GAC010 Mathématiques II : Probabilités, statistiques et finance

GAC010 est le module de mathématiques de niveau II, et c'est celui qui ressemble le plus aux mathématiques qu'un diplôme universitaire en affaires, économie ou sciences sociales utilise réellement : suites, argent, probabilités et statistiques.

L'évaluation suit le modèle de GAC004 — un test 测验 sur les unités initiales, un ou deux projets 项目 construits dans un tableur, un examen 考试 couvrant les huit unités, et travaux dirigés 平时作业 incluant le carnet de terminologie. Plusieurs universités attribuent des crédits pour ce module, considérez-le donc comme un cours de première année plutôt que comme une révision.

• ⚠ Les unités financières récompensent la méthode montrée. Un seul nombre sans développement ne rapporte presque rien, car le correcteur ne peut voir quelle formule vous avez choisie.
• Les questions de statistique demandent d'interpréter, pas seulement de calculer. « La moyenne est 42 » représente la moitié de la réponse ; « la moyenne est 42, mais les deux valeurs aberrantes la tirent au-dessus de la médiane » est l'autre moitié.

Une suite 数列 est une liste ordonnée de nombres ; une série 级数 est leur somme.

Une suite arithmétique 等差数列 ajoute une différence constante 公差 $d$ à chaque étape. Une suite géométrique 等比数列 multiplie par un rapport constant 公比 $r$.

• Les sommes sont $S_n = \tfrac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)$ et $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ pour $r \neq 1$.
• Une série géométrique avec $|r| < 1$ admet une somme à l'infini 无穷和 $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$.
• La distinction est importante car l'argent est géométrique : les intérêts multiplient, ils n'ajoutent pas.

Exemple résolu. Une machine perd 12% de sa valeur chaque année à partir de 80,000 yuan. Quelle est sa valeur après 5 ans ?

Notez l'exposant : après 5 ans, vous avez appliqué le rapport cinq fois, donc le terme est le sixième. L'erreur de décalage (off-by-one) est l'erreur la plus fréquente dans cette unité.

Cette unité traite de l'arithmétique de la vie quotidienne, en anglais.

• Le salaire brut 税前工资 est ce que vous gagnez ; le salaire net 税后工资 est ce qui arrive après des déductions 扣除项 telles que les impôts et l'assurance.
• Les intérêts simples 单利 sont $I = Prt$ — des intérêts sur le montant initial uniquement.
• Les intérêts composés sont $A = P(1+r)^n$ — des intérêts sur les intérêts, ce qui est pourquoi c'est géométrique.
• L'amortissement 折旧 est des intérêts composés avec un taux négatif, et c'est ainsi que la machine au-dessus a perdu de sa valeur.
• Une réduction 折扣 de 20% multiplie par 0.8. Deux réductions successives de 20% et 10% multiplient par $0.8 \times 0.9 = 0.72$, ce qui correspond à une réduction de 28 %, pas 30 %.

• La valeur actuelle 现值 d'un montant futur est ce qu'il vaut aujourd'hui : $PV = \dfrac{FV}{(1+r)^n}$.
• Une rente 年金 est un paiement fixe à chaque période ; un remboursement de prêt 贷款还款 est une rente payée à un prêteur.
• Le TAEG/TAER 年利率 permet de comparer deux prêts dont les taux affichés sont exprimés sur des périodes différentes.
• ⚠ Les taux nominal et effectif diffèrent lorsque les intérêts se capitalisent plus d'une fois par an. 12 % par un taux annuel composé mensuellement est 12.68% effectif, et une question qui mentionne « mensuel » teste exactement cela.

Exemple résolu. Quel est le moins cher : emprunter 10,000 yuans à un taux de 9% par an, capitalisé annuellement pour 3 ans, ou à un taux de 8.7 % composé mensuellement ?

Le taux affiché le plus bas coûte plus cher, car il se capitalise 36 fois au lieu de 3. Comparer les nombres affichés est le piège ; comparer les totaux est la méthode.

