Écrire ces restrictions avant de simplifier.
For (x² − 9)/(x² + 5x + 6), which excluded input besides −2 must remain after cancelling? · Pour (x² − 9)/(x² + 5x + 6), quelle valeur exclue autre que −2 doit rester après simplification ?
The original denominator is (x+2)(x+3), so x = −3 stays excluded. · Le dénominateur original est (x+2)(x+3), donc x = −3 reste exclu.
You've got it
- simplify: factorise top and bottom, cancel common brackets
- add/subtract: find a common denominator, combine numerators
- multiply/divide: as with ordinary fractions (divide = × the reciprocal)
- never cancel terms inside a sum — only cancel factors
Vous avez compris
- simplifier : factoriser haut et bas, simplifier les parenthèses communes
- additionner/soustraire : trouver un dénominateur commun, combiner les numérateurs
- multiplier/diviser : comme avec les fractions ordinaires (diviser = × le réciproque)
- jamais simplifier des termes dans une somme — simplifier uniquement les facteurs