Standard form · Notation scientifique
| English | Français |
|---|---|
| standard form/ˈstændəd fɔːm/ | écriture scientifique |
| integer/ˈɪntɪdʒə/ | entier |
From atoms to galaxies
- The width of a hydrogen atom is about $0.000\,000\,000\,106$ metres.
- The distance to the nearest star is about $40\,000\,000\,000\,000$ metres.
- Writing numbers like that is painful — and error-prone. Standard form 科学记数法 fixes both problems.
Des atomes aux galaxies
- La largeur d'un atome d'hydrogène est d'environ $0.000\,000\,000\,106$ mètres.
- La distance à l'étoile la plus proche est d'environ $40\,000\,000\,000\,000$ mètres.
- Écrire les nombres ainsi est fastidieux et sujet aux erreurs. La notation scientifique résout ces deux problèmes.
Standard form route · Route vers la notation scientifique
Follow a large or small number into a x 10^n form. · Suivez un grand ou petit nombre jusqu'à la forme A × 10^n.
The format $A \times 10^n$
- Standard form writes any number as $A \times 10^n$, where:
- $1 \leq A < 10$ (the "front number" has exactly one digit before the decimal point),
- $n$ is an integer 整数 (positive for big numbers, negative for small ones).
Each tick is ten times bigger than the last. Standard form tells you which tick a number sits near.
Le format $A \times 10^n$
- La notation scientifique écrit tout nombre sous la forme $A \times 10^n$, où :
- $1 \leq A < 10$ (le « nombre de tête » a exactement un chiffre avant la virgule),
- $n$ est un entier (positif pour les grands nombres, négatif pour les petits).
Chaque graduation est dix fois plus grande que la précédente. La notation scientifique vous dit quelle graduation un nombre se situe près.
In standard form, the front number A must satisfy 1 ≤ A < 10. · En notation scientifique, le nombre initial A doit satisfaire 1 ≤ A < 10.
By definition, A is between 1 (inclusive) and 10 (exclusive) — exactly one digit before the decimal point. · Par définition, A est compris entre 1 (inclus) et 10 (exclu) — exactement un chiffre avant la virgule décimale.
Converting big and small numbers
- Big numbers: count how many places the decimal moves left → positive power.
- $4\,500\,000 = 4.5 \times 10^6$ (point moves 6 places left).
- Small numbers (less than 1): count how many places the decimal moves right → negative power.
- $0.000\,72 = 7.2 \times 10^{-4}$ (point moves 4 places right).
Quick method. Write the first non-zero digit, then a decimal point, then the remaining significant digits. Count the places you moved: that's $n$.
A galaxy: huge distances are written compactly in standard form
Conversion de grands et petits nombres
- Grands nombres : comptez combien de places la virgule se déplace vers la gauche → puissance positive.
- $4\,500\,000 = 4.5 \times 10^6$ (virgule se déplace de 6 places vers la gauche).
- Petits nombres (inférieurs à 1) : comptez combien de places la virgule se déplace vers la droite → puissance négative.
- $0.000\,72 = 7.2 \times 10^{-4}$ (virgule se déplace de 4 places vers la droite).
Méthode rapide. Écrivez le premier chiffre non nul, puis une virgule, puis les chiffres significatifs restants. Comptez les places déplacées : c'est votre $n$.
Une galaxie : les grandes distances s'écrivent de manière compacte en notation scientifique
Write 4 500 000 as A × 10ⁿ. What is the power n? · Écrivez 4 500 000 sous la forme A × 10ⁿ. Quelle est la puissance n ?
4 500 000 = 4.5 × 10⁶, so n = 6. · 4 500 000 = 4.5 × 10⁶, donc n = 6.
Write 0.00072 in standard form A × 10ⁿ. What is n? · Écrivez 0.00072 en notation scientifique A × 10ⁿ. Quelle est n ?
0.00072 = 7.2 × 10⁻⁴, so n = −4. · 0.00072 = 7.2 × 10⁻⁴, donc n = −4.
Calculating in standard form
- Multiply: multiply the fronts, add the powers.
- $(3 \times 10^5) \times (2 \times 10^{-2}) = 6 \times 10^3$.
- Divide: divide the fronts, subtract the powers.
- $(8 \times 10^7) \div (4 \times 10^3) = 2 \times 10^4$.
Adjust if needed. After multiplying, the front number might be $\geq 10$. Adjust: $15 \times 10^3 = 1.5 \times 10^4$.
Calculer en notation scientifique
- Multiplier : multiplier les têtes, additionner les puissances.