La probabilité 概率 mesure la likelihood d'un événement, sur une échelle de 0 à 1.

• Pour des issues également probables, $P(A) = \dfrac{\text{favourable outcomes}}{\text{total outcomes}}$.
• Les événements sont mutuellement exclusifs 互斥 lorsqu'ils ne peuvent pas se produire simultanément : $P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B)$.
• Des événements sont indépendants 独立 lorsqu'un ne peut pas affecter l'autre : $P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B)$.
• La règle du complément 对立事件, $P(\text{not } A) = 1 - P(A)$, est souvent le chemin le plus rapide vers une réponse contenant « au moins un ».
• Les techniques de comptage 计数方法 fournissent le dénominateur : une permutation 排列 compte les sélections ordonnées et une combinaison 组合 compte les sélections non ordonnées.

Exemple résolu. Un sac contient 4 boules rouges et 6 bleues. Deux sont tirées sans remise. Quelle est la probabilité d'avoir au moins une rouge ?

Utilisez le complément : $P(\text{no red}) = \dfrac{6}{10} \times \dfrac{5}{9} = \dfrac{1}{3}$, donc $P(\text{at least one red}) = \dfrac{2}{3}$.

Sans remise, la seconde fraction a à la fois un numérateur plus petit et un dénominateur plus petit. Oublier de changer le dénominateur est l'erreur classique.

• Une population 总体 est tout ce que vous voulez décrire ; un échantillon 样本 est ceux que vous mesurez réellement.
• Un échantillon n'est utile que s'il est représentatif 有代表性的. Une enquête dans votre propre classe ne décrit pas l'école.
• Les données qualitatives 定性数据 sont des catégories ; les données quantitatives 定量数据 sont des nombres, soit discrètes 离散 (comptées) ou continues 连续 (mesurées).
• Le biais 偏差 entre par le choix des personnes interrogées, celles qui répondent, et la formulation de la question, et aucun calcul arithmétique ultérieur ne peut l'éliminer.

• La moyenne 平均数是 total divisé par le compteur. Elle utilise chaque valeur et chaque valeur aberrante.
• La médiane 中位数 est la valeur centrale triée. Elle ignore l'extrême nature des extrêmes.
• La mode 众数是 la valeur la plus fréquente, et c'est la seule moyenne qui fonctionne pour des catégories.
• ⚠ Choisissez selon la forme des données. Pour les revenus, la médiane décrit une personne typique et la moyenne ne le fait pas, car quelques valeurs très élevées la tirent vers le haut.

• L'étendue 全距 est le maximum moins le minimum — un seul nombre, facilement faussé par une valeur aberrante.
• L'étendue interquartile (IQR) 四分位距 est le milieu de 50 %, et c'est ce qu'un box plot 箱线图 trace.
• L'écart-type 标准差 mesure la distance typique par rapport à la moyenne : $\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum (x - \bar{x})^2}{n}}$.
• Un écart-type plus grand signifie une dispersion plus large. Deux jeux de données peuvent partager une moyenne et décrire des situations complètement différentes.

• La distribution normale 正态分布 est la courbe en cloche symétrique, décrite entièrement par sa moyenne et son écart-type.
• La règle empirique : environ 68 % des valeurs se situent dans un écart-type de la moyenne, 95 % dans les deux cas, et 99.7% dans les trois.
• Un score z 标准分 indique combien d'écart-types une valeur est éloignée de la moyenne : $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$, ce qui rend deux échelles différentes comparables.

Exemple résolu. Un test a une moyenne de 62 et un écart-type de 8. Quelle proportion d'étudiants obtient plus de 78 ?

Deux écarts-types au-dessus de la moyenne. Par la règle empirique, 95 % se situent dans deux écarts-types de part et d'autre, ainsi 2.5% se trouvent au-dessus — environ 1 élève sur 40.