Surds · Racines carrées irrationnelles (surds)
| English | Français |
|---|---|
| surd/sɜːd/ | racine carrée (irrationnelle) |
| irrational/ɪˈræʃənl/ | irrationnel |
| rationalising/ˈræʃənəlaɪzɪŋ/ | rationalisation |
The number that broke the Greeks
- The diagonal of a unit square is $\sqrt{2} \approx 1.41421356\dots$ — the digits never repeat and never end.
- No fraction equals it exactly. That's why we call it a surd 根式: an irrational 无理数 root that we leave in its exact form.
Le nombre qui a brisé les Grecs
- La diagonale d'un carré unité est $\sqrt{2} \approx 1.41421356\dots$ — les chiffres ne se répètent jamais et ne finissent jamais.
- Aucune fraction ne correspond exactement à cette valeur. C'est pourquoi on l'appelle une racine irrationnelle (surd) : une racine irrationnelle que l'on conserve sous sa forme exacte.
Surd simplification route · Chemin de simplification des racines carrées irrationnelles
Break a surd into square factors and simplify it. · Décomposer une racine carrée en facteurs carrés et la simplifier.
What is a surd?
- A surd is a root that cannot be simplified to a rational number.
- $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt[3]{10}$ are surds — they are irrational.
- $\sqrt{4} = 2$ and $\sqrt[3]{27} = 3$ are not surds — they simplify to integers.
Surds come from diagonals: a $1 \times 1$ square has diagonal $\sqrt{2}$; a $2 \times 2$ square has diagonal $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Qu'est-ce qu'un surd ?
- Un surd est une racine qui ne peut pas être simplifiée en nombre rationnel.
- $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt[3]{10}$ sont des surds — ils sont irrationnels.
- $\sqrt{4} = 2$ et $\sqrt[3]{27} = 3$ ne sont pas des surds — ils se simplifient en entiers.
Les surds viennent des diagonales : un carré de $1 \times 1$ a une diagonale de $\sqrt{2}$ ; un carré de $2 \times 2$ a une diagonale de $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Surd rules
- $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ — combine under one root.
- $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ — divide under one root.
- Simplify by pulling out the largest perfect square factor:
Roots don't add. $\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a+b}$. For example, $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$, but $\sqrt{25} = 5 \neq 7$.
Règles sur les surds
- $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ — combiner sous une seule racine.
- $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ — diviser sous une seule racine.
- Simplifier en sortant le plus grand facteur carré parfait :
Les racines ne s'additionnent pas. $\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a+b}$. Par exemple, $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$, mais $\sqrt{25} = 5 \neq 7$.
Simplify √20 into the form k√5. What is k? · Simplifiez √20 sous la forme k√5. Quelle est la valeur de k ?
√20 = √(4×5) = √4 × √5 = 2√5, so k = 2. · √20 = √(4×5) = √4 × √5 = 2√5, donc k = 2.
Which surd rule is correct? · Quelle règle sur les racines carrées irrationnelles est correcte ?
√a × √b = √(ab); roots do not add like √a + √b = √(a+b). · √a × √b = √(ab) ; les racines ne s'additionnent pas comme √a + √b = √(a+b).
Simplify √72 into the form k√2. What is k? · Simplifiez √72 sous la forme k√2. Quelle est la valeur de k ?
√72 = √(36×2) = 6√2, so k = 6. · √72 = √(36×2) = 6√2, donc k = 6.
√9 + √16 = √25.
√9 + √16 = 3 + 4 = 7, but √25 = 5. Roots do not add: √a + √b ≠ √(a+b). · √9 + √16 = 3 + 4 = 7, mais √25 = 5. Les racines ne s'additionnent pas : √a + √b ≠ √(a+b).
Complete the rule: √a × √b = √(). · Complétez la règle : √a × √b = √().
√a × √b = √(ab). You can combine two square roots into one by multiplying under the root. · √a × √b = √(ab). Vous pouvez combiner deux racines carrées en une seule en multipliant à l'intérieur du radical.
Rationalising 有理化 the denominator
- A fraction with a surd in the denominator is not in simplest form.
- Multiply top and bottom by the surd to remove it from the bottom:
$\dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$. Multiply by $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$, then simplify.
Rationalisation du dénominateur
- Une fraction avec un surd au dénominateur n'est pas sous forme la plus simple.
- Multipliez le haut et le bas par le surd pour l'enlever du bas :
$\dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$. Multipliez par $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$, puis simplifiez.
Rationalise 10/√5 into the form k√5. What is k? · Rationalisez 10/√5 sous la forme k√5. Quelle est la valeur de k ?
10/√5 × √5/√5 = 10√5/5 = 2√5, so k = 2. · 10/√5 × √5/√5 = 10√5/5 = 2√5, donc k = 2.
Why keep surds exact?
- $\sqrt{2} \approx 1.414$ is an approximation; $\sqrt{2}$ is exact.
- In engineering and physics, rounding too early causes errors to accumulate — keeping surds preserves accuracy through long calculations.
Pourquoi garder les surds exacts ?
- $\sqrt{2} \approx 1.414$ est une approximation ; $\sqrt{2}$ est exact.
- En ingénierie et en physique, arrondir trop tôt provoque l'accumulation d'erreurs — garder les surds préserve la précision lors de longs calculs.
Like surds and two-term denominators
- Simplify each root first: $\sqrt{200}-\sqrt{32}=10\sqrt2-4\sqrt2=6\sqrt2$. Combine only matching surd parts.
- For $1/(\sqrt3-1)$ multiply by the conjugate $\sqrt3+1$: the denominator is $(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)=3-1=2$. Thus the result is $(\sqrt3+1)/2$; the multiplying fraction equals 1.
Racines semblables et dénominateurs à deux termes
- Simplifier chaque racine d'abord : $\sqrt{200}-\sqrt{32}=10\sqrt2-4\sqrt2=6\sqrt2$. Ne regrouper que les parties de racines semblables.
- Pour $1/(\sqrt3-1)$, multiplier par le conjugué $\sqrt3+1$ : le dénominateur devient $(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)=3-1=2$. Le résultat est donc $(\sqrt3+1)/2$ ; la fraction multipliée équivaut à 1.
In √200 − √32 = k√2, find k. · Dans √200 − √32 = k√2, trouver k.
√200 = 10√2 and √32 = 4√2, so k = 6. · Puisque √200 = 10√2 et √32 = 4√2, alors k = 6.
You've got it
- a surd is an irrational root; keep it exact (don't approximate)
- simplify by the largest square factor: $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$, $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
- rationalise the denominator by multiplying top and bottom by the surd
- $\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a+b}$ — roots don't add
Vous avez compris
- un surd est une racine irrationnelle ; gardez-le exact (ne pas approximer)
- simplifier par le plus grand facteur carré : $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$, $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
- rationaliser le dénominateur en multipliant le haut et le bas par le surd
- $\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a+b}$ — les racines ne s'additionnent pas