- $(3 \times 10^5) \times (2 \times 10^{-2}) = 6 \times 10^3$.
- Diviser : diviser les têtes, soustraire les puissances.
- $(8 \times 10^7) \div (4 \times 10^3) = 2 \times 10^4$.
Ajustez si nécessaire. Après avoir multiplié, le nombre de tête peut être $\geq 10$. Ajustez : $15 \times 10^3 = 1.5 \times 10^4$.
(3 × 10⁵) × (2 × 10⁻²) = A × 10³. What is A? · (3 × 10⁵) × (2 × 10⁻²) = A × 10³. Quelle est A ?
3 × 2 = 6 and 10⁵ × 10⁻² = 10³, so the answer is 6 × 10³. · 3 × 2 = 6 et 10⁵ × 10⁻² = 10³, donc la réponse est 6 × 10³.
(8 × 10⁷) ÷ (4 × 10³) = A × 10ⁿ. What is n? · (8 × 10⁷) ÷ (4 × 10³) = A × 10ⁿ. Quelle est n ?
8 ÷ 4 = 2 and 10⁷ ÷ 10³ = 10⁴, so n = 4. · 8 ÷ 4 = 2 et 10⁷ ÷ 10³ = 10⁴, donc n = 4.
Which is 5 × 10³ × 3 × 10² in correct standard form? · Lequel est 5 × 10³ × 3 × 10² en notation scientifique correcte ?
5 × 3 = 15 and 10³ × 10² = 10⁵, giving 15 × 10⁵. Adjust: 1.5 × 10⁶. · 5 × 3 = 15 et 10³ × 10² = 10⁵, donnant 15 × 10⁵. Ajustement : 1.5 × 10⁶.
Why scientists love standard form
- The speed of light: $3.0 \times 10^8$ m/s — three hundred million metres every second.
- A DNA helix width: $2.0 \times 10^{-9}$ m — two billionths of a metre.
- Compare like quantities with the same units. A length of $2.0\times10^{-6}$ m is $1000$ times a length of $2.0\times10^{-9}$ m; speed cannot be compared with width.
Pourquoi les scientifiques adorent la notation scientifique
- La vitesse de la lumière : $3.0 \times 10^8$ m/s — trois cents millions de mètres par seconde.
- La largeur d'une hélice d'ADN : $2.0 \times 10^{-9}$ m — deux milliardèmes de mètre.
- Comparez des quantités de même nature ayant les mêmes unités. Une longueur de $2.0\times10^{-6}$ m est $1000$ fois une longueur de $2.0\times10^{-9}$ m ; on ne peut pas comparer une vitesse avec une largeur.
Adding needs a common power
- For addition, first write both numbers with the same power of ten: $3.2\times10^5+7\times10^4=(3.2+0.7)10^5=3.9\times10^5$.
- Renormalise after calculating: $(8\times10^3)(4\times10^2)=32\times10^5=3.2\times10^6$. Core calculations in standard form are on calculator Paper 3.
L'addition nécessite une puissance commune
- Pour additionner, écrivez d'abord les deux nombres avec la même puissance de dix : $3.2\times10^5+7\times10^4=(3.2+0.7)10^5=3.9\times10^5$.
- Renormaliser après le calcul : $(8\times10^3)(4\times10^2)=32\times10^5=3.2\times10^6$. Les calculs principaux en notation scientifique se font sur la calculatrice Paper 3.
Calculate (3.2 × 10⁵ + 7 × 10⁴) / 10⁵. · Calculer (3.2 × 10⁵ + 7 × 10⁴) / 10⁵.
Use the same power: 3.2 + 0.7 = 3.9. · Utiliser la même puissance : 3.2 + 0.7 = 3.9.
You've got it
- standard form $= A \times 10^n$ with $1 \leq A < 10$
- big numbers → positive $n$; small numbers $(< 1)$ → negative $n$
- multiply: fronts $\times$, powers $+$; divide: fronts $\div$, powers $-$
- $4\,500\,000 = 4.5 \times 10^6$; $\;0.000\,72 = 7.2 \times 10^{-4}$
Vous avez compris
- notation scientifique $= A \times 10^n$ avec $1 \leq A < 10$
- grands nombres → positive $n$ ; petits nombres $(< 1)$ → negative $n$
- multiplier : têtes $\times$, puissances $+$ ; diviser : têtes $\div$, puissances $-$
- $4\,500\,000 = 4.5 \times 10^6$; $\;0.000\,72 = 7.2 \times 10^{-4}$