GAC016 Mathématiques III : Calcul & applications avancées

GAC016 est le calcul différentiel et intégral, et c'est le module GAC que les universités octroient le plus de crédits pour. Plusieurs publient une équivalence en premier cycle de calcul contre ce module, ce qui signifie que le niveau attendu ici est un niveau universitaire, pas un niveau scolaire.

Trois unités seulement — dérivation 微分, intégration 积分, et applications — donc chacune est couverte en profondeur supérieure à celle d'une unité de niveau I. L'évaluation suit le modèle habituel : un test, un examen sur l'ensemble des trois unités, et travail continu.

• ⚠ La notation est notée. $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$ et $\dot{y}$ signifient la même chose, mais une question qui en utilise une s'attend à ce que vous la rendiez.
• Chaque réponse appliquée doit comporter ses unités et son interprétation. "$-3$" n'est pas une réponse; "le volume diminue de 3 cm³ par seconde" l'est.

Une dérivée 导数 est un taux de variation : la vitesse à laquelle $y$ change lorsque $x$ change. Géométriquement, c'est la pente de la tangente 切线斜率 en un point.

Cette limite est la définition, et la dérivation par définition 从定义求导 est examinable même si vous utiliserez ensuite les règles.

• La règle de puissance 幂法则 : si $y = x^n$ alors $\dfrac{dy}{dx} = nx^{\,n-1}$.
• La règle du produit 乘积法则 : $(uv)' = u'v + uv'$.
• La règle du quotient 商法则 : $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
• La règle de chaîne 链式法则 : si $y = f(g(x))$ alors $\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
• Les points stationnaires 驻点 se produisent où $f'(x) = 0$. La dérivée seconde 二阶导érence classe ensuite leurs types : négatif pour un maximum 极大值, positif pour un minimum 极小值.

Exemple résolu. Trouvez et classez les points stationnaires de $y = x^3 - 3x$.

En $x = 1$, la dérivée seconde est $6 > 0$, donc c'est un minimum en $(1, -2)$. En $x = -1$, elle est $-6 < 0$, donc un maximum en $(-1, 2)$. Le classement par la dérivée seconde est l'étape notée ; affirmer « un est un maximum » sans cela ne rapporte rien.

L'intégration est la dérivation inversée, ainsi que l'aire sous une courbe. Ces deux faits constituent un seul et même fait, ce qu'énonce le théorème fondamental du calcul 微积分基本定理. indique.

• Une intégrale indéfinie 不定积分 n'a pas de bornes et nécessite la constante d'intégration 积分常数 : $\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{\,n+1}}{n+1} + c$ pour $n \neq -1$.
• Une intégrale définie 定积分 a des limites et donne un nombre : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
• L'intégration par substitution 换元积分法 inverse la règle de composition.
• ⚠ Oublier $+c$ dans une intégrale indéfinie est la perte de note la plus fréquente dans le module, et elle intervient sur des questions que vous avez autrement bien répondues.

Exemple résolu. Calculez l'aire entre $y = x^2$ et l'axe des $x$ de $x = 0$ à $x = 3$.

Les crochets avec limites font partie de la méthode, pas de la décoration. Une réponse de 9 sans ligne de crochet ne montre pas comment elle a été obtenue.

• L'optimisation 最优化 trouve la valeur maximale ou minimale d'une quantité : écrivez cette quantité comme fonction d'une seule variable, dérivez, égalisez à zéro et classez.
• Les taux de variation 变化率 s'enchaînent : $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr} \times \dfrac{dr}{dt}$.
• L'aire entre deux courbes 两曲线间面积 est $\displaystyle\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$ où $f$ est la courbe supérieure.
• Le coût marginal et le revenu marginal 边际成本与边际收益 sont des dérivées, c'est pourquoi les départements d'économie valorisent ce module.

Exemple résolu. Une canette cylindrique doit contenir 500 cm³. Quel rayon minimise la métal utilisé ?

La surface $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$, et la contrainte de volume donne $h = \dfrac{500}{\pi r^2}$.

Donc $r^3 = \dfrac{250}{\pi}$ et $r = 4.30$ cm. C'est la contrainte qui transforme deux variables en une, et c'est là que se situent la plupart des points de méthode lors de l'écriture de cette substitution.