Applying calculus · Application du calcul différentiel et intégral
| English | Français |
|---|---|
| optimisation/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/ | optimisation |
| constraint/kənˈstreɪnt/ | contrainte |
| related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/ | taux liés |
| area between two curves/ˈeərɪə bɪˈtwiːn tuː kɜːvz/ | aire entre deux courbes |
| marginal cost/ˈmɑːdʒɪnl kɒst/ | coût marginal |
| marginal revenue/ˈmɑːdʒɪnl ˈrevənjuː/ | revenu marginal |
A fixed volume constrains the design
- A closed cylindrical teaching model holds 500 cubic centimetres, with flat top and bottom and no allowance for seams. Its radius and height cannot be chosen independently.
- Optimisation 最优化 finds a required maximum or minimum over a stated feasible domain; the physical assumptions are part of the model.
Reduce variables and compare candidates
- Use the constraint 约束条件 to express the target as one variable. For a closed cylinder, $h=500/(\pi r^2)$ and · et $A(r)=2\pi r^2+1000/r$, with $r>0$.
- Differentiate to find stationary candidates, then justify classification and check applicable boundaries. For integer choices, compare feasible neighbouring integers rather than treating a fractional optimum as an allowed answer.
Put the steps of an optimisation question in order. · Mettez les étapes d'un problème d'optimisation dans l'ordre.
State the target and feasible domain, use the constraint where needed, find stationary candidates, and compare classification, boundaries and any discrete restrictions. · Énoncez la cible et le domaine faisable, utilisez la contrainte si nécessaire, trouvez les candidats stationnaires, puis comparez la classification, les limites et toute restriction discrète.
A closed-cylinder minimum. $A'(r)=4\pi r-1000/r^2=0$ gives $r^3=250/\pi$, hence $r\approx4.30$ cm. Since $A''(r)=4\pi+2000/r^3>0$ for positive r and A grows without bound at either end, this is the global minimum of the stated continuous model. The volume constraint then gives $h=2r$.
A closed cylinder with flat top and bottom must hold 500 cm³. Ignoring seams, find the radius minimising surface area for positive radius, to 2 decimal places. · Un cylindre fermé avec un dessus et un dessous plats doit contenir 500 cm³. En négligeant les coutures, trouvez le rayon minimisant la surface pour un rayon positif, à 2 décimales près.
A(r) = 2πr² + 1000/r for r > 0. Its derivative gives r³ = 250/π, so r ≈ 4.30 cm. The positive second derivative and divergent endpoint areas justify the global minimum. · A(r) = 2πr² + 1000/r pour r > 0. Sa dérivée donne r³ = 250/π, donc r ≈ 4,30 cm. La seconde dérivée positive et la divergence des aires aux bornes justifient le minimum global.
Connect rates through a defined dependence
- When $V=V(r)$ and · et $r=r(t)$, the chain rule gives $dV/dt=(dV/dr)(dr/dt)$.
- Related rates 相关变化率 need compatible units and values at the requested instant. Integrating a rate gives accumulated change, while an initial amount determines the final total.
A balloon's radius grows at a known rate and you want how fast its volume grows. What do you write first? · Le rayon d'un ballon augmente à un rythme connu et vous voulez savoir à quelle vitesse son volume augmente. Que devez-vous écrire en premier ?
Write the chain first, then fill in each factor. It turns the question into two ordinary derivatives. · Écrivez d'abord la règle de chaîne, puis remplissez chaque facteur. Cela transforme la question en deux dérivées ordinaires.
Areas and marginal models have limits
- Area between two curves 两曲线间面积 uses upper minus lower over the specified region. Find intersections for enclosed regions and split at order changes; an externally specified interval may instead supply the limits.
- Marginal cost · Coût marginal 边际成本 and · et marginal revenue 边际收益 are derivatives of continuous models. Equating them finds an interior stationary profit candidate, whose feasibility, classification and boundary competitors still need checking.
For the finite region enclosed by two intersecting curves, what must you find to determine its integration bounds? · Pour la région finie fermée par deux courbes sécantes, que devez-vous trouver pour déterminer ses bornes d'intégration ?
Find the relevant intersections, determine which curve is upper on each interval, and split if their order changes. A question specifying an external interval can instead supply the bounds directly. · Trouvez les intersections pertinentes, déterminez quelle courbe est supérieure sur chaque intervalle, et divisez l'intervalle si leur ordre change. Une question spécifiant un intervalle externe peut directement fournir les bornes.
In a differentiable continuous cost model, marginal cost is the derivative of total cost. · Dans un modèle de coût continu différentiable, le coût marginal est la dérivée du coût total.
It is an instantaneous model rate. An actual discrete one-unit increase is a finite difference and may not equal that derivative exactly. · C'est un modèle de taux instantané. Une augmentation réelle discrete d'une unité constitue une différence finie et peut ne pas être égale exactement à cette dérivée.
A derivative is not always an exact one-unit increase. For · Pour $C(q)=100+3q+0.2q^2$, $C'(10)=7$ but $C(11)-C(10)=7.2$. Sheet 3.3 also compares a continuous maximum at 5.5 with the best whole-number quantities 5 and 6.
You found r = 4.30 for the can. Write the full answer sentence a marker wants. · Vous avez trouvé r = 4.30 pour la boîte. Rédigez la phrase réponse complète qu'un correcteur attend.
Example: The radius is approximately 4.30 cm, minimising surface area under the stated closed-cylinder volume model. · Exemple : Le rayon est d'environ 4,30 cm, minimisant l'aire de surface selon le modèle de cylindre fermé de volume spécifié.
A stationary point alone does not establish the global optimum. State the feasible domain and why other candidates or boundaries cannot give a better value. A different container opening, seam allowance or practical dimension constraint can change the model.